Модели и методы анализа проектных решений

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА 

ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

Лабораторный практикум

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2018

УДК 004.9
ББК  32.97

М74

М7 
Модели и методы анализа проектных решений [Электронный 

ресурс] : лабораторный практикум / М.В. Терехов, В.А. Шкаберин, 
Л.Б. Филиппова, А.А. Мартыненко, Е.Э. Аверченкова, А.А. Тищенко.
— М. : ФЛИНТА, 2018. — 147 с.

ISBN 978-5-9765-4023-1

Содержатся девять лабораторных работ по дисциплине «Модели 
и методы анализа проектных решений». 
Лабораторный практикум предназначен для студентов очной 
формы обучения для студентов по направлению подготовки 09.03.01 
«Информатика 
и 
вычислительная 
техника» 
(квалификация 
–
бакалавр), а также может быть полезен для студентов по направлению 
подготовки 09.03.02 «Информационные системы и технологии» 
(квалификация – бакалавр). 

УДК 004.9
ББК  32.97

ISBN 978-5-9765-4023-1
© Коллектив авторов, 2018
© Издательство «ФЛИНТА», 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лабораторный практикум для выполнения лабораторных работ 

состоит из 9 лабораторных работ по дисциплине «Модели и методы 
анализа проектных решений». В каждой лабораторной работе содержатся теоретические сведения, необходимые для выполнения работы, 
индивидуальные задания и контрольные вопросы.

Также приведен перечень литературы, необходимый для успеш
ного выполнения дисциплины.

Лабораторная работа №1

Оценка ошибок результатов эксперимента и нормально
сти закона их распределения

Цель работы: Познакомиться с методами оценки эксперимен
тальных данных, выявления грубых ошибок, проверки нормальности 
закона их распределения и использовать данный метод для обработки 
статистических данных в соответствии с заданием

Продолжительность работы: 4 часа
Основные положения
При проведении эксперимента, результатом которого являются 

экспериментальные данные, для каждого элементарного объекта измерений определена совокупность значений, из которой необходимо 
выделить объективно наиболее верные.

Например, при определении шероховатости с помощью лазера, 

для каждой точки измерений, которая в данном случае является элементарным объектом, некоторое количество раз проводится съёмка 
данных. В данном случае, именно из этого массива значений необходимо провести аналитический отбор. 

Классификация ошибок измерения
Численное значение физической величины получается в ре
зультате ее измерения, т. е. сравнения ее с другой величиной того же 
рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами. Известно, что 
при достаточно точных измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки[1].

Ошибкой измерения называется разность х—а между резуль
татом измерения х и истинным значением а измеряемой величины. 
Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное 
значение измеряемой величины (исключения составляют измерения
известных величин, проведенные со специальной целью исследования ошибок измерения, например для определения точности измерительных приборов). Одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам. Другими словами, после неоднократного измерения величины а и получения ряда результатов, каждый из которых содержит некоторую
неизвестную ошибку, ставится задача вычисления приближенного 

значения а с возможно меньшей ошибкой. Для решения этой задачи
(при данном уровне точности измерений) надо знать основные свойства ошибок измерений и уметь ими воспользоваться.

Грубые ошибки. Прежде всего, при математической обработке

результатов
измерений
не
следует учитывать заведомо неверные 

результаты (промахи), или, как говорят, результаты, содержащие 
грубые ошибки. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения 
основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора (например, при плохом освещении вместо «3» записывают «8»). При обнаружении грубой ошибки результат измерения 
следует сразу отбросить, а само измерение повторить (если это 
возможно). Внешним признаком результата, содержащего грубую 
ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов 
остальных измерений. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок по их величине, однако самым надежным и эффективным способом браковки неверных результатов остается браковка их непосредственно в процессе самих измерений. Всюду в настоящем справочном руководстве считается, что оставленные для математической обработки результаты измерений не содержат грубых ошибок.

Систематические ошибки.
Ошибки измерения вызываются 

большим количеством разнообразных причин (факторов). Иногда в 
проведенной серии измерений удается выделить такие причины 
ошибок, эффект действия которых может быть рассчитан. Например, если после измерений обнаружена неправильная регулировка 
прибора, которая привела к смещению начала отсчета, то все снятые показания будут смещены либо на постоянную величину, если 
шкала прибора равномерна, либо на величину, изменяющуюся по 
определенному закону, если шкала прибора неравномерна. Другим 
примером может служить изменение внешних условий, например, 
температуры, если известно влияние этих изменений на результаты 
измерений. К названным причинам можно также отнести некоторое 
несовершенство измерительных приборов на границе области их применимости, вызывающее известные ошибки.

