Солнечно-земная физика, 2022, № 1

СОЛНЕЧНО-ЗЕМНАЯ ФИЗИКА 

 
СМИ зарегистрировано Федеральной службой 
по надзору в сфере связи, информационных 
технологий и массовых коммуникаций (
Роскомнадзор). Регистрационный номер 
ЭЛ № ФС 77 – 79288 от 2 октября 2020 г.

Издается с 1963 года 

ISSN 2712-9640

              DOI: 10.12737/issn. 2712-9640 
              Том 8. № 1. 2022. 87 с. 
              Выходит 4 раза в год 

Учредители: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки 
Ордена Трудового Красного Знамени Институт солнечно-земной физики 
Сибирского отделения Российской академии наук 

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Сибирское отделение Российской академии наук»

 
 

SOLAR-TERRESTRIAL PHYSICS 

 

Registered by Federal Service for Supervision 
of Communications, Information Technology 
and Mass Media (Roscomnadzor). Registration 
Number EL No. FS 77 – 79288 of October 02, 
2020. ЭЛ № ФС77-79288

The edition has been published since 1963 

ISSN 2712-9640

               DOI: 10.12737/issn.2412-4737 
               Vol. 8. Iss. 1. 2022. 87 p. 
               Quarterly 

Founders: Institute of Solar-Terrestrial Physics of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences 

Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

 

 

Состав редколлегии журнала 
 
 
Editorial Board 
 

Жеребцов Г.А., академик —
главный редактор, ИСЗФ СО РАН

Zherebtsov G.A., Academician, Editor-in-Chief, 
ISTP SB RAS

Степанов А.В., чл.-к. РАН —
заместитель главного редактора, ГАО РАН

Stepanov A.V., Corr. Member of RAS, 
Deputy Editor-in-Chief, GAO RAS

Потапов А.С., д-р физ.-мат. наук —
заместитель главного редактора, ИСЗФ СО РАН

Potapov A.S., D.Sc. (Phys.&Math), 
Deputy Editor-in-Chief, ISTP SB RAS

Члены редколлегии 
Members of the Editorial Board  

Алтынцев А.Т., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
Altyntsev A.T., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Афанасьев Н.Т., д-р физ.-мат. наук, ИГУ
Afanasiev N.T., D.Sc. (Phys.&Math.), ISU

Белан Б.Д., д-р физ.-мат. наук, ИОА СО РАН
Belan B.D., D.Sc. (Phys.&Math.), IAO SB RAS

Гульельми А.В., д-р физ.-мат. наук, ИФЗ РАН
Guglielmi A.V., D.Sc. (Phys.&Math.), IPE RAS

Деминов М.Г., д-р физ.-мат. наук, ИЗМИРАН
Deminov M.G., D.Sc. (Phys.&Math.), IZMIRAN

Ермолаев Ю.И., д-р физ.-мат. наук, ИКИ РАН
Yermolaev Yu.I., D.Sc. (Phys.&Math.), IKI RAS

Лазутин Л.Л., д-р физ.-мат. наук, НИИЯФ МГУ
Lazutin L.L., D.Sc. (Phys.&Math.), SINP MSU

Леонович А.С., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
Leonovich A.S., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Мареев Е.А., чл.-к. РАН, ИПФ РАН
Mareev E.A., Corr. Member of RAS, IAP RAS

†Мордвинов А.В., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
†Mordvinov A.V., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Обридко В.Н., д-р физ.-мат. наук, ИЗМИРАН
Obridko V.N., D.Sc. (Phys.&Math.), IZMIRAN

Перевалова Н.П., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
Perevalova N.P., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Салахутдинова И.И., канд. физ.-мат. наук,
Salakhutdinova I.I., C.Sc. (Phys.&Math.),

ученый секретарь, ИСЗФ СО РАН
Сафаргалеев В.В., д-р физ.-мат. наук, ПГИ 

Scientific Secretary, ISTP SB RAS
Safargaleev V.V., D.Sc. (Phys.&Math.), PGI 

Сомов Б.В., д-р физ.-мат. наук, ГАИШ МГУ
Somov B.V., D.Sc. (Phys.&Math.), SAI MSU

Стожков Ю.И., д-р физ.-мат. наук, ФИАН
Stozhkov Yu.I., D.Sc. (Phys.&Math.), LPI RAS

Тащилин А.В., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
Tashchilin A.V., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Уралов А.М., д-р физ.-мат. наук, ИСЗФ СО РАН
Uralov A.M., D.Sc. (Phys.&Math.), ISTP SB RAS

Лестер М., проф., Университет Лестера, Великобритания
Lester M., Prof., University of Leicester, UK

Йихуа Йан, проф., Национальные астрономические
обсерватории Китая, КАН, Пекин, Китай 

Yan Yihua, Prof., National Astronomical Observatories,
Beijing, China 

Панчева Дора, проф., Национальный институт геодезии, 
геофизики и географии БАН, София, Болгария 

Pancheva D., Prof., Geophysical Institute, Bulgarian
Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria 

Полюшкина Н.А., ответственный секретарь редакции,
ИСЗФ СО РАН 

Polyushkina N.A., Executive Secretary of Editorial Board,
ISTP SB RAS 

СОДЕРЖАНИЕ

Михайлова О.С., Климушкин Д.Ю., Магер П.Н. Современное состояние теории УНЧ-пульсаций 

диапазона Рс1 в плазме магнитосферы с тяжелыми ионами: обзор .…………………………………….. 3–18 

Боровик А.В., Жданов А.А. Малые солнечные вспышки и локальные линии раздела полярности 

продольного магнитного поля активной области ……………………………………………..................... 19–23 

Муратова Н.О., Федотова А.Ю., Шамсутдинова Ю.Н. Результаты совместных наблюдений

на Солнечном спектрополяриметре метрового диапазона и ряде других инструментов …………….... 24–33 

Григорьев В.Г., Герасимова С.К., Гололобов П.Ю., Стародубцев С.А., Зверев А.С. Особенности 

спорадических вариаций плотности и анизотропии галактических космических лучей в 24-м цикле 
солнечной активности ……………………………………………………………………………………….

 
34–38 

Козырева О.В., Пилипенко В.А., Добровольский М.Н., Зайцев А.Н., Маршалко Е.Е. База дан-

ных геомагнитных наблюдений в российской Арктике и ее использование для оценки воздействий
космической погоды на технологические системы ……………………………………………..…………..

 
39–50 

Гивишвили Г.В., Лещенко Л.Н. Многолетний тренд реакции Е-слоя ионосферы на солнечные 

вспышки …………………………………………………………………………………………………….. 51–57 

Кушнаренко Г.П., Кузнецова Г.М., Яковлева О.Е. Дневная электронная плотность на высотах 

ионосферного слоя F1 во время геомагнитных возмущений на станции Иркутск ………………...…… 58–61 

Сорокин А.Г., Добрынин В.А. О методике исследования инфразвуковых волн от гроз …………… 62–69

Скоморовский В.И., Кушталь Г.И., Токарева Л.С. Исландский шпат и разработка интерферен-

ционно-поляризационных фильтров (ИПФ) ……………………………………………………………..... 70–86 

CONTENTS 
 

Mikhailova O.S., Klimushkin D.Yu., Mager P.N. The current state of the theory of Pc1 range ULF pul-

sations in magnetospheric plasma with heavy ions: A review ……………………………………………….. 3–18 

Borovik A.V., Zhdanov A.A. Small solar flares and local polarity inversion lines of the longitudinal 

magnetic field of the active region …………………………………………………………………………… 19–23 

Muratova N.O., Fedotova A.Yu., Shamsutdinova J.N. Results of joint observations with solar spectro-

polarimeter  of meter range wavelengths and other instruments ………………..……………………………. 24–33 

