Начала геометрии многогранных поверхностей

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВыСшЕгО ОбРАзОВАНИя РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ гОСУДАРСТВЕННОЕ бЮДЖЕТНОЕ ОбРАзОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВыСшЕгО ОбРАзОВАНИя  
«РОССИЙСКИЙ гОСУДАРСТВЕННыЙ ПЕДАгОгИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  
им. А. И. гЕРЦЕНА»

А. Л. Вернер, М. Н. Васильева,  
О. Г. Голокова

НАчАЛА ГеОМетрии  
МНОГОГрАННых пОВерхНОстей

У ч е б н о е  п о с о б и е

санкт-петербург
издательство рГпУ им. А. и. Герцена
2019

ббК 22.151
 
В35

 
Вернер А. Л., Васильева М. Н., Голокова О. Г. 
В35  Начала геометрии многогранных поверхностей: учебное пособие. — СПб.: Изд­во РгПУ им. А. И. герцена, 2019. — 88 с. 

 
ISBN 978­5­8064­2769­5

Те, кто интересуется геометрией, могут среди невыпуклых многогранников 
найти новые факты. В XX веке геометры занимались, главным образом, выпуклыми многогранниками, доказав о них много прекрасных теорем. Но даже 
для простых невыпуклых многогранников неизвестно, например, их топологическое строение (ориентируемость, связность и т. д.), не исследована их 
внутренняя геометрия. Данное пособие вводит в круг этих вопросов и даёт 
примеры исследования геометрии простейших невыпуклых многогранников. 
Оно рассчитано на семестровый курс для старшеклассников или студентов 
математических факультетов.

ббК 22.151

 
© А. Л. Вернер, М. Н. Васильева, О. г. голокова, 2019
 
© С. В. Лебединский, оформление обложки, 2019
ISBN 978-5-8064-2769-5 
© Издательство РгПУ им. А. И. герцена, 2019

Содержание

Предисловие. Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5

Введение: 1. Понятие многогранной поверхности. 2. Эйлерова характеристика и кривизна многогранной поверхности: 3. Понятие развёртки. 4. Кривизна и эйлерова характеристика развёртки. 5. Метрика развёртки. 
6. Ориентируемость и род многогранной поверхности 
(многогранной развёртки). 7. Многогранники Кеплера — Пуансо. 8. Выпуклая оболочка . . . . . . . . . . . . . . .  9

§ 1. Многогранные углы и сферические многоугольники: 1.1. Трёхгранные углы и сферические треугольники. 1.2. Понятие многогранного угла. 1.3. Выпуклые многогранные углы и выпуклые сферические 
многоугольники. 1.4. Двойственные многогранные 
углы. Сферическое изображение выпуклых многогранных углов. 1.5. Проекция на сферу октаэдра, куба 
и тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

§ 2. Полярная взаимность многогранников: 2.1. Полярное преобразование. 2.2. Взаимно полярные 
выпуклые мно гогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

§ 3. «Семья» октаэдра — семигранник и шестигранник. 3.1. «Семья» октаэдра. 3.2. геометрия семигранника штейнера 3.3. геометрия шестигранника W. . . 45

§ 4. Кубооктаэдр и его «семья»: 4.1. Кубооктаэдр.  
4.2. Октатетраэдр. 4.3. Кубогемиоктаэдр  . . . . . . . . . . 54

§ 5. Ромбокубооктаэдр и его «семья»: 5.1. Ромбокубооктаэдр. 5.2. Малый кубокубооктаэдр. 5.3.Малый 
ромбогексаэдр  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Заключение. Тематика дальнейших исследований . . . 77

Задачный материал  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Предметный указатель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ПредиСловие. литература 

Это пособие написано для тех, кто захочет о многогранниках узнать больше, чем сказано о них в школьном курсе 
математики. А знакомство с простейшими многогранниками — прямоугольными параллелепипедами — начинается 
уже в младших классах. И затем список изучаемых в школе 
многогранников расширяется и обычно завершается знакомством с пятью правильными многогранниками Платона 
(рис. 1):

Рис. 1. Правильные многогранники Платона

Читая это пособие, полезно обращаться и к другим книгам 
о многогранниках. Многие из них сейчас есть и в интернете. 
Много в интернете и других сведений о многогранниках. Укажем сразу список рекомендуемых нами книг.

ЛиТеРАТ уРА

 1. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. Новосибирск: Наука, 2007. С. 491.

2. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. геометрия 11: учебник, углубленный уровень. М.: Просвещение, 2017. С. 272.
 3. Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973. С. 440.
 4. Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974. С. 236.
 5. Вернер А. Л., Васильева М. Н., Голокова О. Г. геометрия правильных звёздчатых многогранников. СПб.: Изд­во РгПУ 
им. А. И. герцена, 2018. С. 99.
 6. Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. геометрия. Ч. 2: учебное пособие для пединститутов. СПб.: Спецлит, 1997. С. 317.
 
7. Гильберт Д. и Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.; Л.: гостехиздат, 1951. С. 352.
 8. Смирнова И. М. В мире многогранников. М.: Просвещение, 1995. 
С. 143.
 9. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Правильные, полуправильные 
и звездчатые многогранники. М.: МЦНМО, 2010. С. 135.
 10. Энциклопедия элементарной математики. Т. IV. геометрия. М.: 
Физматгиз, 1963.
 11. H. S. M. Coxeter. Regular polytopes. Dover publications, INC. New 
York, 2014.

Под словом многогранник в этом пособии имеется в виду 
многогранная поверхность (как и в классической монографии 
[1]), а не многогранное тело (как в школьных учебниках).
Многогранник задаётся тремя остовами: нульмерным остовом — набором его вершин, одномерным остовом — набором 
его рёбер, и двумерным остовом — набором его граней.
замкнутый выпуклый многогранник задаётся своим нульмерным остовом — набором своих вершин. Набор его рёбер 
и набор его граней уже порождаются набором его вершин.
Для невыпуклого многогранника это не так. Даже набор 
его рёбер не задаёт невыпуклый многогранник. Например, в 
§ 4 изучаются два различных невыпуклых многогранника, 
у которых система рёбер такая же, как система рёбер выпуклого многогранника — кубооктаэдра (рис. 2):

Рис. 2. Кубооктаэдр

Аналогично, и в § 5 изучаются два различных невыпуклых 
многогранника, у которых система рёбер такая же, как 
у выпуклого многогранника — ромбокубооктаэдра (рис. 3):

Рис. 3. Ромбокубооктаэдр

Изучение невыпуклых многогранников в параграфах 3 — 
5 приходится начинать с изучения их топологических свойств, 
которые для выпуклых многогранников тривиальны — все 
замкнутые выпуклые многогранники ориентируемы и имеют 
нулевой род. А даже среди простейших невыпуклых многогранников встречаются как ориентируемые, так и неориентируемые многогранники, род их различен, и понять их тополо

гическое строение непросто. Изучены также простейшие задачи внутренней геометрии этих многогранников. 
В последнем параграфе пособия указана тематика дальнейших исследований. Изучение геометрии каждого из названных 
там многогранников (по плану исследований, выполненных 
в этом пособии) посильно для учеников старших классов и студентов факультетов математики педагогических университетов. 
Практика нашей работы, итогом которой стала наша книга 
[5], убеждает нас в этом. 
Авторы

введение

1. Понятие многогранной поверхности. Слово многогранник знакомо каждому. Любой человек знает, что куб — это 
многогранник, но кто­то, услышав слово куб, подумает о деревянном детском кубике, а кто­то — о картонной коробочке. 
Деревянный кубик — это многогранное тело, а картонная коробочка — это многогранная поверхность.
Предметом этого пособия будут многогранные поверхности 
в трёхмерном евклидовом пространстве, а слово многогранник 
означает — многогранная поверхность, т. е. связная фигура 
в пространстве, составленная из конечного числа простых 
плоских многоугольников, которые прикладываются друг 
к другу равными сторонами (склеиваются). При этом, к той 
стороне, к которой уже приложен многоугольник, прикладывать другие не разрешается. 
Если склеены все стороны, то многогранник называется 
замкнутым, если не все, то оставшиеся свободные от склеивания стороны составляют край многогранной поверхности.
Многоугольники называются гранями многогранной поверхности, а стороны и вершины граней — рёбрами и вершинами многогранной поверхности.
Напомниим, что набор вершин многогранной поверхности 
называется её нульмерным остовом или 0-остовом, а набор 
её рёбер называется её одномерным остовом или 1-остовом. 
При построении многогранника мы сначала указываем набор 
его вершин (0­остов), далее соединяем их ребрами (строим 
1­остов), а затем натягиваем на эти рёбра грани многогранника (строим 2­остов). 
Сеть рёбер многогранника играет важную роль при исследовании многогранника. Сеть рёбер любого выпуклого много