Принято говорить, что каждая из таких причин вызывает си
стематическую ошибку. Выявление систематических ошибок, вызываемых каждым отдельным фактором, требует специальных исследований (например, измерений одной и той же величины разными метода

ми или измерений одним и тем же прибором некоторых эталонов, известных величин). Но как только систематические ошибки обнаружены и их величины рассчитаны, они могут быть легко устранены 
путем введения соответствующих поправок в результаты измерения. Поэтому в настоящем справочном руководстве мы будем считать, что к началу математической обработки результатов измерений 
все 
систематические 
ошибки 
уже 
выявлены 
и 
устране
ны.Подчеркнем, что при этом общая ошибка каждого результата 
остается неизвестной, так что речь идет не о выделении из общей 
ошибки некоторой части в виде систематической ошибки, а лишь о 
введении поправок на известный эффект действия тех факторов, которые удалось выявить.

Случайные ошибки. Ошибки измерения, остающиеся после 

устранения всех выявленных систематических ошибок, т. е. ошибки 
результатов измерений, исправленных путем введения соответствующих поправок, называются случайными. Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить и учесть в отдельности (при данном уровне техники и точности измерений). Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия таких факторов.

Случайные ошибки являются неустранимыми, их нельзя исклю
чить в каждом из результатов измерений. Но с помощью методов 
теории вероятностей можно учесть их влияние на оценку истинного 
значения измеряемой величины, что позволяет определить значение 
измеряемой величины со значительно меньшей ошибкой, чем ошибки 
отдельных измерений. Учет влияния случайных ошибок основан на 
знании законов их распределения.

Методы исключения грубых ошибок
При получении результата измерения, резко отличающегося от 

всех других результатов, естественно возникает подозрение, что 
допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия измерения.

Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о 

целесообразности браковки одного «выскакивающего» значения 
решается путем сравнения его с остальными результатами измерения. При этом применяются различные критерии, в зависимости от 
того, известна или нет средняя квадратическая ошибка, а измерений 
(предполагается, что все измерения производятся с одной и той же 
точностью и независимо друг от друга).

Метод исключения при известной . 
Обозначим «выскакивающее» значение через х*, а все осталь
ные результаты измерения через
1x , 
2x ……….
nx . Подсчитаем среднее 

арифметическое значение

n

x
x
x
x
n
+
+
+
=
...
2
1

и сравним абсолютную величину разности 
x
x −
*
с величиной

n
n
/)1
( +

. Для полученного отношения

n
n

x
x
t

/)1
(

*

+

−
=



подсчитаем
вероятность
1—2Ф(t)
(Приложение табл.2.) Это

даст вероятность того, что рассматриваемое отношение случайно
примет значение, не меньшее чем t, при условии, что значение х* 
не содержит грубой ошибки (что ошибка результата х* только случайна). Если подсчитанная указанным образом вероятность окажется очень малой, то «выскакивающее» значение содержит грубую 
ошибку и его следует исключить из дальнейшей обработки результатов измерений.

Какую именно вероятность считать очень малой, зависит от 

конкретных условий решаемой задачи: если назначить слишком низкий уровень малых вероятностей, то грубые ошибки могут остаться, если же взять этот уровень неоправданно большим, то можно
исключить результаты со случайными ошибками, необходимые для 

правильной обработки результатов измерения. Обычно применяют 
один из трех уровней малых вероятностей: 

5% уровень (исключаются ошибки, вероятность появления ко
торых меньше 0,05); 

1 % уровень (исключаются ошибки, вероятность появления ко
торых меньше 0,01);

0,1%уровень (исключаются ошибки, вероятность появления ко
торых меньше 0,001).

При выбранном уровне  малых вероятностей «выскакивающее» 

значение х* считают содержащим грубую ошибку, если для соответствующего отношения tвероятность 1—2Ф(t)< . Чтобы подчеркнуть 
вероятностный характер этого заключения, говорят, что значение х* 
содержит грубую ошибку с надежностью вывода Р=1— . Значение t
= t(Р), для которого 1—2Ф(t) = и, значит, 2Ф(t) =Р, называется критическим значением отношения t при надежности Р. Так, если  = 
0,01 (1%уровень), то Р = 0,99, критическое значение t = tР) = 
2,576, и как только отношение tпревзойдет это критическое значение, 
мы можем браковать «выскакивающее» значение х* с надежностью 
вывода 0,99 [6].