Grigoryev V.G., Gerasimova S.K., Gololobov P.Yu., Starodubtsev S.A., Zverev A.S. Peculiarities of 

sporadic variations in density and anisotropy of galactic cosmic rays in solar cycle 24 ….............................
34–38 

Kozyreva O.V., Pilipenko V.A., Dobrovolsky M.N., Zaitsev A.N., Marshalko E.E. Database of geo-

magnetic observations in Russian Arctic and its application for estimates of the space weather impact on 
technological systems …………………………………………………………………………………………

 
39–50 

Givishvili G.V., Leshchenko L.N. Long-term trend of the ionospheric E-layer response to solar flares ... 51–57

Kushnarenko G.P., Kuznetsova G.M., Yakovleva O.E. Daytime electron density at ionospheric F1-layer

heights during geomagnetic storms (Irkutsk)……................................................................................................. 58–61 

Sorokin A.G., Dobrynin V.A. Method of studying infrasound waves from thunderstorms ………..……… 62–69

Skomorovsky V.I., Kushtal G.I., Tokareva L.S. Iceland spar and birefringent filter (BF) development ... 70–86

 

Солнечно-земная физика. 2022. Т. 8. № 1 
 
 
 
        Solnechno-zemnaya fizika. 2022. Vol. 8. Iss. 1 

3 

УДК 533.951.2  
 
 
 
 
 
 
       Поступила в редакцию 23.07.2021 
DOI: 10.12737/szf-81202201 
 
 
 
 
 
       Принята к публикации 09.11.2021 

 

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ УНЧ-ПУЛЬСАЦИЙ 
ДИАПАЗОНА Рс1 В ПЛАЗМЕ МАГНИТОСФЕРЫ 
С ТЯЖЕЛЫМИ ИОНАМИ: ОБЗОР 

THE CURRENT STATE OF THE THEORY OF Pc1 RANGE ULF 
PULSATIONS IN MAGNETOSPHERIC PLASMA WITH HEAVY 
IONS: A REVIEW 
 
О.С. Михайлова 
 
Институт солнечно-земной физики СО РАН, 
Иркутск, Россия, o_mikhailova@iszf.irk.ru 
Д.Ю. Климушкин 
 
Институт солнечно-земной физики СО РАН, 
Иркутск, Россия, klimush@iszf.irk.ru 
П.Н. Магер 
 
Институт солнечно-земной физики СО РАН, 
Иркутск, Россия, p.mager@iszf.irk.ru 

O.S. Mikhailova 
Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, 
Irkutsk, Russia, o_mikhailova@iszf.irk.ru 
D.Yu. Klimushkin 
Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, 
Irkutsk, Russia, klimush@iszf.irk.ru 
P.N. Mager 
Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, 
Irkutsk, Russia, p.mager@iszf.irk.ru 

 

 
Аннотация. В обзоре излагается современное состояние 
теории короткопериодных УНЧ-волн, учитывающей 
наличие в плазме магнитосферы примеси 
тяжелых ионов (ионов, масса которых существенно 
превышает массу протонов). Наличие тяжелых 
ионов влияет на спектр и характеристики распространения 
волн диапазона Рс1. Рассмотрены элементы 
теории квазипродольных и квазипоперечных 
короткопериодных 
УНЧ-волн. 
Квазипродольные 
ионно-циклотронные волны, как правило, имеют 
левую круговую поляризацию. Квазипоперечные 
ионно-ионные гибридные волны имеют линейную 
поляризацию и могут быть полоидальными и тороидальными. 
Рассмотрена теория экваториального 
резонатора для волн Рс1, размер которого определяется 
концентрацией тяжелых ионов. В радиальном 
направлении волны могут быть заперты в окрестности 
плазмопаузы или в области локального минимума 
плотности тяжелых ионов. Рассмотрены размеры 
экваториального резонатора при произвольных значениях 
компонент волнового вектора. Отмечено, что 
ионно-ионные гибридные волны в отличие от аль-
фвеновских волн имеют большую продольную компоненту 
магнитного поля. 
Ключевые слова: геомагнитные пульсации Pc1, 
УНЧ-волны, ионно-ионные гибридные волны, многокомпонентная 
плазма, тяжелые ионы. 

Abstract. The review considers the current state of 
the theory of short-period ULF waves in plasma with 
admixture of heavy ions (ions whose mass significantly 
exceeds the mass of protons). The presence of heavy 
ions influences the spectrum and propagation character-
istics of waves in Pc1 range. We examine elements of 
the theory of quasi-parallel and quasi-perpendicular 
short-period ULF waves. It is usually suggested that 
quasi-parallel ion-cyclotron waves have a left circular 
polarization. Quasi-perpendicular ion-ion hybrid waves 
have linear polarization and can be poloidal and toroi-
dal. We discuss the theory of an equatorial resonator for 
Pc1 waves and determine its size from the density of 
heavy ions. In the radial direction, the waves can be 
locked in the vicinity of the plasmapause or in the re-
gion of a local minimum in the density of heavy ions. 
The equatorial resonator for arbitrary values of the wave 
vector components is considered. We note that ion-ion 
hybrid waves, in contrast to Alfvén waves, have a large 
parallel component of the magnetic field. 
Keywords: Pc1 geomagnetic pulsations, ULF 
waves, ion-ion hybrid waves, multicomponent plasma, 
heavy ions. 
 
 
 

 

 
ВВЕДЕНИЕ 

В магнитосфере Земли непрерывно наблюдаются 
волны ультранизкой частоты (УНЧ). Обычно они 
подразделяются на короткопериодные (Рс1-2 и Рi1) 
и длиннопериодные (Pc3-5 и Pi2) волны. Наиболее 
высокочастотными из них являются геомагнитные 
пульсации Рс1 (0.2–5 Гц). Они играют важную роль 
в различных магнитосферных процессах, в том числе 
в 
магнитосферно-ионосферном 
взаимодействии 
[Demekhov, 2012; Fedorov et al., 2016; Mishin et al., 
2020], в процессах обогащения магнитосферы тяже- 

лыми ионами во время суббурь [Horne, Thorne, 
1997], в усилении высыпания протонов [Lessard et 
al., 2011; Mishin et al., 2018] и ускорении заряжен-
ных частиц [Engebretson et al., 2007; Usanova et al., 
2014]. Среди пульсаций Pc1 выделяется особая раз-
новидность колебаний, сонограмма которых напо-
минает нитку с жемчугом — такие пульсации полу-
чили название жемчужин. [Гульельми, Троицкая, 
1973; Fraser et al., 2006; Гульельми, Потапов, 2019; 
2021]. По-видимому, впервые этот термин встретился 
в работе [Sucksdorff, 1936]. 

