Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. Ряды и многочлены
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Автор:
Туганбаев Аскар Аканович
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 152
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-4615-8
Артикул: 774963.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов специальностей с расширенным изучением высшей математики и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим разделам высшей математики: поля, многочлены, кольца.
Для студентов, аспирантов и преподавателей по специальностям с расширенным изучением высшей математики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Национальный исследовательский университет МЭИ А.А. Туганбаев ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Комплексные функции и интегралы Ряды и многочлены Учебник Москва Издательство «ФЛИНТА» 2022
УДК 511.176+517.5(076.2) ББК 22.161я73 Т81 Туганбаев А.А. Т81 Высшая математика. Комплексные функции и интегралы. Ряды и многочлены [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 2022. — 152 с. ISBN 978-5-9765-4615-8 Книга соответствует программам курсов высшей матема тики для студентов специальностей с расширенным изучением высшей математики и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим разделам высшей математики: поля, многочлены, кольца. Для студентов, аспирантов и преподавателей по специ альностям с расширенным изучением высшей математики. УДК 511.176+517.5(076.2) ББК 22.161я73 ISBN 978-5-9765-4615-8 © Туганбаев А.А., 2022 © Издательство «ФЛИНТА», 2022
Оглавление Глава 1. Комплексные функции и их производные ................ 6 1.1. Комплексные числа и комплексная плоскость ....................... 6 1.1.1. Комплексные числа и действия над ними ................. 6 1.1.2 Подмножества комплексной плоскости .................... 11 1.1.3. Кривые и области ....................................................... 13 1.1.4. Основные элементарные функции ........................... 14 1.2. Производные комплексных функций .................................... 16 1.2.1. Условия Коши-Римана .............................................. 16 1.2.2. Достаточное условие дифференцируемости ........... 17 1.3. Задачи к главе 1 . ....................................................................... 18 Глава 2. Комплексные интегралы и их свойства ................... 19 2.1. Комплексные интегралы ......................................................... 19 2.1.1. Достаточное условие интегрируемости ................... 20 2.1.2. Основные свойства комплексных интегралов ......... 20 2.2. Теорема Коши и интеграл Коши ............................................ 21 2.2.1. Теорема Коши ............................................................ 21 2.2.2. Формула Коши, интеграл Коши и интеграл типа Коши ......................................................... 23 2.2.3. Аналитичность всех производных аналитической функции . .............................................................................. 24 2.3. Задачи к главе 2 ...................................................................... 27 Глава 3. Действительные и комплексные ряды ..................... 28 3.1. Числовые ряды над С и R ........................................................ 28 3.1.1. Общие свойства числовых рядов ............................. 28 3.1.2. Признак сравнения. Интегральный признак ........... 33 3.1.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница ................ 38 3.2. Функциональные ряды над С и R .......................................... 41 3.2.1. Общие свойства функциональных рядов ................ 42 3.2.2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, круг и интервал сходимости ................................................ 48 3.2.3. Свойства степенных рядов ........................................ 51 3.2.4. Ряды Тейлора аналитических функций ................... 53 3.2.5. Ряды Тейлора действительных функций ................. 55 3
