Методика работы с элементами математического содержания в средней школе: пособие для самостоятельной работы студентов.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  

им. А. И. ГЕРЦЕНА»

О. А. Лисимова

МЕТОДИКА РАБОТЫ С ЭЛЕМЕНТАМИ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ  

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Пособие  

для самостоятельной работы студентов

Санкт-Петербург

Издательство РГПУ им. А. И. Герцена

2020

ББК 22.1+74
 
Л63

Р е ц е н з е н т ы:

канд. пед. наук, проф. Е. И.  Лященко;
д-р пед. наук, проф. Н. Л.  Стефанова

 
Лисимова О. А. 

Л63 Методика  работы с элементами математического содержания 

в средней школе: пособие для самостоятельной работы студентов. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2020. — 144 с.

 
ISBN 978-5-8064-2806-7

Пособие для самостоятельной работы направлено на формирование совокуп
ности знаний, умений и опыта студентов, связанной с организацией изучения компонентов учебного материала школьного предмета математики — понятий, теорем, 
правил, задач как средства и как цели обучения. 

Для студентов педагогических вузов, обучающихся по программе профессио
нальной подготовки бакалавров по направлению 44.03.01 «Педагогическое образование», профиль «Математическое образование». Пособие рекомендуется для организации самостоятельной работы студентов в рамках дисциплины Б. 1.7.3 «Методика обучения и воспитания (математическое образование)».

ББК 22.1+74

 
© Лисимова О. А., 2020

 
© Лебединский С. В., оформление обложки, 2020

ISBN 978–5-8064-2806-7 
© Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§ 1. Математические понятия и методика их формирования  . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1. Логико-математический анализ определений понятий  . . . . . . . . . . . . . . .  7
1.2. Методика формирования понятий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21

§ 2. Методика обучения правилам и алгоритмам  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

§ 3. Математические утверждения. Методика работы с теоремой  

и ее доказательством при обучении математике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
3.1. Математические утверждения. Логико-математический анализ теорем  

 школьного курса математики  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  51

3.2. Математические доказательства в школьном обучении  . . . . . . . . . . . . .  62
3.3. Этапы изучения теоремы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  78

§ 4. Методика работы с задачами в школьном курсе математики  . . . . . . . . . . . .100

4.1. Задачи как средство обучения математике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  100
4.2. Задачи как цель обучения математике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  116
4.3. Методика работы с сюжетными задачами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126

Список учебников и учебных пособий, рекомендуемых к использованию  

при выполнении заданий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  142

ПРЕДИСЛОВИЕ

В программе профессиональной подготовки бакалавров по направ
лению «Педагогическое образование», профиль «Математическое образование» важное место занимает дисциплина «Методика обучения 
и воспитания». В ходе ее освоения студенты овладевают рядом профессиональных компетенций, среди которых ПК-1 (готовность реализовывать образовательные программы по учебному предмету в соответствии с требованиями образовательных стандартов), ПК-2 (способность использовать современные методы и технологии обучения 
и диагностики), ПК-4 (способность использовать возможности образовательной среды для достижения личностных, метапредметных и предметных результатов обучения и обеспечения качества учебно-воспитательного процесса средствами преподаваемого учебного предмета) 
и ряд других. В структурное содержание этих компетенций включается совокупность знаний, умений и опыта, которые необходимы для 
готовности к решению конкретной задачи, к действию в конкретной 
ситуации, возникающей в профессиональной деятельности учителя 
математики.

На первом этапе методической подготовки студентов в рамках ука
занной дисциплины  важным является формирование умений, связанных с организацией изучения компонентов учебного материала 
школьного предмета математики — понятий, теорем, правил, задач как 
средства и как цели обучения. Работа по обучению компонентам математического содержания предполагает выполнение следующих профессиональных действий:

• отбор теоретического содержания учебного материала и выявле
ние его логической структуры;

• составление набора задач как средства обучения конкретному 

содержанию;

• определение целесообразных методов и приемов организации 

учебно-познавательной деятельности учащихся;

• организация и обучение поиску решения математических задач 

как цели деятельности школьников.