О.С. Михайлова, Д.Ю. Климушкин, П.Н. Магер 
 
 
      O.S. Mikhailova, D.Yu. Klimushkin, P.N. Mager 

 
4

Большинство наблюдаемых в космосе УНЧ-волн 
диапазонов Рс1-2 отождествляют с EMIC-волнами 
(electromagnetic ion cyclotron waves). Предполагается, 
что они генерируются ионно-циклотронной не-
устойчивостью в приэкваториальной области маг-
нитосферы из-за анизотропии тензора давления 
[Cornwall, 1965; Kennel, Petschek, 1966; Гульельми, 
1968]. Теоретические [Horne, Thorne, 1993; Кролл, 
Трайвелпис, 1975] и экспериментальные исследова-
ния [Young et al., 1981; Anderson et al., 1992b, 
1996; Fraser, Nguyen, 2001] показали, что ионно-
циклотронные волны имеют левую круговую поля-
ризацию. Для развития ионно-циклотронной не-
устойчивости волна должна быть квазипродольной, 
т. е. продольная длина волны должна быть значи-
тельно меньше, чем поперечная. 
Долгое время основной моделью, объясняющей 
формирование волнового пакета Pc1, была модель 
бегущего волнового пакета. Согласно этой модели, 
пульсации Рс1 представляют собой волновые пакеты, 
перемещающиеся вдоль силовой линии и испыты-
вающие периодические отражения от высокопрово-
дящей ионосферы [Jacobs, Watanabe, 1964; Obayashi, 
1965]. 
Структура ионно-циклотронных волн поперек 
силовых линий исследовалась в работе [Dmitrienko, 
Mazur, 1992], где было установлено, что из-за нали-
чия локального минимума радиального профиля 
альфвеновской скорости вблизи плазмопаузы эти 
волны могут быть замкнуты в резонатор поперек 
магнитных оболочек в этой области магнитосферы. 
В дальнейшем оказалось, что модель бегущего 
волнового пакета не может объяснить все наблюда-
емые пульсации Pc1. С одной стороны, спутниковые 
данные показывают, что наблюдаемый период по-
вторения жемчужин является слишком коротким, 
чтобы его можно было отождествить с периодом 
отражения пакета от ионосферы [Mursula et al., 
2001; Mursula, 2007]. С другой стороны, во многих 
случаях пакет вообще не может пробегать вдоль 
всей силовой линии. Связано это с наличием в маг-
нитосферной плазме тяжелых ионов, т. е. ионов, 
масса которых значительно превышает массу про-
тонов. Спутниковые данные указывают на большое 
содержание ионов кислорода в магнитосферной 
плазме на восстановительной фазе магнитной бури 
[Takahashi et al., 2006; Yang et al., 2010]. На важ-
ность учета тяжелых ионов для изучения пульсаций 
Pc1 впервые было обращено внимание в работах 
[Гинцбург, 1963; Smith, Brice, 1964; Gurnett et al., 
1965; Гульельми, 1967]. Важное значение имеет ис-
следование траекторий пакетов ионно-циклотрон-
ных волн в магнитосфере, проведенное в работе 
[Rauch, Roux, 1982]. 
Структура ионно-циклотронных волн Рс1 вдоль 
силовой линии в плазме с тяжелыми ионами исследо-
валась в работах [Guglielmi et al., 2000, 2001]. Авторы 
показали, что такие волны могут быть замкнуты 
вдоль силовой линии в резонатор в экваториальной 
области силовой линии. Таким образом, пакет мо-
жет осциллировать только между границами резона-
тора (точками отражения волны). Дальнейшие ис-
следования этих эффектов проводились в статьях 

[Lundin, Guglielmi, 2006; Guglielmi, Kangas, 2007; 
Гульельми, Потапов, 2012]. 
Кроме того, было установлено, что во многих 
случаях пульсации Pc1 имеют линейную поляриза-
цию [Young et al., 1981; Anderson et al., 1992b, 
1996; Fraser, Nguyen, 2001]. Такие волны не могут 
быть отождествлены с ионно-циклотронными мо-
дами, которые обязаны быть левополяризованными. 
В статье [Lee et al., 2008] было высказано предпо-
ложение, что линейно-поляризованные пульсации 
Pc1 можно отождествить с ионно-ионными гибрид-
ными (ИИГ) волнами, которые могут существовать 
в плазме с наличием двух или более видов ионов — 
более легких и более тяжелых [Buchsbaum, 1960]. 
В земной магнитосфере легкие ионы естественно 
отождествить с протонами, тяжелые — с ионами 
кислорода и иногда гелия. 
В работах [Mithaiwala et al., 2007; Klimushkin et 
al., 2010; Farmer, Morales, 2013; Kim et al., 2015a] 
было установлено, что ИИГ-моды должны быть за-
мкнуты вдоль силовой линии в резонатор в приэква-
ториальной области магнитосферы. Действительно, 
линейно-поляризованные пульсации Pc1 обычно 
наблюдаются вблизи геомагнитного экватора [An-
derson et al., 1992a; Horne, Thorne, 1993; Lotoaniu, 
2005; Chen et al., 2009]. Важно отметить, что в тео-
рии ИИГ-моды возникают в противоположном пре-
деле по сравнению с ионно-циклотронными модами: 
они должны быть квазипоперечными, т. е. их попе-
речная длина волны должна быть значительно 
меньше, чем продольная. Теория ИИГ-волн в маг-
нитосфере 
Земли 
рассматривалась 
в 
работах 
[Klimushkin et al., 2006, 2010; Михайлова, 2011; 
Kazakov, Fulop, 2013; Kim et al., 2015b, 2019; 
Mikhailova et al., 2020a, b]. Некоторые наблюдаемые 
события свидетельствует о сильной широтной лока-
лизации волн Pc1 [Mursula et al., 1994; Engebretson et 
al., 2002, 2008; Yahnin et al., 2007], что также позволяет 
ассоциировать их с квазипоперечными ИИГ-модами. 
ИИГ-волны также могут существовать в магнитосфере 
Меркурия, где роль тяжелых ионов играет натрий 
[Glassmeier et al., 2003, 2004; Kim et al., 2008, 2013]. 
Едва ли есть возможность уместить в один обзор 
все имеющиеся теоретические модели, объясняю-
щие механизмы формирования и структуру пульса-
ций Рс1. В данной статье представлены разные под-
ходы к исследованию короткопериодных УНЧ-волн 
в многокомпонентной плазме: квазипродольное и ква-
зипоперечное приближения. В геофизике под ква-
зипродольным приближением обычно подразуме-
вается случай распространения волны под углом 
не выше 45° к окружающему магнитному полю, 
под квазипоперечным — распространение волны 
под углом от 60° до 90° [Брюнелли, Намгаладзе, 
1988]. В дальнейшем под термином «квазипродоль-
ный» мы будем иметь в виду большое значение 
продольной компоненты волнового вектора 
,
k → ∞

 

и для квазипоперечного приближения — большую 
величину поперечной компоненты волнового вектора 
k⊥ → ∞  соответственно. 
Обзор имеет следующую структуру. Раздел 1 со-
держит основные уравнения, используемые для ана-
литических выкладок. Раздел 2 посвящен использо-

Современное соcтояние теории УНЧ-пульсаций                            The current state of the theory of Pc1 range ULF pulsations 

 
5

ванию квазипродольного приближения для исследо-
вания структуры волны вдоль силовых линий (под-
раздел 2.1) и пространственной структуры ионно-
циклотронных волн в плазме с тяжелыми ионами 
(подраздел 2.2). В разделе 3 рассмотрены квазипо-
перечное приближение, продольная структура волн 
в окрестности геомагнитного экватора (подраздел 3.2), 
возможность существования тороидальной и полои-
дальной мод (подраздел 3.3), резонатор для ИИГ-волн 
поперек магнитных оболочек (подраздел 3.4). В раз-
деле 4 обсуждается локализация волн при произволь-
ном значении волнового вектора. Раздел 5 содержит 
обсуждение нерешенных вопросов и заключение. 
 
