Введение в теорию вероятностей и математическую статистику

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
А.В. ЛИХАЧЕВ 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ  
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МАТЕМАТИЧЕСКУЮ  
СТАТИСТИКУ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 519.2(075.8) 
   Л 651 
 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.П. Ющенко 
канд. техн. наук, доцент Е.В. Прохоренко 
 
Работа подготовлена на кафедре ССОД  
для студентов II курса бакалавриата  
по направлениям 12.03.04 и 09.03.02 
 
Лихачев А.В. 
Л 651  
Введение в теорию вероятностей и математическую статистику: учебное пособие / А.В. Лихачев. – Новосибирск: Изд-во 
НГТУ, 2019. – 102 с. 

ISBN 978-5-7782-3903-6 

Пособие включает в себя основные разделы, излагаемые в рамках курса 
«Теория вероятностей и математическая статистика», кроме того, содержит  
дополнительные сведения, способствующие в более полной мере освоению 
студентами знаний и компетенций, предусмотренных положениями соответствующих госстандартов направлений подготовки 12.03.04 – Биотехнические 
системы и технологии, 09.03.02 – Информационные системы и технологии. 
Приводятся ключевые положения теории вероятностей, а также излагаются 
наиболее известные методы математической статистики. В конце каждого раздела следуют контрольные вопросы, помогающие усвоению материала. Математическая строгость изложения соответствует уровню подготовки студентов 
второго курса бакалавриата по соответствующим направлениям. Пособие будет 
полезно также студентам физико-математических и технических специальностей, аспирантам и всем, кто интересуется теорией вероятностей и связанными 
с ней вопросами. 
 
 
УДК 519.2(075.8) 
 
 
ISBN 978-5-7782-3903-6 
 Лихачев А.В., 2019 
 
 Новосибирский государственный 
 
     технический университет, 2019 

Глава 1  

Вычисление вероятностей случайных событий 

1.1. Основные понятия 

1.1.1. Случайные события 

Понятие случайного события лежит в основе теории вероятностей. 
В связи с этим оно не может быть полностью выражено через другие 
объекты, рассматриваемые в этом разделе математики. Существует 
формальное определение случайного события, которое будет приведено далее в разделе 1.5.1 при изложении аксиоматической теории Колмогорова. Однако это определение не дает понимания сути случайного 
события, которое весьма важно не только для развития теории, но и 
для решения практических задач. Отсутствие такого понимания приводит к тому, что некоторые предсказания теории вероятностей оказываются противоречащими интуитивному восприятию ситуации. Примером может служить парадокс Монти Холла [1], относительно 
недавно широко обсуждавшийся в том числе и в научной среде. 
Часто случайное событие определяют путем указания его свойств, 
главным из которых является то, что оно может либо произойти, либо 
не произойти. Под словом «произойти» здесь имеется в виду не факт, 
который может иметь место в будущем, а потенциальная возможность, 
не привязанная к конкретному моменту времени. Поясним это на классическом примере бросания монеты. Общепризнано, что до броска событие «выпадет герб» является случайным. После броска, независимо 
от его результата, говорить об этом событии как о случайном не имеет 
смысла. Можно лишь констатировать факт – выпал или не выпал герб. 
Таким образом, случайное событие может существовать только в  

имплицитной (скрытой) форме. Оно не может быть реализовано в действительности. 
Несмотря на то что практически все исследователи формально согласны с приведенным выше рассуждением, просматривается тенденция придать случайному событию материальный смысл. В некоторых 
определениях, используемых в основном в естественных науках (физике, биологии и т. п.), см., например [2], случайное событие рассматривается как возможный исход опыта. Явного противоречия здесь нет, 
однако апелляция к опыту порождает ряд вопросов, некоторые из которых будут рассмотрены в разделе 1.6, посвященном статистическому 
определению вероятности. 

Восприятие рассматриваемого понятия затрудняет то, что входя
щие в него термины употребляются в повседневной речи. Слово «случайность» имеет здесь весьма широкую интерпретацию. Кроме того, 
случайность является одной из философских категорий, споры вокруг 
которой, зародившиеся еще в Древней Греции, не утихают и по сей 
день. Неослабевающий интерес вызывает вопрос о том, имеет ли место 
случайность в окружающей действительности, или же то, что воспринимается как случайность, обусловлено незнанием причин происходящих явлений. Для атомистов мир был полностью детерминирован. 
Однако Демокрит (ок. 460 до н. э. – ок. 370 до н. э.) также утверждал, 
что случай («автоматон») вызвал первоначальное творение «небесных 
сфер и всех миров». Таким образом, само существование не имеет никакой предшествующей или определяющей причины, хотя все, что 
случилось с тех пор, детерминировано [3]. 