3.2.6. Разложения в ряды Тейлора и Фурье ....................... 55 3.3. Задачи к главе 3 ....................................................................... 60 3.3.1. Задачи с краткими решениями ................................. 60 3.3.2. Задачи с ответами ...................................................... 64 Глава 4. Ряды Лорана и вычеты ............................................... 68 4.1. Ряды Лорана . ............................................................................ 68 4.1.1. Нули аналитических функций .................................. 68 4.1.2. Теорема Лорана .......................................................... 69 4.1.3. Изолированные особые точки .................................. 71 4.2. Вычеты и их применение ....................................................... 75 4.2.1. Вычеты в изолированных особых точках ............... 75 4.2.2. Вычет в бесконечно удаленной точке ..................... 76 4.2.3. Вычеты и вычисление интегралов ........................... 77 4.3. Задачи к главе 4 . ...................................................................... 78 Глава 5. Комплексные и действительные многочлены ........ 81 5.1. Комплексные многочлены ...................................................... 81 5.1.1. Общие сведения о многочленах над С и R .............. 81 5.1.2. Комплексные последовательности и пределы ........ 83 5.1.3. Модули комплексных многочленов ......................... 83 5.1.4. Алгебраическая замкнутость поля С ....................... 86 5.1.5. Разложения и корни комплексных многочленов .... 88 5.1.6. Решение кубических уравнений над С .................... 92 5.1.7. Решение уравнений степени 4 над С ........................ 97 5.2. Действительные и рациональные многочлены ..................... 98 5.2.1. Действительные многочлены ................................... 98 5.2.2. Рациональные и целочисленные многочлены ........ 99 5.3. Задачи к главе 5 ...................................................................... 103 Глава 6. Поля, кольца и многочлены ..................................... 105 6.1. Поля и кольца . ........................................................................ 105 6.1.1. Поля и подполя. Кольца и подкольца ...................... 105 6.1.2. Характеристики и примеры колец и полей ............. 108 6.1.3. Идеалы в кольцах и главные идеалы ....................... 110 6.2. Евклидовы кольца и области главных идеалов .................... 113 6.2.1. Евклидовы кольца .................................................... 113 6.2.2. Области главных идеалов ........................................ 115 4
6.2.3. Факториальные области ........................................... 118 6.2.4. Кольца многочленов ................................................ 124 6.2.5. Поле частных. Многочлены над факториальными областями ....................................... 129 6.3. Расширения полей ................................................................. 136 6.3.1. Алгебраические и конечные расширения ............... 136 6.3.2. Минимальные многочлены и степень алгебраического элемента ............................... 138 6.3.3. Простые расширения полей .................................... 139 6.3.4. Составные алгебраические расширения ................ 142 6.3.5. Поле алгебраических чисел ..................................... 145 6.3.6. Квадратичные расширения полей и разрешимость в квадратных радикалах ........................ 147 6.3.7. Построения с помощью циркуля и линейки ........... 149
z = (x, y)x, y ∈ Rλ ∈ R z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (1.1.1) λz = (λx, λy) = zλ, (1.1.2) z1 · z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1). (1.1.3) Cz = (x, y) !"#(0, 1) i"$%&"&"'i · i = i2 = (0, 1) (0, 1) = (−1, 0). #z = (x, y) z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. (
x, y ∈ R z = x + iy z z C !z = x + iy" # $ x" y %$&i %!&"& " #$$"i2 = −1#z #$z = (x, y) = x + iyz = (x, y) ∈ C Oxy $$(x; y)'R2 = C"& $(C"(x, 0) = x(1, 0)")*"$$&x ∈ R"*#z #$z = (x, y) = x · 1 + y · i, #$&C = R2 $1 = (1, 0) i = (0, 1)(x, 0) = x(1, 0)")*"$$&x ∈ R"*'""R ⊂ C"#x = x+i0"$&Ox $+"1 = 1 + i0 0 = 0 + i0 $C(0, y) = y(0, 1) = iy #$" & "iy ,#z = x + iy −z = −x − iy z = x−iy z -"z z Oxy Ox" zz = x2 + y2 = |z|2 ≥ 0" zz ̸= 0 z ̸= 0a, b ∈ C a + (−b) ∈ C"a − b.*$