1. 
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 

Для 
исследования 
УНЧ-волн 
в 
дипольно-
подобной магнитосфере используется аксиально-
симметричная система координат {х1, х2, х3}, вы-
бранная таким образом, чтобы радиальная коорди-
ната х1 определяла номер магнитной оболочки, ази-
мутальная координата х2 отмечала силовую линию, 
а продольная координата х3 — точку на силовой 
линии (рис. 1). В качестве радиальной координаты 
можно использовать параметр Мак-Илвейна L, а ази-
мутальный угол φ — в качестве азимутальной коор-
динаты. Физическая длина вектора в такой системе 
координат определяется выражением 
.
i
i
i
dl
g dx
=
 
Здесь gi — компонента метрического тензора, а 

ig  — коэффициент Ламэ. Детерминант метриче-
ского тензора: g=g1g2g3. 
В дипольной модели магнитосферы компоненты 
метрического тензора [Брюнелли, Намгаладзе, 1988; 
Леонович, Мазур, 2016] выражаются через магнит-

ную широту θ: 

6

1
2
cos
,
1 3sin
g
θ
=
+
θ

 
2
6
2
cos
.
g
L
=
θ  Эле-

мент длины силовой линии можно найти в виде 

3
2
3
cos
1 3sin
.
dl
g dx
L
d
=
=
θ
+
θ θ
 
 

В аксисимметричном магнитном поле все возму-
щенные величины могут быть представлены в виде 

2
2
,
i t ik x
e− ω +
 где k2 — азимутальная компонента вол-
нового вектора. Поскольку координата x2 направле-
на по азимуту, в качестве этой координаты может 
быть использован азимутальный угол φ. Тогда 
k2 =m, где m — азимутальное волновое число. 
Рассмотрим УНЧ-волну с частотой ω, распростра-
няющуюся в холодной плазме, состоящей из электро- 

 

Рис. 1. Система координат, связанная с магнитным по-
лем Земли [Mager, Klimushkin, 2013] 

нов, протонов и тяжелых ионов. Возмущения элек-
трического поля волны E


 можно найти из уравне-
ний Максвелла: 

2

2 ˆ ,
E
E
c
ω
∇×∇×
=
ε



 
(1) 

где c — скорость света; ˆε  — тензор диэлектриче-
ской проницаемости. Его компоненты задаются сле-
дующим образом [Glassmeier et al., 2003]: 

2
2
pp
ph
2
2
2
2
cp
ch

2
2
2
pe
cp
pp
ph
ch
2
2
2
2
ce
cp
ch

,

,

.

⊥

ε → −∞

Ω
Ω
ε
=
+
Ω
− ω
Ω
− ω

Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
h =
−
−
ωΩ
ω
ω
Ω
− ω
Ω
− ω



 
(2) 

Здесь Ωp и Ωc — плазменная и циклотронная частоты. 
Второй индекс обозначает соответствующую частицу: 
протон (p); тяжелый ион (h); и электрон (e). 
В идеальной МГД электрическое поле волны 
представляет собой двумерный вектор (Е1, Е2, 0); 
продольная компонента поля равна нулю из-за усло-
вия 
.
ε → −∞

 Будем считать, что поперек магнит-

ных оболочек волновое поле спадает при удалении 
от исследуемой области, что дает граничное условие 
по координате х1 

(
)
(
)
1
1
0,
E x
E x
→ ∞ =
→ −∞ =



 
(3) 

при этом волна отражается от ионосферы из-за ее 
высокой проводимости, что соответствует гранич-
ному условию по координате х3 

(
)
(
)
3
3
0,
E x
E x
−
+
=
=


 
(4) 

где 
3x±  — координаты точек пересечения силовых 
линий магнитного поля с верхней границей ионо-
сферы. 
В приближении мелкомасштабности для иссле-
дования колебаний можно применить приближение 
Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна (ВКБ), когда все 
возмущенные 
величины 
пропорциональны 

(
)
exp
.
i k dr
⋅
∫


 Тогда система (1, 2) сводится к из-

вестному дисперсионному уравнению для УНЧ-волн 
[Swanson, 2003]: 

2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
,
k
k
k
c
c
c
⊥
⊥
⊥



ω
ω
ω
ε −
ε −
−
=
h








 
(5) 

где 
2
k  и 
2
k⊥  — компоненты волнового вектора 

вдоль и поперек магнитной силовой линии. 
 
2. 
КВАЗИПРОДОЛЬНОЕ 
ПРИБЛИЖЕНИЕ 
2
2
/
0
k
k
⊥
→

 

2.1. Продольный резонатор 

Квазипродольное 
приближение 
для 
ионно-
циклотронных волн в плазме с примесью тяжелых 
ионов рассматривалось в работах [Guglielmi et al., 
2000, 2001; Гульельми, Потапов, 2012, 2019]. В этих 
работах было показано наличие резонатора для ионно-

О.С. Михайлова, Д.Ю. Климушкин, П.Н. Магер 
 
 
      O.S. Mikhailova, D.Yu. Klimushkin, P.N. Mager 

 
6

циклотронных волн в экваториальной части силовой 
линии. Оказалось, что в отличие от модели бегущего 
волнового пакета точки отражения для перемещаю-
щегося волнового пакета находятся не на ионосфере, 
а в окрестности геомагнитного экватора. Показано, 
что период осцилляции волнового пакета внутри 
резонатора примерно равен периоду повторения 
элементов серии пульсаций Рс1. 
Рассмотрим волну, мелкомасштабную вдоль 
магнитной силовой линии. В квазипродольном при-
ближении 
2
2
0
k / k
⊥
→

 дисперсионное соотношение 

(5) принимает вид 

2
2
4
2
4
2
4
.
k
c
c
⊥


ω
ω
ε −
=
h





 
(6) 

Это уравнение имеет два решения: 

(
)

2
2
2
.
k
c
±
⊥
ω
=
ε ± h

 
 

Они относятся к левополяризованным (LH, знак 
«+») и правополяризованным (RH, знак «–») модам. 
Для левополяризованной волны функцию 
(
)
2
3
k
x

 

в близкой окрестности экватора можно представить 
в параболическом приближении. Мы можем исполь-
зовать это представление, если в плазме присут-
ствуют протоны и тяжелые ионы. Зависимость 
2
k  

от продольной координаты вдоль силовой линии 
показана на рис. 2. Видно, что величина 
2
k  стано-

вится равной нулю в точках отражения 
0l
± , затем 

следуют две области непрозрачности (
2
0
k <

). Кон-

центрация ионов кислорода на экваторе много 
меньше, чем в приионосферных областях. Точки 
поворота возникают там, где появляется большое 
количество ионов кислорода. Волна заперта вблизи 
экватора по продольной координате. 
В окрестности экватора магнитное поле В меня-
ется слабо и может быть представлено в виде 

2

eq
E

9
1
,
2
l
B
B
R L







=
+









 
(7) 

где Beq — геомагнитное поле на экваторе; 
3
3
l
g x
=
 
— физическая длина вдоль силовой линии; RE L — 
расстояние от центра Земли до вершины силовой 
линии, выраженное в радиусах Земли. Структуру 
волны в окрестности экватора можно найти из урав-
нения (1). В квазипродольном приближении система 
уравнений (1) cовместно с граничными условиями 
(4) является задачей на собственные значения пара-
метра k  и определяет структуру волны вдоль сило-

вой линии. Продольная структура поля волны опи-
сывается функциями параболического цилиндра 
DN(ξ): 

(
)
2
2
( )exp
/ 2 ,
N
N
D
He


x =
x
−x

  
(8) 

Здесь 
( )
N
He
x  — полиномы Эрмита; N — продоль-
ное волновое число. Аргумент ξ связан с продоль-

ной координатой выражением 

 

Рис. 2. Зависимость 

2
k  от продольной координаты l. 