Эти действия составляют основу формирования знаний и умений, 

связанных с изучением и методическим осмыслением содержания основных линий школьного курса математики, и овладения опытом применения различных технологий обучения. Освоение указанных умений 
осуществляется, прежде всего, в ходе самостоятельной работы студентов. Данное учебно-методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов, находящихся на начальном 
этапе знакомства с основами методики обучения математике как науки 
и учебного предмета.

Учебно-методическое пособие состоит из четырех параграфов, раз
битых на пункты. Первые три параграфа посвящены изучению элементов теоретического содержания, характерных для курса математики — 
понятий, утверждений, алгоритмов. В пунктах 1.1, 3.1, 3.2 содержится 
материал, направленный на формирование знаний студентов об изучаемом элементе теоретического содержания и умения выполнять его 
логико-математический анализ. Отдельно в пункте 1.2 рассматривается материал, обучающий студентов формировать у школьников математические понятия, а в пункте 3.3 — организовывать работу с теоремой 
и ее доказательством. Параграф 2 аналогичен по содержанию, но ввиду небольшого объема на пункты не разбит.

В заключительном четвертом параграфе речь идет о роли и месте 

задач в школьном курсе математики. В его содержании можно выделить 
две составляющих. Первая касается использования задач в качестве 
средства формирования теоретических знаний и связанных с ними умений. Поэтому соответствующий пункт (4.1) можно рассматривать как 
вспомогательный для параграфов 1–3, обучающий приемам составления 
и организации работы с системами задач. Вторая составляющая касается методики работы с задачами как целью математической деятельности учащихся. В пункте 4.2 раскрываются этапы работы с задачей 
в школе и некоторые приемы обучения решению задач. Пункт 4.3 посвящен методическим особенностям работы с сюжетными задачами.

Все пункты пособия имеют единую структуру. Вначале формулиру
ются цели изучения пункта, затем излагаются основные теоретические 
положения. Для формирования практических умений, необходимых 
в будущей профессиональной деятельности, формулируются задания 
для самостоятельной работы. Часть заданий отмечена символом  
* — эти задания даны с решениями, приведенными ниже как типичные 
примеры выполнения заданий. Разрабатывая типичные примеры, мы 
преследовали две цели. Первая: дать студентам образцы выполнения 

заданий, на которые они смогут ориентироваться. Формируемые при 
этом элементы репродуктивной деятельности развивают оперативность 
методических умений — способность быстро применять их в знакомой 
ситуации, а также являются базой для последующего решения методических задач на творческом уровне. Вторая цель: показать многовариантность определений понятий, видов теорем, способов их доказательства и т. д. и как следствие — разнообразие методических подходов 
к обучению этому содержанию. Для того чтобы акцентировать внимание студентов на общих закономерностях и частных особенностях 
методики, осмыслить ее, к типичным примерам предлагаются вопросы (они отмечены символом ►). Отметим, что в системе заданий для 
самостоятельной работы присутствуют задачи как репродуктивного 
характера, аналогичные типичным примерам, так и творческого характера. 

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ  
И МЕТОДИКА ИХ ФОРМИРОВАНИЯ

1.1. Логико-математический анализ  

определений понятий

Цели 
ü Систематизировать теоретические знания о видах и структуре 

определений математических понятий; теоретические положения 
проиллюстрировать примерами.

ü Формировать умение выполнять логико-математический анализ 

определений понятий школьного курса математики.

Основные теоретические положения
Понятие — форма теоретического мышления. Существуют различ
ные трактовки понятия. Приведем две из них. 

Понятие — форма мышления, отражающая совокупность существен
ных и несущественных свойств объектов реального мира (логическая 
трактовка).

Понятие — многоуровневая иерархически организованная структу
ра, включающая образы разной степени обобщенности (психологическая трактовка).

В каждом понятии различают содержание и объем. Содержание 

понятия — это множество всех существенных свойств объектов, принадлежащих понятию. Объем понятия — множество объектов, к которым данное понятие применимо. Средством раскрытия объема понятия 
является классификация, средством раскрытия содержания понятия — 
определение.