Во второй книге «Физики» Аристотеля (384 до н. э – 322 до н. э.) 

рассматриваются две концепции случая, суть обеих – эффекты, которые возникают стохастически. Первая – это тиха, которая относится к 
сфере разума (также персонифицируется как богиня Тиха); вторая – 
автоматон, связанная с реальным миром. По Аристотелю, и то и другое – каждодневные явления. Но для Аристотеля случайные события не 
были беспричинными, они были эффектом параллелизма двух причинных последовательностей. Например, падающий камень, который иногда поражает проходящего человека, – случайное событие, хотя падение 
камня и движение человека – оба определенные события [4]. 

По-видимому, вопрос о том «играет ли Бог в кости» (следуя образному выражению Альберта Эйнштейна), окончательно решен так и не 
будет, однако положительный или отрицательный ответ на него может 

существенно повлиять на понятийный аппарат теории вероятностей. 
Более того, если допустить, что последнее верно, то ставится под сомнение правомерность самого ее существования. Оставляя решение 
этого вопроса философам и учитывая приведенные выше замечания, 
под случайным событием будем понимать мыслимое событие, которое имеет возможность быть реализованным в действительности. Если 
такая реализация произошла, то случайное событие перестает существовать. 

1.1.2. Классическое определение  
вероятности 

Опыт показывает, что одни случайные события реализуются чаще, 
другие реже. Степень того, как часто может реализоваться то или иное 
событие, характеризуют его вероятностью. Поскольку вероятности 
можно сравнивать, имеет смысл попытаться описать их количественно. 
Это делается посредством так называемого классического определения 
вероятности, в основе которого лежит представление о пространстве 
элементарных случайных событий. Последним называется группа  
из n случайных событий 
1,
А  
2, ...,
,
п
A
А
 обладающих следующими 
свойствами. 
1. События 
1,
А  
2, ...,
п
A
А  являются единственно возможными. Это 
означает, что одно из них обязательно должно произойти. Такое свойство группы событий также называется ее полнотой.  
2. События 
1,
А  
2, ...,
п
A
А  несовместимы, т. е. если происходит одно из них, то никакое другое произойти не может. Это и предыдущее 
свойство можно объединить в единой формулировке: происходит одно 
и только одно из событий 
1,
А  
2, ...,
п
A
А . Понятие несовместимости 
применяется к любым случайным событиям A и B, а именно, A и B 
несовместимы (иногда применяется термин несовместны), если может произойти только одно из этих событий, но никогда оба. 
3. События 
1,
А  
2, ...,
п
A
А  равновозможные. Делая предположение 
о том, какое из них должно произойти, нет оснований отдать предпочтение какому-либо определенному 
iА .  
Говорят, что событие А благоприятствует событию B, если появление A обязательно влечет за собой появление B. Пусть 
1,
А  
2, ...,
п
A
А  
образуют пространство из n элементарных случайных событий и k из 

них благоприятствуют некоторому случайному событию A. Вероятностью события A (в классическом смысле) называется отношение k/n. 
Для обозначения вероятности событий будем использовать общепринятое обозначение P(A). Здесь в скобках указывается рассматриваемое 
событие. Обратим внимание на то, что пространство элементарных 
событий строится исходя из конкретной ситуации, и говорить о нем 
вне связи с ней не имеет смысла. Многие специалисты полагают, что 
приведенное выше определение вероятности принадлежит швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654–1705). 
Число благоприятствующих событий k может принимать значения 
от 0 до n включительно. Если k = 0, то соответствующее событие называется невозможным (обычно обозначается через U). Невозможное 
событие при рассматриваемых обстоятельствах никогда не происходит, его вероятность, согласно приведенному выше определению, равна нулю. Напротив, если k = n, то мы имеем дело с достоверным событием (обозначается как E). Оно всегда происходит и имеет 
вероятность, равную единице. 
Поясним сказанное выше на простом примере. Рассмотрим бросание игральной кости. Естественным выбором элементарных событий в 
данном случае является следующий: 
1
А  – «выпадает одно очко», 
2
А  – 
«выпадает два очка» и т. д.. Пусть событие A состоит в том, что выпадает больше четырех очков. Очевидно, ему благоприятствуют события 