Сплошной линией показано поведение функции 

2
k  для 

левополяризованной волны, штриховой — для правопо-
ляризованной [Guglielmi et al., 2001] 
 

(
)

3/2
2
h
p
ch
cp
2

cp
ch
h
p
h
E

1
/
3
,
/
2

l

A R L

+ ρ
ρ
Ω Ω
x =
Ω
− Ω
ρ
ρ
 
(9) 

где 
p,h
p,h
/
4
A
B
=
pρ
 — альфвеновская скорость; 

p,h
ρ
 — плотность протонов или тяжелых ионов, в за-
висимости от индекса. 
Спектр частот гармоник, возбуждаемых в ионно-
циклотронном резонаторе, является эквидистантным 
и квантованным 

h
h
h
ch
p
p
E

1
1
3 2
,
2
N
A
N
LR



ρ
ρ


ω
=
+
Ω
+
+






ρ
ρ





 
(10) 

Предполагается, что спектр частот достаточно плот-
ный, т. е. 
1
0.
N
N
N
+
=
∆ω = ω
− ω
<< ω
 Авторы работы 
[Guglielmi et al., 2001] предположили, что наблюда-
емые пульсации Pc1 представляют собой волновые 
пакеты, составленные из высоких N-гармоник 
(N>>1) и бегающие между точками отражения ре-
зонатора. 
Ширина продольного экваториального резонатора 
определяется выражением 

1/4
1/2

h
h
E

p
ch

1
2
,
2
A R L
l
N




ρ


∆ =
+








ρ
Ω







 
(11) 

здесь 
3
0
2
.
l
x
∆ =
 Для фундаментальной гармоники 
размер резонатора будет наименьшим. При типич-
ных параметрах магнитосферы в области плазмопа-
узы (ρh /ρp =1.6, Ah =500 км/с, L=5 [Dmitrienko, 
Mazur, 1992; Yang et al., 2010]) ширина резонатора 
составляет порядка 1RE, частота основной гармоники 
в резонаторе, соответствующая частоте пульсаций 
Рс1 — ~2.35 Гц.  

2.2. Поперечный резонатор 

Плазма магнитосферы неоднородна как вдоль 
силовых линий, так и в радиальном направлении 
[Leonovich, Mazur, 1993]. Существование в магнитосфере 
такой области, как плазмопауза, где происходит 
скачок практически всех магнитосферных параметров, 
дает основания предполагать о существовании 

Современное соcтояние теории УНЧ-пульсаций                            The current state of the theory of Pc1 range ULF pulsations 

 
7

в этой области поперечного резонатора для УНЧ-волн, 

 

Рис. 3. Схематичное представление зависимости от 
радиальной координаты альфвеновской скорости, которая 
имеет минимум в районе плазмопаузы (отмечена голубой 
линией) [Mikhailova, 2014] 

тем более, что вблизи плазмопаузы радиальный 
профиль альфвеновской скорости имеет локальный 
минимум (рис. 3). Структура колебаний диапазона 
Рс1 в резонаторе, образованном локальным минимумом 
альфвеновской скорости, рассматривалась 
прежде в работах [Dmitrienko, Mazur, 1985, 1992], 
а в присутствии в магнитосферной плазме тяжелых 
ионов — в работах [Михайлова, 2013; Mikhailova, 
2014]. 
Рассмотрим аксиально-симметричную УНЧ-волну 
(k2 =0). В холодной плазме систему уравнений (1) 
можно записать в виде 

ˆ
0.
ij
j
L E =
 
(12) 

Здесь компоненты оператора ˆL  имеют вид 

2
2
11
3
3
2
1
,
g
g
L
g
x
x
c
g
⊥
∂
∂
ω
=
+
ε
∂
∂

 
(13) 

2

12
3
21
12
2
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
L
i
g
L
L
c

∗
ω
= −
h
=
 
(14) 

2
3
2
22
1
1
3
3
2
2
ˆ
,
g
g
g
L
g
x
x
x
x
c
g
g
⊥
∂
∂
∂
∂
ω
=
+
+
ε
∂
∂
∂
∂

 
(15) 

здесь звездочка обозначает комплексное сопряжение. 
Оператор ˆL  эрмитов. 
Решение системы (12) будем искать в ВКБ-приближении 
в виде 

(
)
(
)
3
3
3
1
3
,
,
i k
x
dx
E
H
x
x
e
α
α
∫
=
 

где α — координата; Нα — некоторая функция. 
Уравнение (12) вместе с граничными условиями (3) 
по координате х1 представляет собой задачу на собственные 
значения 
(
)
3
3
3
.
k
k
x
=
 Эта система содержит 

производную только по координате х1, таким образом, 
функция Hα определяет поперечную структуру 
моды. 
Рассматривается диапазон частот порядка гиро-
частоты тяжелых ионов (много меньше гирочастоты 
протонов). В этом случае диагональный элемент тензора 
диэлектрической проницаемости 
⊥
ε  можно представить 
в виде 

2
2
p
2
2
p
2
h
2
ch

1
.

1

A
с
A
A

⊥







ε
≈
+




ω


−


Ω







 
(16) 

Следуя работе [Dmitrienko, Mazur, 1992], рассмотрим 
область, прилегающую к внутренней кромке 
плазмопаузы, где радиальный профиль альфвенов-
ской скорости имеет локальный минимум (см. рис. 3). 
В этом случае функция 
⊥
ε  имеет максимум на плаз-

мопаузе 
1
1
(
)
x
x
=
 при фиксированном значении x3. 
При удалении от плазмопаузы величина 
⊥
ε  будет 
уменьшаться. В малой окрестности плазмопаузы мы 
вправе использовать представление 

(
)
(
)
(
)

(
)

2

2
1
1
1
1
3
1
3

1
3
,
,
1
,
x
x
g
x
x
x
x
l
x
⊥
⊥



−


ε
= ε
−







 
(17) 

где 
(
)
1
3
l
x
 — масштаб неоднородности по координате 
x1. Заметим, что 
(
)
(
)

1
3
3
1
/
,
l
x
l
x
g
⊥
=
 где 

(
)
3
l
x
⊥
 — масштаб неоднородности поперек магнитных 
оболочек. Вариациями коэффициентов метрического 
тензора можно пренебречь, поскольку 
область локализации рассматриваемой волны меньше 
масштаба неоднородностей магнитосферы. 
Перейдем к физическим компонентам векторов. 
Волновое уравнение на поперечную структуру волны 
принимает вид 

2
(0)
2
2
2
2
2
(0)
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
0,
H
k
H
k
−


∂
h
′
− x +
−
=


′
∂x
x +








 l
l
l

 
(18) 

здесь 

2
2
4
1
2 ,
g l c
⊥

⊥
=
ε ω
l
 
(19) 

2
2
2
2
,
k
k
c
⊥
ω
′ =
−
ε


 
(20) 

1
1ˆ
ˆ
,
x
x
x =
−
l
 
(21) 

(
)
2
2
/
.
c
h = ω
h

 
(22) 

Точки поворота (отражения) можно найти из 
условия 
2
1
0.
k =
 Область прозрачности (
)
2
1
0
k >
 

находится между точками поворота, радиальные 
координаты которых определяются из уравнения 

(
)

1/2
2
2
2
1
1
2
2
1
0
2
2
ˆ
ˆ
1
1
.
g l c
x
x
k
c

⊥
⊥
⊥





ω
=
±
ε −
±
+ h




ε ω








 (23) 

Резонатор ограничен магнитными оболочками, 
расположенными на равном расстоянии от плазмо-
паузы [Dmitrienko, Mazur, 1992]. Этот факт позволяет 
рассмотреть такой резонатор аналогично тому, как 
исследуют потенциальные ямы в квантовой механике. 
Есть два вида потенциальных ям: глубокая и мелкая. 
Первая имеет набор дискретных энергетических 

О.С. Михайлова, Д.Ю. Климушкин, П.Н. Магер 
 
 
      O.S. Mikhailova, D.Yu. Klimushkin, P.N. Mager 

 
8

уровней, вторая имеет один энергетический уро-
вень, но не имеет явных потенциальных барьеров 
[Ландау, Лифшиц, 2004]. 
Рассмотрим два предельных случая. При условии 

k′
x <<

l
 
и 
с 
введением 
новой 
переменной 

2 ,
=
x
c
 уравнение (18) сводится к уравнению на 
функции параболического цилиндра: 

