Кристаллография. Обозначение и вывод классов симметрии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
И.А. БАТАЕВ,  А.А. БАТАЕВ 
 
 
 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ  
 
ОБОЗНАЧЕНИЕ И ВЫВОД  
КЛАССОВ СИММЕТРИИ 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК  
2018 

УДК 548(075.8) 
         Б 28 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор Х.М. Рахимянов 
д-р техн. наук, доцент А.О. Токарев 
 
 
 
Работа выполнена на кафедре материаловедения в машиностроении  
для студентов и аспирантов НГТУ, обучающихся по образовательным  
программам укрупненных групп направлений подготовки «Технологии  
материалов», «Нанотехнологии и наноматериалы» и «Машиностроение» 
 
 
 
Батаев И.А.  
Б 28  
Кристаллография. Обозначение и вывод классов симметрии : учебное пособие / И.А. Батаев, А.А. Батаев. – 2-е изд., испр. – Новосибирск : 
Изд-во НГТУ, 2018. – 60 с. 

ISBN 978-5-7782-3707-0 

Рассмотрены обозначения точечных групп симметрии по Браве, по  
А. Шёнфлису и в соответствии с международной классификацией Германа – 
Могена. Проанализированы правила взаимодействия элементов симметрии в 
виде осевой теоремы Эйлера, ее частных проявлений и следствий. Представлен 
вывод классов симметрии для кристаллов с единичными направлениями, а 
также для кристаллов без единичных направлений. 
 
 
 
 
 
 
УДК 548(075.8) 
 
                          
ISBN 978-5-7782-3707-0 
© Батаев И.А.,  Батаев А.А., 2015, 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
    технический университет, 2015, 2018 
 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ................................................................................................................................ 4 

1. Обозначения точечных групп (классов) симметрии ...................................................... 5 

1.1. Обозначение точечных групп симметрии по Браве ............................................... 6 
1.2. Обозначение точечных групп симметрии по А. Шёнфлису ................................. 7 
1.3. Международные обозначения точечных групп (классов симметрии) ............... 20 
1.3.1. Обозначение точечных групп  симметрии кристаллов низшей  
категории ...................................................................................................... 22 
1.3.2. Обозначение точечных групп  симметрии кристаллов средней  
категории ...................................................................................................... 24 
1.3.3. Обозначение точечных групп симметрии кристаллов высшей  
категории ...................................................................................................... 25 
1.4. Контрольные вопросы ............................................................................................ 26 

2. Правила взаимодействия элементов симметрии (правила взаимодействия 
симметрических операций) ............................................................................................ 31 

2.1. Осевая теорема Эйлера ........................................................................................... 34 
2.2. Частные проявления осевой теоремы Эйлера и ее следствия ............................. 35 
2.3. Теоремы о взаимодействии осей симметрии  второго порядка (L2 и Ł2)  
с осью симметрии Ln ............................................................................................... 42 
2.4. Упражнение ............................................................................................................. 44 
2.5. Контрольные вопросы ............................................................................................ 44 

3. Вывод точечных групп (классов) симметрии ............................................................... 48 

3.1. Вывод точечных групп симметрии для кристаллов с единичными 
направлениями ........................................................................................................ 48 
3.2. Вывод точечных групп симметрии  для кристаллов без единичных 
направлений ............................................................................................................ 52 
3.3. Контрольные вопросы ............................................................................................ 57 

Библиографический список ............................................................................................... 59 

 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В настоящем учебном пособии рассмотрены одни из наиболее важных 
разделов кристаллографии. Представленный материал лежит в основе других 
разделов этой дисциплины, имеющих принципиальное значение при подготовке специалистов в области материаловедения и наноинженерии. Пособие 
содержит три основных раздела, в которых описаны правила обозначения 
классов симметрии, особенности взаимодействия симметрических операций, а 
также принципы вывода классов симметрии. Понятия «точечная группа симметрии», или «класс симметрии», наиболее часто употребляются в учебных 
курсах кристаллографии, кристаллохимии и кристаллофизики. Полная характеристика кристаллических тел без использования этих терминов практически 
невозможна. Таким образом, студенты, осваивающие курс кристаллографии, 
должны знать, каким образом классы симметрии обозначаются в современной 
литературе и как можно выполнить процедуру их вывода.  
Вопросы, связанные с анализом правил взаимодействия симметрических 
операций, выводом и обозначением классов симметрии, рассматриваются 
практически во всех классических учебниках по кристаллографии. Во многих 
учебниках по кристаллофизике и кристаллохимии эти вопросы сконцентрированы в начальных разделах, представляющих основу для дальнейшего изложения материала. Список некоторых советских, российских и зарубежных 
учебников, опубликованных в различные годы, приведен в конце настоящего 
учебного пособия. Авторы представленной работы попытались по возможности учесть достоинства материала, содержащегося в этих учебниках, а также в 
ряде других работ. Учитывая специфику курса, а также проблемы, возникающие при его освоении, связанные, в частности, с некоторыми особенностями 
используемой терминологии, мы попытались изложить материал подробно и 
достаточно просто. Особое внимание при подготовке рукописи было уделено 
оформлению графического материала, роль которого при освоении кристаллографии переоценить невозможно. С целью улучшения восприятия анализируемого материала в пособие были включены цветные рисунки.  
 