5
А  и 
6
A . Тогда P(A) = 2/6 = 1/3. Примерами невозможных событий 
могут служить 
1
U  – «выпадает ноль очков», или 
2
U  – «выпавшее число очков больше десяти». Достоверными же событиями являются 
1
E  – 
«число очков либо четное, либо нечетное» или 
2
E  – «число очков положительное». Таким образом, если события различать по смысловому 
содержанию, то как невозможных, так и достоверных событий может 
быть любое количество. 
Вернемся к п. 3 определения пространства элементарных случайных событий. Используемое в нем понятие равновозможности элементарных событий фактически означает их равную вероятность. Следовательно, атрибут «равновероятный», предшествует определению 
«вероятность». Большинство исследователей науки усматривают здесь 
тавтологию, поэтому считают классическое определение логически 
некорректным. Несмотря на это, именно в соответствии с ним вычисляются исходные вероятности для многих важных задач. 

Классическое определение имеет несомненные достоинства.  
Во-первых, в целом оно согласуется с интуитивным представлением о 
вероятности. Во-вторых, оно просто и доступно для понимания иллюстрируется примерами из повседневной жизни. Наконец, оно конструктивно, т. е. дает алгоритм, по которому могут быть вычислены вероятности событий.  

Контрольные вопросы к разделу 1.1 

1. Почему трудно определить понятие «случайное событие»? 
2. Как вы считаете, можно ли (хотя бы теоретически), зная все факторы, относящиеся к броску игральной кости (ее точную форму, распределение ее плотности, распределение приложенных сил во время 
броска и т. д.), достоверно определить, какое число выпадет? 
3. Должно ли зависеть определение термина «случайное событие» 
от того, имеет или не имеет место случайность в действительности? 
4. Что такое пространство элементарных случайных событий? 
5. Какой набор случайных событий называется полным? 
6. Могут ли одновременно произойти два события, принадлежащих 
полному набору? 
7. Может ли одно элементарное событие благоприятствовать нескольким случайным событием. 
8. В чем состоит классическое определение вероятности? 
9. Является ли достоверное событие случайным? 

1.2. Вероятности комбинаций случайных событий 

1.2.1. Произведение событий  
Теорема умножение вероятностей 

Пусть имеется два случайных события A и B. Случайное событие С, 
состоящее в том, что происходят и A и B, называется произведением 
этих событий. Будем обозначать его следующим образом: C = AB. 
Очевидно, что C благоприятствуют те элементарные события, которые 
благоприятствуют и A и B. Также очевидно, что для несовместимых 
событий понятие произведения не имеем смысла. 
Условной вероятностью события A называется его вероятность 
при условии, что произошло событие В. Обычно она обозначается как 

( )
В
Р
А  или Р(А|В); в дальнейшем будет использоваться первое из них. 
Найдем 
 ( )
В
Р
А , согласно классическому определению вероятности. 
Предположим, что из n элементарных событий 
1,
А  
2, ...,
п
A
А  событию А благоприятствует m, событию B – l, а произведению AB – k (очевидно, что 
,
k
m
k
l

 ). Если событие В произошло, то это означает, 
что наступило одно из l элементарных событий 
iА , благоприятствующих В. При этом событию А благоприятствуют k и только k собы- 
тий 
iА , а именно те, которые благоприятствуют и А и В. Таким образом, поскольку размерность пространства элементарных случайных 
событий снизилась согласно предположению с n до l, имеем 

 
(
)
( )
( )
B
k
k n
P AВ
P
A
l
l n
P B



. 
 (1.1) 

Если В есть невозможное событие, то равенство (1.1) теряет смысл. 
В этом случае положим по определению 
( )
В
Р
А  = 0. Если же В не является невозможным событием, то для него всегда Р(В)  0, тогда из 
(1.1) следует 

 
(
)
( )
( )
B
P AB
P B P
A

. 
 (1.2) 

Выражение (1.2) часто называют теоремой умножения вероятностей. Его словесная формулировка следующая. Вероятность произведения двух событий равна безусловной вероятности второго события, 
умноженной на вероятность первого события, при условии, что произошло второе. В произведении оба события равноправны, поэтому в 
правой части выражения (1.2) их можно поменять местами, поэтому 
также справедливо выражение 

 
(
)
( )
( )
A
P AB
P A P
B

. 
 (1.2а) 

Отметим, что выражения (1.2) и (1.2а) применимы и в том случае, 
когда одно из событий А или В является невозможным. 
Понятие произведения можно расширить на любое конечное число 
случайных событий 
1,
В  
2, ...,
п
В
В  (здесь не подразумевается, что 
набор 
1,
В  
2, ...,
п
В
В  образует пространство элементарных событий).  
В этом случае произведением называется событие 
1 2
  
n
C
B B
B


,  

состоящее в том, что происходят все n событий 
1,
В  
2, ...,
п
В
В . Нетрудно показать, что выражение (1.2) обобщается при этом следующим образом: 

 
1 2 3
1
2
3
1
1
2
1
2
-1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
).
n
B
B B
B B
B
n
n
P B B B
B
P B P
B
P
B
P
B





  (1.3) 

Отметим, что при классическом определении вероятности формулировка теоремы умножения для бесконечного числа случайных событий не допускается.  