(
)

2
4
2
2
(0)
2
(0)
2
2
2
2
ˆ
ˆ
0,
4
2

k
H
H
k



′ − h
∂


−
+
=
′
∂










l
c
c

 
(24) 

Это уравнение описывает глубокую потенциальную 
яму. Решением этого уравнения является набор соб-
ственных функций 

(
)

2
(0)
(0)
/2
2ˆ
ˆ
2
,
n
n
H
H
e
He
−x
=
=
x
 
(25) 

с дискретным набором собственных значений 

2
( )
2
1
1 .
2
n
k
n


′
= h+
+






l

 
(26) 

Здесь 
функции 
Hen 
— 
полиномы 
Эрмита 
[Abramowitz, Stegun, 1964], n — поперечное волно-
вое число. Осцилляции в таком поперечном резона-
торе имеют левую круговую поляризацию. 
В противоположном случае, когда 
1
h <<

 и 

2
2
( )
1,
n
k′
<<

l
 уравнение (18) принимает вид 

2
(0)
2
(0)
2
2
2
ˆ
ˆ
0.
H
H
∂
− x
=
∂x

 
(27) 

Это еще одно уравнение на функции параболического 
цилиндра — уравнение для мелкой ямы, имеющее 
единственную собственную функцию 

(
)
(0)
2
1/2
ˆ
2
,
H
CD−
=
x
 
(28) 

где C — константа; Dn(ξ) — функция Уиттекера 
[Abramowitz, Stegun, 1964]. Единственное собствен-
ное значение задачи на мелкую яму имеет вид 
[Ландау, Лифшиц, 2004] 

(
)
(
)

2
2
2
4
6
2
1/ 4
.
8
3/ 4
k
Γ
p
′ =
h
Γ

 l
 
(29) 

В мелкой яме существует единственная гармоника, 
представляющая собой поверхностную волну, хво-
сты которой вытягиваются за пределы резонатора. 
Получить частотный спектр колебаний в резона-
торе типа глубокой потенциальной ямы можно, ис-
пользуя правило квантования Бора—Зоммерфельда 

( )

0

0

( )
1 ,
2

l
n

l
k
l dl
N

−



′
′ = p
+




∫

 
(30) 

где n и N — поперечное и продольное квантовые 
числа соответственно. Мы вправе использовать правило 
квантования Бора—Зоммерфельда при больших 
значениях N, однако, как показывает практика, 
правило дает правильный результат и при значениях 
продольного волнового числа порядка единицы. 
Поскольку 
(
)
,
nN
k
l ω

 зависит от частоты ω=ωnN как 

параметра, можно получить частоту волны. Из 
уравнения (26) выражаем продольную компоненту 

волнового вектора 

2
2
( )2
2
2
1

1 .
2

n
k
n
c
c
cl
g

⊥
⊥
⊥

ω ε
ω
ω


=
ε +
h+
+





 
(31) 

Используя правило квантования (30), можно получить 
выражение для частоты 

h
h
ch
p
p
E

3/4
2
h
h

p
p
ch
E

1
1
3 2
2

1
1
3
2
,
2
2
2

nN
A
N
R L

A
N
n
l R L

−

⊥



ρ
ρ


ω
=
+
Ω
+
+
+






ρ
ρ







ρ
ρ



+
+
+
+







ρ
ρ
Ω






 (32) 

где 
(
)
p
h
/
4
A
B
=
p ρ + ρ
 — альфвеновская скорость. 
Здесь учитывается неоднородность магнитного 
поля вдоль силовой линии (7). 
Сделаем численные оценки для главной гармоники (
N=0, n=0). Для этого, как и выше, были использованы 
значения параметров, типичные для 
магнитосферы в области плазмопаузы: ρh /ρp=1.6, 
A=500 км/с, L=5, Ωch ≈1 c−1, l⊥∼104 км [Dmitrienko, 
Mazur, 1992; Yang et al., 2010]. Частота главной гармоники 
составляет ω0 =2.64 c−1, точки поворота 
вдоль силовой линии и поперек находятся на расстоянии ∼
1RE от экватора и центра плазмопаузы. 
Области непрозрачности предполагаются достаточно 
широкими, поэтому можно пренебречь утечками 
волновой энергии к ионосфере. 
Спектр (32) частично совпадает со спектром (10), 
полученным в работе [Guglielmi et al., 2000]. Принципиальное 
отличие состоит в последнем слагаемом 
выражения (32). Это слагаемое учитывает поперечную 
структуру волн, частота волны зависит от продольного 
N и поперечного n волновых чисел, в то 
время как выражение (10) включает зависимость 
только от продольной структуры. 
 
3. 
КВАЗИПОПЕРЕЧНОЕ 
ПРИБЛИЖЕНИЕ 
/
0
k
k⊥ →

 

3.1. Две моды ионно-ионных гибридных 
волн 

Рассмотрим структуру УНЧ-волны в квазипопе-
речном приближении. Для исследования волн в плазме 
удобно использовать метод, предложенный в работах [
Tamao, 1984; Климушкин, 1994]. Поскольку 
продольное электрическое поле волны считается 
пренебрежимо малым, вектор электрического поля 
можно выразить в виде суммы потенциальной и вихревой 
компонент, каждая из которых выражается 
через некоторую скалярную функцию — потенциал 
(отметим, что этот термин используется здесь в несколько 
ином смысле, чем в стандартных учебниках 
по электродинамике) 

.
E
e
⊥
⊥
= −∇ Φ + ∇ ×
Ψ



 
(33) 

Здесь 
/
,
e
B B
=



 
⊥
∇  — двумерный оператор набла 

в плоскости (х1, х2). В однородной плазме в пределе 

c
/
0
ω Ω →
 потенциалы Φ и Ψ относятся к альфве-
новской волне и быстрому магнитному звуку соот-

Современное соcтояние теории УНЧ-пульсаций                            The current state of the theory of Pc1 range ULF pulsations 

 
9

ветственно [Tamao, 1984; Климушкин, 1994]. В общем 
случае волну, определяемую потенциалом Φ, 
называют направляемой модой, т. е. распространяющейся 

вдоль 
равновесного 
магнитного 
поля 
(направляемой им), а вторую Ψ — изотропной модой. 
Линейно-поляризованные квазипоперечные волны 
можно интерпретировать как ионно-ионные гибридные (
ИИГ) волны. В терминах потенциала Φ 
они представляют собой направляемые моды в муль-
тиионной плазме. 
Система уравнений (1) после некоторых алгебраических 
преобразований превращается в систему 
уравнений на функции Φ и Ψ 

1
T
1
2
P
2

2

1
3
2
2
3
1
2

2

2
1

1
1
2
2
2

1
2

1
2

1
T
2
2
P
1

ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
,

L
L

i
g
g
c

g
g
i
g
g
c

g
g
L
L

g
g



∂
∂ + ∂
∂
Φ −


ω 

−
∂
h∂ − ∂
h∂
Φ =





ω
=
∂
h∂ + ∂
h∂
Ψ +









+ ∂
∂ − ∂
∂
Ψ







 
(34) 

3

2
2
1
1
1
T
1
2
P
2

2

1
2
2
1
2
3
3

2
2
1
1
1
2
2
2
1
2

1
2
2
T
1
1
P
2

ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
.

g

g

g
g
g
g
L
L

g
g
g
g

i
c
g
g

g
g
i
g
g
c

g
g
L
L
g
g

⊥
⊥
∆
∆ Ψ +




+ ∂
∂ + ∂
∂
Ψ −








ω
h
h
−
∂
∂ − ∂
∂
Ψ =








ω
= −
∂
h∂ + ∂
h∂
Φ +









+ ∂
∂ − ∂
∂
Φ







 
(35) 