Классификация — разделение множества объектов, составляющих 

объем родового понятия, на виды.

Правила классификации:
1. Классификация проводится по определенному основанию (при
знаку), остающемуся неизменным в процессе классификации.

2. Понятия, получаемые в результате классификации, независимы, 

т. е. ни один объект не может попасть сразу в два класса.

3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, рав
на объему родового понятия.

4. В процессе классификации переходят к ближайшему виду.
Классификация может быть дихотомической (по наличию или от
сутствию у объекта какого-либо свойства) и по видоизменению свойства 
(свойство присуще объектам разных видов в разной степени). С целью 
систематизации знаний учащихся деление объектов на классы и подклассы часто производится последовательно.

Зафиксировать классификацию в зависимости от целей ее использо
вания можно в виде схемы или таблицы. В дидактических целях бывает 
полезно показать отношения между классами объектов, выделенных по 
разным основаниям (например, между множествами прямоугольников, 
ромбов и квадратов). Это можно сделать с помощью диаграмм Эйлера — Венна.

Определение понятия как процесс — логическая операция, рас
крывающая основное содержание понятия или значение термина. Для 
корректного определения следует выбрать те существенные свойства 
понятия, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточны для выделения определяемого понятия из множества других. 
Опреде ление понятия как результат — связное речевое или символическое предложение, перечисляющее необходимые и достаточные свойства 
понятия. 

Способы раскрытия основного содержания задают виды определе
ний (рис. 1).

Рис. 1

В средней школе преобладают вербальные явные определения. Их 

структура: термин — род — видовое отличие. Способ выделения видовых отличий определяет частный вид явного определения: через 
описание характеристических свойств, конструктивные или генетические (задан способ построения или происхождения объекта), рекурсивные (указываются базисные объекты некоторого множества 
и правила получения новых объектов этого же множества), отрицательные (объект задается через отсутствие у него определенных 
свойств). Видовые отличия могут быть связаны конъюнктивно или 
дизъюнктивно. 

Требования к определениям понятий:
1. Соразмерность: равенство объемов определяемого и определяю
щего понятий.

2. Непротиворечивость: определяемый объект должен существовать, 

что устанавливается теоремой существования или указанием способа 
построения.

3. Отсутствие порочного круга: новое понятие определяется через 

не зависящие от него понятия.

4. Связь между содержанием и объемом понятия: в определении 

указываются существенные свойства понятия, причем те и столько, 
чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для 
отличия этого понятия от других.

Также целесообразно определять объект через ближайший род и же
лательно, чтобы определение не было отрицательным.

Логико­математический анализ (ЛМА) определения понятия, за
данного через род и видовое отличие, предполагает выделение его 
структуры и математического содержания. Для его выполнения необходимо определить термин, род, видовое отличие, способ задания видового отличия, логическую связь между видовыми отличиями и сделать вывод.

Задания для самостоятельной работы
1. Определите основание и вид приведенных классификаций:
а) ⃰ Призмы делятся на прямые и наклонные.
б) Пирамиды делятся на треугольные, четырехугольные, пятиуголь
ные, …

в) ⃰ Натуральные числа делятся на простые, составные и единицу.
г) Комплексные числа делятся на действительные и мнимые.
д) ⃰ См. рис. 2.

Рис. 2

е) ⃰ Треугольники делятся на разносторонние остроугольные, раз
носторонние тупоугольные, разносторонние прямоугольные, равнобедренные остроугольные, равнобедренные тупоугольные, равнобедренные прямоугольные.

ж) См. рис. 3.

Рис. 3

2. ⃰ Выполните последовательную классификацию множества дей
ствительных чисел.

3. С помощью диаграмм Эйлера — Венна покажите отношения 

между следующими множествами:

а) А — множество прямоугольных треугольников; В — множество 

равнобедренных треугольников; С — множество треугольников.

б) А — множество функций; В — множество четных функций; С — 

множество нечетных функций; D — множество строго монотонных 
функций.

в) А — множество пирамид; В — множество треугольных пирамид; 

С — множество правильных пирамид; D — множество правильных тетраэдров.