(2 − 5i) − (−3 + 7i) = (2 + 3) + (−5 − 7)i = 5 − 12 iIV II a + b = b + a ab = ba a, b ∈ Ca + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc) a, b, c ∈ Ca + 0 = 0 + a = a a1 = 1a = a a ∈ Ca + (−a) = (−a) + a = 0 a ∈ Ca(b + c) = ab + ac(b + c)a = ba + ca a, b, c ∈ C!C !"!R! " #0 ̸= a ∈ C 0 ̸= |a| = aa ∈ R!a a |a|−1 = a |a|−1a = 1$ a |a|−1 !! ! a a−1##%z1, z2 ∈ C z2 ̸= 0|z2|2 = z2z2 = x2 2 + y2 2 ̸= 0 z1 z2 = z1z2 z2z2 = x1x2 + y1y2 x2 2 + y2 2 + iy1x2 − x1y2 x2 2 + y2 2 . (1.1.5) (11 + 13i)(3 + 7i) 9 + 49 = −58 + 116i 58 = −1 + 2 i. $"&!' F "!(0 1!(a, b ∈ F (a + b ∈ F ab ∈ F(a b %!!F !)!F C &C"!' ! C "!(a, b !! a + b ab *!a ̸= 0+ (a−1'R 'Q
Z N CR Qz = z + iy ∈ Cx, y ∈ R|z| = x2 + y2!ρ(z)!z" |z| = ρ(z) # z O(0; 0)$|z| = 0 z = 0z = x ∈ R %&'( z = z, z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1 z2" z = |z|, |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2|, |z1z2| = |z1||z2|z1 z2 = |z1| |z2|. z + z = 2Re z = 2x, z − z = i2Im z = i2y, z · z = |z|2 = x2 + y2. )ρ, ϕ # z = x+iy |z| = ρϕ2πkk ∈ Z!z !*+, z)!ϕ = *+, z'(−π, π] !z !! -+, z*+, z = -+, z + 2πkk ∈ Z.x = |z| cos ϕy = |z| sin ϕ/!%-+, z = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ arctg(y/x), x > 0, arctg(y/x) + π, x < 0, y ≥ 0, arctg(y/x) − π, x < 0, y < 0, π/2, x = 0, y > 0, −π/2, x = 0, y < 0. (1.1.4) 0!z 2π( *+, z = -+, z + 2πk, k ∈ Z. y ∈ R !! eiy cos y + i sin y ∈ C0|eiy| = cos2 y + sin2 y = 1y ∈ R eiy 1 0 = 0+i02-+, eiy = y3 y ∈ (−π, π] eiy
z = x + iy z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ z = |z|eiϕzz = x + iy z!"• z1z2 = |z1|eiϕ1|z2|eiϕ2 = |z1||z2|ei(ϕ1+ϕ2)• z1 z2 = |z1|eiϕ1 |z2|eiϕ2 = |z1||z2|ei(ϕ1−ϕ2), • zn = |z|eiϕn = |z|ei nϕ. #$%%%&' zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ Z, (1.1.6) n√z = n√r cos ϕ + 2πk n + i sin ϕ + 2πk n , k = 0, n − 1, n ∈ N. (1.1.7) (%%)$%n√r n & %" *" ρ(z1, z2) = |z1 − z2| C )ρ(z1, z2) )%%z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2+&%,)' z1 · z2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] , z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)] , &zj = rj(cos ϕj + i sin ϕj), ϕj = -./ zj, rj = |zj|, j = 1, 2. z1 = 2 + 3i z2 = 3 − i &,%" %%z1(z1 + 2z2); z1 + 2z1 z2 ; z2 − 2z2 z1 ◁ )0"0"%%1 z1(z1 + 2z2) = z1z1 + 2z1z2 = |z1|2 + 2z1z2 = 22 + 32 + 2(2 − 3i)(3 − i) = = 13 + 2(6 − 2 i − 9i + 3i2) = 13 + 2(3 − 11i) = 19 − 22 i.
z2z1 + 2z1 z2 = (z1 + z1 + z1)z2 z2z2 = (2 Re z1 + z1)z2 |z2|2 = (4 + 2 − 3i)(3 + i) 32 + (−1)2 = = 1 10(18 + 6i − 9i − 3i2) = 1 10(21 − 3i) = 3 10(7 − i). z1z2 − 2z2 z1 = (z2 − z2 − z2)z1 z1z1 = (2 i Im z2 − z2)z1 |z1|2 = (−2 i − 3 − i)(2 − 3i) 22 + 32 = = − 3 13(1 + i)(2 − 3i) = − 3 13(2 − 3i + 2i − 3i2) = − 3 13(5 − i). ▷ {zn}∞ k=m = zm, zm+1,... zn ∈ Cnznzm m ∈ Z !"#{zn}∞ k=0 {zn}∞ k=1 $#"R > 0 %N#n > N #{zn}n = 1, ∞ #|zn| > R, #&#""##% #'z = ∞ %%( %C = C ∪ {z = ∞}%%( %C #% ( %#( %z = ∞ )%( ( *( %%( %%( +R #1%%( %C %C S %O(0; 0) ,( +N R #( %( z ∈ C -#( % %%z′ ∈ C .#z ↔ z′ #+( /R *( %C"#N %#%∞
N C z → z′ z ∈ S \ N R \ N C C → R ϕ = O C R ρ = C O R Re (z − z0) = a Oy (a + x0; 0) z0 = x0 + iy0 Im (z − z0) = b Ox (0; b + y0) z0 = x0 + iy0 |z − z0| = R (R > 0) z0 = (x0, y0) R arg(z − z0) = ϕ z0 = (x0, y0) ϕ Ox (−π < ϕ ≤ π) |z−z1| = |z−z2| z1 z2 z1 z2 Re (a(z − z0)) = 0 z0 a = (A, B) = A + iB Im (a(z − z0)) = 0 z0 a = (A, B) = A + iB |z − z1| + |z − z2| = 2a z1 z2 2a > 0 2a > |z1 − z2| z1 z2 z1 = −c, z2 = c > 0 x2 a2 + y2 b2 = 1, b = √ a2 − c2 (a > c)
||z − z1| − |z − z2|| = 2a z1 z2 2a > 02a < |z1 − z2|z1 z2z1 = −c, z2 = c > 0 x2 a2 − y2 b2 = 1, b = √ c2 − a2 (c > a)! |z − z1| − |z − z2| = 2a "z2! |Re (a(z − z1))| = |a| · |z − z0| z0 #$ % Re (a(z − z1)) = 0 #$Re (a(z0 − z1)) ̸= 0z0 = p/2, z1 = −p/2, a = 1 y2 = 2px. &t [α, β] Ox "γ [α, β] % C 'x(t), y(t): [α, β] → Rγ(t) = x(t) + i y(t) ∈ C("γ #"C$ %C)γ [α, β] 'x(t) y(t) %x′(t) y′(t) #'αβ *%$0 t ∈ [α, β])")"γ [α, β] C+"%*t = α t = β %"M(γ(α), γ(β)!"(z0 ∈ M ⊂ C M*,'"*"M-"M "M(z0 "M ⊂ C%"*M "*-"M "
Доступ онлайн
В корзину