Введенные здесь операторы 

( )

2
2
T
3
3
2
1
ˆ
,
g
g
L
g
c
g
⊥
ω
ω = ∂
∂ +
ε
 
(36) 

( )

2
1
P
3
3
2
2
ˆ
g
g
L
g
c
g
⊥
ω
ω = ∂
∂ +
ε
 
(37) 

называются тороидальным и полоидальным операторами, 
а 
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
/
/
g
g
g
g
⊥
∆
≡ ∂
∂ + ∂
∂  — 

поперечный оператор Лапласа. Если вместо координаты 

x3 
ввести 
продольную 
координату 

(
)
3
3
,
dl
g dx
=
 операторы примут форму 

( )

2
2
2
T
3
2
1
1
ˆ
,
g
g
L
g
l
g
l
g
c
⊥


∂
∂
ω
ω =
+
ε




∂
∂



 
(38) 

( )

2
1
1
P
3
2
2
2
ˆ
.
g
g
L
g
l
g
l
g
c
⊥


∂
∂
ω
ω =
+
ε




∂
∂



 
(39) 

Выражая Δ⊥Ψ из уравнения (35) и подставляя его 
в уравнение (34), систему можно свести к одному 

уравнению 

( )
( )
1
T
1
2
P
2

2
2

2

ˆ
ˆ

0.

L
L

g
c

∂
ω ∂ Φ + ∂
ω ∂ Φ −



ω
−
h
Φ =





 
(40) 

Мы рассматриваем мелкомасштабно-неоднородные 
колебания поперек силовых линий и в азимутальном 
направлении, поэтому в квазипоперечном приближении 
третье слагаемое в левой части уравнения 
(40) существенно меньше остальных. Тогда волно-
вое уравнение для ИИГ-мод примет вид [Klimushkin 
et al., 2010] 

( )
( )
1
T
1
2
P
2
ˆ
ˆ
0.
L
L
∂
ω ∂ Φ + ∂
ω ∂ Φ =
 
(41) 

Рассмотрим два предельных случая. В первом 
радиальная длина волны 
r
l  много меньше, чем 
азимутальная 
a.
l
 Это означает, что радиальная 
компонента электрического поля много больше, 
чем азимутальная Er >>Ea в одном случае, и 
Ea >>Er в другом. 
В первом случае, когда первое слагаемое урав-
нения (41) преобладает над вторым, волновая функ-
ция Φ пропорциональна собственной функции торо-
идального оператора TN 

( )
(
)
3
Tˆ
0,
N
L
T
x
ω
=
 
(42) 

граничные 
условия 
задачи 
задаются 
в 
виде 

(
)
3
0,
N
T
x± =
 что следует из граничного условия (4), 

точки 
3x±  — координаты пересечения силовой ли-
нии с ионосферой. Число N обозначает продольное 
волновое число. Собственное значение ΩTN назовем 
тороидальной собственной частотой. Таким обра-
зом, если частота волны ω совпадает с тороидальной 
собственной частотой ΩTN, ее структура вдоль сило-
вой линии описывается тороидальной собственной 
функцией TN(x3); такая волна имеет тороидальную 
поляризацию: Er >>Ea или Ba >>Br, ИИГ-волна с та-
кой поляризацией называется тороидальной ИИГ-
модой. 
В другом предельном случае, когда 
r
a,
l >> l
 
волна имеет полоидальную поляризацию: Ea >>Er. 
В этом случае в уравнении (41) преобладающим 
является второе слагаемое и функция Φ должна 
быть пропорциональна полоидальной собственной 
функции PN: 

( )
(
)
3
P
N
ˆ
0,
L
P
x
ω
=
 
(43) 

граничные функции выбираются аналогично преды-
дущему случаю 
(
)
3
0.
N
P
x± =
 Если частота волны ω 

совпадает с собственным значением задачи (полои-
дальной частотой ΩPN), продольная структура волны 
описывается полоидальной собственной функцией 
PN (x3), а такая ИИГ-волна называется полоидальной 
ИИГ-модой, или ИИГ-волной с полоидальной поля-
ризацией (Br >>Ba ). 
Магнитное поле волны можно найти из закона 

Фарадея 
.
i
E
B
c
ω
∇×
=



 В терминах потенциалов Φ- 

О.С. Михайлова, Д.Ю. Климушкин, П.Н. Магер 
 
 
      O.S. Mikhailova, D.Yu. Klimushkin, P.N. Mager 

 
10

и Ψ-компоненты магнитного поля записываются 
следующим образом: 

1,2
2,1
1,2
2,1
3
3
1,2
,
g
g
ic
B
g
g



= ±
∂
∂ Φ ± ∂
∂
Ψ




ω



 
(44) 

3
3
.
g
ic
B
g
⊥
=
Ψ
ω

 
(45) 

3.2. Продольный резонатор 

Несмотря на то, что операторы 
TˆL  и 
PˆL  различны 
и уравнения (42), (43) имеют различные собствен-
ные функции, квадрат продольной компоненты вол-
нового вектора 
2
2
3
3
/
k
k
g
=

 в продольном ВКБ-

приближении одинаков для обеих мод: 

2
2
2

2
2
2
2
h
2
p
2
ch
cp

.

1
1

k

A
A

ω
ω
=
+




ω
ω
−
−






Ω
Ω






 
(46) 

Здесь Ap,h — альфвеновские скорости, определен-
ные 
для 
протонов 
и 
тяжелых 
ионов 

0
p,h
p,h
p,h
,
4

B
A
n
m
=
p

 где np,h и mp,h — концентрации 

и массы протонов  и тяжелых ионов. 
Рассматриваются моды с частотой ниже гироча-
стоты протонов Ωcp. Величина магнитного поля мала 
на экваторе и значительно выше вблизи ионосферы. 
На силовой линии можно найти такую точку, где 
частота волны совпадает с гирочастотой тяжелых 
ионов ω=Ωch (рис. 4). Назовем эту точку точкой 

сингулярности ls. В этой точке 

2
,
k
→ ∞

 а на эква-

ториальной стороне от этой точки 
2
0.
k <

 На эква-

торе же величина Ωch мала и здесь возможно, что 

2
0.
k >

 Следовательно, где-то между экватором и 

точкой сингулярности должна быть точка, где 

2
0,
k =

 — будем ее называть точкой поворота l0. 

Положение точки поворота можно найти из уравне-
ния 
( )
0
,
l
ω = Ω
 где Ω0 — частота отражения, 

2
2
h
0
ch
p
1
,


ρ
Ω = Ω
+




ρ



 
(47) 

напомним, что 
h,p
h,p
h,p
n
m
ρ
=
 — плотности тяжелых 
ионов и протонов [Klimushkin et al., 2006]. 
В квазипоперечном приближении, как и в квази-
продольном, в окрестности экватора находится ре-
зонатор, где генерируются колебания. Он ограничен 
с двух сторон точками поворота ±l0 (симметрия се-
вер—юг). За пределами экваториального резонато-
ра находятся две области непрозрачности, оканчи-
вающиеся точками сингулярности. Далее располо-
жены области прозрачности, граничащие с ионо-
сферой Северного и Южного полушарий. 
Экваториальный резонатор работает, как резер-
вуар энергии для волн. Собственные частоты резо-

натора определяют частоты возбуждаемых в нем 
гармоник. 