 

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП (КЛАССОВ) 
СИММЕТРИИ 
 
Одним из базовых, наиболее часто используемых в кристаллографии понятий является «точечная группа симметрии», или «класс симметрии». Точечная 
группа симметрии (класс симметрии) представляет собой совокупность всех 
элементов симметрии, которые характерны для данного кристаллического 
многогранника. Симметрические преобразования, соответствующие кристаллографическому классу, образуют математическую группу, называемую точечной. Наименование «точечная группа симметрии (ТГС)» обусловлено тем, 
что симметрические преобразования не изменяют расположения, по крайней 
мере, одной точки многогранника, в которой имеет место пересечение всех 
элементов симметрии.  
В том случае, если анализируемые геометрические объекты не были кристаллическими, а следовательно, к ним не применялось ограничение по количеству элементов (осей) симметрии, тогда следовало бы говорить о бесконечном числе точечных групп симметрии. Если же речь идет о кристаллах, 
допускающих присутствие лишь осей симметрии первого, второго, третьего, 
четвертого и шестого порядка, количество точечных групп симметрии ограничивается числом 32.  
Относительно малое число кристаллографических точечных групп симметрии позволяет каждую из них проанализировать и описать отдельно.  
С другой стороны, эта ограниченная совокупность групп с использованием 
различных параметров классификации может быть разделена на отдельные 
семейства, что существенно упрощает анализ реальных кристаллов.  
Для специалиста весьма важно получить максимально возможную информацию об анализируемом кристалле (о его симметрии) непосредственно по 
обозначению, т. е. по символу точечной группы симметрии, к которой он относится. По этой причине символике точечных групп симметрии в кристаллографии уделяется особое внимание. Здесь вполне уместна следующая аналогия. Студент первого курса, пришедший первого сентября в группу из  
25 человек, постарается быстро запомнить имена своих товарищей. Однако 
само имя, например Владимир, не дает какой-либо характеристики конкрет

ному одногруппнику (кроме того, что это мужчина). Вполне вероятно, что с 
этим именем в группе могут учиться два или даже три студента. Если же мы 
говорим о точечных группах, т. е. о классах симметрии, нам важно, лишь 
только услышав конкретный символ, сразу иметь представление о свойствах 
кристалла.  
Для обозначения точечных групп симметрии в разные периоды развития 
кристаллографии было предложено несколько отличающихся друг от друга 
символик. В современной учебной и научной литературе наиболее распространены символики (обозначения) трех типов: символики Браве, Шёнфлиса и 
Германа – Могена. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. 
 
1.1. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ  
ПО БРАВЕ 
 
Символика Браве предполагает минимальное количество допущений и 
ограничений, что позволяет усвоить ее за короткое время. Благодаря своей 
простоте символика Браве широко используется на начальных этапах изучения 
курса кристаллографии и по этой причине считается учебной. 
Обозначение точечной группы симметрии по Браве представляет перечисление элементов симметрии в последовательности: количество осей симметрии старшего порядка → количество осей симметрии более низкого порядка → количество плоскостей симметрии → наличие центра симметрии. Ось 
симметрии обозначается буквой L с индексом n, соответствующим порядку 
оси. Так, оси L2, L3, L4, L6 обозначают простые поворотные оси симметрии 
второго, третьего, четвертого и шестого порядка соответственно. Для обозначения зеркальной плоскости симметрии в символике Браве используется буква P. 
Присутствие в символе буквы С свидетельствует о том, что анализируемый 
кристалл обладает центром симметрии. Таким образом, запись 3L44L36L29PC 
означает, что точечная группа симметрии характеризуется наличием трех поворотных осей симметрии четвертого порядка (3L4), четырех осей симметрии 
третьего порядка (4L3), шести осей симметрии второго порядка (6L2), девяти 
зеркальных плоскостей симметрии (9P) и центра симметрии (С).  
Если в состав точечной группы симметрии входит инверсионная ось симметрии, то для ее обозначения используется символ Łn. Индекс n здесь также 
служит для характеристики порядка оси. Например, элементы симметрии типа 
Ł3, Ł4, Ł6 – инверсионные оси третьего, четвертого и шестого порядка соответственно. Инверсионная ось симметрии первого порядка Ł1 по своей сути соответствует центру инверсии С, а инверсионная ось симметрии второго порядка