1.2.2. Независимые события 

Формулы (1.2), (1.2а) и (1.3) существенно упрощаются, если фигурирующие в них события являются независимыми. Говорят, что событие А независимо от события B, если имеет место 
)
(
(
)  
В
Р
А
Р А

, т. е. 
если наступление события В не изменяет вероятности события А. Если А 
независимо от B, то из формул (1.2) и (1.2а) следует, что 
 
( )
( )
 
A
Р
B
Р B

, 
т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно. Для независимых событий теорема 
умножения принимает более простой вид: 

 
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B

. 
 (1.4) 

Часто независимость событий А и В определяют посредством равенства (1.4). Это определение по сравнению с предыдущим имеет то 
преимущество, что оно верно и тогда, когда Р(А) = 0 или Р(В) = 0. На 
практике проверка выражения (1.4) или равенства условной и безусловной вероятности часто вызывает затруднения, которые в том 
числе связаны с выбором адекватного пространства элементарных событий. Поэтому для определения независимости конкретных событий 
обычно пользуются интуитивными соображениями или результатами 
соответствующих опытов. Это позволяет некоторым исследователям 
утверждать, что независимость является неформальным свойством, а 
формулы (1.4) и 
)
(
(
)  
В
Р
А
Р А

 лишь ее формальными следствиями. 
Прежде чем преобразовать формулу (1.3) обобщим понятие независимости двух событий. События 
1,
В  
2, ...,
п
В
В  называются независимыми в совокупности, если для любого события Вi из их числа и 

произвольных 
1
2
,
,
,
k
i
i
i
B
B
B

 из их же числа и отличных от 
iВ  произ
ведение 
1
2
k
i
i
i
B B
B

 и событие 
iВ  независимы. Поскольку можно 

брать любые комбинации событий, это определение эквивалентно следующему: 



 



1
2
1
2
k
k
i
i
i
i
i
i
P B B
B
P B
P B
P B



. Положив здесь 

k = n, получаем формулировку теоремы умножения для n независимых 
в совокупности событий 

 
1 2 3
1
2
3
(
)
(
) (
) (
)
(
).
n
n
P B B B
B
P B P B
P B
P B



  
(1.5) 

Обратим внимание на то, что для независимости в совокупности 
нескольких событий недостаточно их попарной независимости. Это 
можно проиллюстрировать на примере, предложенном советским математиком С.Н. Бернштейном (1880–1968) [5]. Пусть первая грань правильного тетраэдра окрашена в красный цвет, вторая – в зеленый, третья – в синий, наконец, четвертая – во все три цвета. Обозначим через 
А, В и С случайные события, состоящие в том, что при бросании на 
верхней грани тетраэдра окажутся красный, зеленый и синий цвета 
соответственно. Легко видеть, что вероятность верхней грани иметь в 
своей окраске красный цвет равна Р(А) = 1/2. Действительно, две из 
четырех граней имеют его в своей окраске. Далее, если выпал зеленый 
цвет, то вероятность того, что в то же время выпал и красный, равна 1/2, 
поскольку из двух граней с зеленым цветом одна имеет также и красный. Точно так же можно посчитать, что для событий В и С условные 
вероятности равны безусловным. Следовательно, события А, В и С  
попарно независимы. Однако если известно, что осуществились события В и С, то это означает, что вверху оказалась грань, выкрашенная в 
три цвета, тогда заведомо осуществилось и событие А, т. е. 
( ) 1 
ВС
Р
А  . 
Таким образом, указанные события в совокупности зависимы. Заметим, что имеются критические замечания относительно примера 
Бернштейна. Их аргумент состоит в том, что поскольку все три цвета 
нанесены на одну из граней, их появление не может быть независимым 
друг от друга. Другими словами, попарной независимости событий А, 
В и С также нет. Равенство же условных и безусловных вероятностей 
является простым совпадением.