 

Рис.4. Поведение функций Ωch(l) (зеленая линия) и 
( )
2
k
l

 (синяя линия) вдоль силовой линии. Экваториаль-

ный резонатор выделен желтым [Mikhailova et al., 2020a] 

Вблизи экватора 
( )
2
k
l

 имеет максимум и может 

быть представлен в виде разложения 

(
)
(
)

2
2
2
2
2
eq
2

eq

1
,
,
2

k
k
l
k
l
l

∂
ω
=
+
∂




 
(48) 

значение берется на экваторе. Точка поворота опре-

деляется из выражения 
(
)
(
)

2
2
0
eq
eq
2
/
.
N
l
k
k
′′
ω
=
−


 

Собственную частоту ωN, где N — продольное вол-
новое число, можно получить из правила квантова-
ния Бора—Зоммерфельда 

(
)

2
2
h
ch
h
h
ch
p
p
eq
1
2
1
,
N
A
N
r



Ω
ρ
ρ
ω
=
+
Ω
+
+




ρ
ρ



 
(49) 

где req — экваториальный радиус кривизны силовой 
линии. Все переменные, зависящие от l, берутся в их 
экваториальных значениях (
)
ch
h,p
h,p
,
,
A
Ω
ρ
. Штрих 

означает дифференцирование по продольной коор-

динате ( )
( )
...
...
.l
′ = ∂
∂  Здесь предполагается, что 
резонатор хорошо отделен от областей прозрачно-
сти, которые находятся вблизи ионосферы. В этом 
случае приионосферные области прозрачности вно-
сят экспоненциально малые поправки в значения 
собственных частот резонатора [Klimushkin et al., 
2010]. 
Отношение первого слагаемого из выражения 
(49) ко второму 
ch
h
/
1,
a
A
Ω
>>

 поэтому частота 
моды определяется главным образом первым слага-
емым (здесь a — длина силовой линии) и совпадает 
с экваториальным значением частоты продольного 
отражения, полученным в (47). Спектр частот очень 
плотный: 
1
.
N
N
N
+
ω
− ω
<< ω
 Одновременно возбуж-
даются все собственные гармоники резонатора, что 
приводит к формированию биений, характерных для 
жемчужин Рс1. 
Полуширина резонатора записывается в виде 

Современное соcтояние теории УНЧ-пульсаций                            The current state of the theory of Pc1 range ULF pulsations 

 
11

(
)
(
)

h
0
eq
ch eq
p
h

2
1
,
1
/

N
A
l
r
r

+
≈
Ω
+ ρ
ρ

 
(50) 

а точка сингулярности 

(
)

1/2
1/2

s
eq
h
p
2
1
/
1
.
l
r


≈
+ ρ
ρ
−




 
(51) 

Сделаем несколько количественных оценок. Принимая, 
что основная примесь тяжелых ионов в плазме 
магнитосферы — это кислород O+, и взяв Ah=Ap= 
=103 км/с, L=6.6, для основной гармоники (n=0) 
получим: ω0 ≈0.875 рад/с, l0 ≈0.23req =0.5RE и 
Ls=0.9req. Полученная частота входит в диапазон 
частот Рс1 и по порядку величины совпадает с результатами 
работ [Guglielmi et al., 2000, 2001; 
Guglielmi, Kangas, 2007]. 
 
3.3. Экваториальные моды 

Так как мода заперта в экваториальном резонаторе, 
можно рассматривать все величины в малой 
окрестности экватора. Угол θ (геомагнитную широту) 
можно разложить вблизи экватора 

( )
( )
( )
0
0 .
l
l
′
θ
= θ
+ θ
 
(52) 

На экваторе θ(0)=0. Продольную компоненту волнового 
вектора k  для удобства обозначим буквой 

k , и в окрестности экватора она принимает вид 

eq

eq
eq
eq

eq
eq

1
2
2
p
2
2
2
h
h
ch

2
2
2
2

2
2
2
ch
ch

1

9
1
,

A

l
L

−

−




ρ
ω
ω



=
+
−
−



ρ
Ω






ω
ω



−
−



Ω
Ω




k

 
(53) 

уравнение (41) преобразуется следующим образом: 

( )
(
)
( )
(
)
2
2
ˆ
ˆ
,
,
0,
T
P
L
L l
m
L l
L
L
∂
∂
ω
Φ
−
ω Φ
=
∂
∂
L
L
 (54) 

где 
TˆL  и 
PˆL  — тороидальный и полоидальный опе-
раторы, которые в экваториальном приближении 
принимают вид 

( )

2

T
2
2

1
2
2
2
2
2
2
p
2
2
2
2
2
h
h
ch
ch
ch

3
ˆ

9
1
1
,

l
l
l
L

l
A
L

−
−

∂
∂
ω =
+
+
∂
∂


ρ




ω
ω
ω
ω


+
+
−
−
−




ρ
Ω
Ω
Ω









L

 (55) 

( )

2

P
2
2

1
2
2
2
2
2
2
p
2
2
2
2
2
h
h
ch
ch
ch

3
ˆ

9
1
1
,

l
l
l
L

l
A
L

−
−

∂
∂
ω =
−
+
∂
∂


ρ




ω
ω
ω
ω


+
+
−
−
−




ρ
Ω
Ω
Ω









L

 (56) 

Различие между операторами состоит в знаке слага-
емого с первой производной. 
Уравнение на собственные тороидальные функ-
ции (42) в экваториальном приближении преобразу-
ется следующим образом: 

2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
0.
2
l
T
T
T
l T
l
l
L
l
∂
∂
∂
+
+
+
=
∂
∂
∂
k
k
 
(57) 

Это уравнение сводится к уравнению Эрмита, реше-
нием которого является тороидальная собственная 
функция 

(
)

(
)

2
2
1
1/2
1/4
/2
2
2
!
,
l
N
N
N
l
T
C
N
e
He

−
−
α+
−
−
−


=
p





l

l
 
(58) 

где С — произвольная константа, 
(
)
1/4
2
,
−
= α +
l
g
 

2
2

2
2
3
1
,
0,
2
2L
l
∂
α =
= −
>
∂
k
g
 l — характерная длина 

волны в резонаторе. Фундаментальная гармоника 
имеет волновое число N=0. 
Спектр тороидальных собственных частот запи-
сывается уравнением 

(
)
(
)

2
p
2
2
h
T
ch
2
p

3
2
3
2
1 .
N
A
N
N
L
ρ
Ω
= Ω
+
+
+
ρ
 
(59) 

Аналогичным 
способом 
ищем 
продольную 
структуру полоидальной моды. Запишем уравнение 
на полоидальную собственную функцию (43) с по-
лоидальным оператором (56) в явном виде 

2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
0.
2
l
P
P
P
l P
l
l
L
l
∂
∂
∂
−
+
+
=
∂
∂
∂
k
k
 
(60) 

Решение уравнения (60) выглядит следующим обра-
зом: 

(
)

(
)

2
2
1
1/2
1/4
/2
2
2
!
.
l
N
N
N
l
P
C
N
e
He

−
α−
−
−
−


=
p





l

l
 
(61) 

Структура тороидальной и полоидальной собствен-
ных функций (фундаментальная гармоника) показана 
на рис. 5. Видно, что профиль полоидальной моды 
шире, чем тороидальной. 
Спектр собственных полоидальных частот запи-
сывается в виде 

(
)

2
p
2
2
h
P
ch
2
p

3
2
3
2
.
N
NA
N
L
ρ
Ω
= Ω
+
+
ρ
 
(62) 

Полученное значение выше гирочастоты тяжелых 
ионов, но ниже тороидальной собственной частоты 
(59). Таким образом, спектр ИИГ-волн в магнито-
сфере характеризуется поляризационным расщепле-
нием, аналогично спектру альфвеновских волн. Од-
нако в отличие от альфвеновских волн силовая ли-
ния осциллирует только в экваториальной части 
(рис. 6). Продольная структура первых трех гармо-
ник ИИГ-волны схематично представлена на рис. 7. 
Собственные частоты связаны соотношением 

2
2
2
2
T
P
p
2
3
.
N
N
N
A
L
∆Ω
= Ω
− Ω
=
 
(63)