Пример. Пусть среди 41 результата независимых измерений, 

произведенных со средней квадратической ошибкой  =0,133, обнаружено одно «выскакивающее» значение x*=6,866, в то время как 
среднее из остальных 40 результатов составляет x =6,500. Можно ли 
считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку, и 
исключить его из дальнейшей обработки?

Решение. Разность между «выскакивающим» значением и 

средним составляет 
x
x −
*
= 0,366, поэтому отношение t равно

72
,2

40
/
41
133
,0

366
,0
=
=
t

По табл.2 для t=2,72 оцениваем вероятность 1— 2Ф (t)= 

0,0066 < 0,007. Следовательно, с надежностью вывода Р>0,993 
можно считать, что значение x* содержит грубую ошибку, и исключить это значение из дальнейшей обработки результатов измерения.

Подчеркнем, что указанный прием применяется только тогда, 

когда величина  средней квадратической ошибки точно известна 
заранее.

Метод исключения при неизвестной . 
Если величина  заранее неизвестна, то она оценивается при
ближенно по результатам измерений, т. е. вместо нее применяют 
эмпирический стандарт:



=

−
−
=

n

i

i
x
x
n
s

1

2)
(
1

1
(1)

При этом абсолютную величину разности 
x
x −
*
между «выскаки
вающим» значением х* и средним значением x остальных (приемлемых) результатов делят на эмпирический стандарт и полученное отношение(2) сравнивают с критическими значениями 
)
(P
tn
(Приложе
ние табл. 3).

s
x
x
t
/
*−
=
(2)

Если при данном числе пприемлемых результатов отношение (2) 

оказывается между двумя критическими значениями при надежностях 

1P и 
2P ( 
2P >
1P ), то с надежностью вывода, большей 
1P можно считать, что 

«выскакивающее» значение содержит грубую ошибку, и исключить 
его из дальнейшей обработки результатов.

Заметим, что если надежность вывода окажется недостаточной, 

то это свидетельствует не об отсутствии грубой ошибки, а лишь об 
отсутствии достаточных оснований для исключения «выскакивающего» значения.

Пример. Пусть для n результатов независимых равноточных 

измерений некоторой величины среднее значение равно x = 6,500, 
а эмпирический стандарт s= 0,133, и пусть (n + 1)-е измерение дало 
результат х* = 6,866. Можно ли исключить этот результат из дальнейшей обработки?

Решение. Здесь отношение (2) равно t = 0,366/0,133 = 2,75. Ес
ли число приемлемых результатов n = 40, то полученное отношение 
превосходит критическое значение 2,742 при надежности P = 
0,99 и значение х* можно исключить с надежностью вывода, большей 0,99. Если же число приемлемых результатов n = 6, то полученное отношение меньше критического значения 2,78 даже при 
надежности P=0,95 и значение x* исключать не следует.

Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных 

условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора. 
Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, явля

ется его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. 

Выбор метода зависит от того, известна ли среднеквадратиче
ская ошибка измерений σ (съёмка данных на конкретном элементарном объекте измерений проводится с помощью одного и того же 
устройства и в одних и тех же условиях, поэтому можно считать, что 
все измерения проводятся с одной и той же точностью и, кроме того, 
независимо друг от друга).

При известной среднеквадратической ошибке измерений при
меняют следующий метод:

Для каждого экспериментального значения X* находят выраже
ние 

)

/)1
(

(
2
1

*

n
n

X
X

+

−

−
=





,
(3)

где X - среднее арифметическое всех значений (кромеX*),
n – количество этих значений;
Ф(t) – функция, возвращаемый результат которой определяется 

с помощью массива значений или с помощью формулы 

dt
e
t

t

t


−
=

0

2
/
2

2
1
)
(




,
(4) 

где t> 0, 
ф( - t ) = - ф( t),
(5)

Еслиα < А, значит с вероятностью (1- α)*100% можно утвер
ждать, что X* - грубая ошибка.

Принято выбиратьА из 0.05, 0.01, 0.001 для вероятностей 95, 99, 

99.9% соответственно.

Отличительной чертой исключения грубых ошибок при неиз
вестной σ является её замена в формуле (1) эмпирическим стандартом 

2

*
,

1

)
(
1

1
X
X
n
s

i
n

i

i −
−
=




=
,
(6)

где i – номер любого значения, кроме номера исследуемого зна
чения X* .