Теоретико-методическое обеспечение фрактального формирования и развития вероятностного стиля мышления в процессе обучения математике

С.Н. Дворяткина
С.В. Щербатых

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧЕСКОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ФРАКТАЛЬНОГО ФОРМИРОВАНИЯ
И РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО
СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ
МАТЕМАТИКЕ

Монография

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 372.851
ББК 22.1+74.58
Д24

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ
в рамках научного проекта № 18-313-20002

Ре це нзе нты:
д-р пед. наук, канд. физ.-мат. наук, проф.,
зав. кафедрой математического анализа,
теории и методики обучения математике
Ярославского государственного педагогического университета
им. К.Д. Ушинского Е.И. Смирнов;
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования
и компьютеных технологий Елецкого государственного университета 
им. И.А. Бунина О.Н. Масина

Дворяткина С.Н.
Д24 
Теоретико-методическое обеспечение фрактального формиро
вания и развития вероятностного стиля мышления в процессе 
обучения математике [Электронный ресурс] : монография / С.Н. 
Дворяткина, С.В. Щербатых. — Москва : ФЛИНТА, 2020. — 440 
с. : ил.
ISBN 978-5-9765-4479-6
В монографии рассмотрено решение проблемы достижения развивающего эффекта для личности обучаемого и предлагается формирование устойчивого потенциала учебной деятельности путем 
создания методической системы по формированию и развитию 
вероятностного стиля мышления обучаемых в процессе обучения 
математике в системе «школа — вуз» на основе фрактального 
подхода.
Для преподавателей, аспирантов и магистров высших учебных 
заведений.

УДК 372.851
ББК 22.1+74.58

ISBN 978-5-9765-4479-6 
© Дворяткина С.Н., Щербатых С.В., 2020
© Издатедльство «ФЛИНТА», 2020

Оглавление

Введение  ..........................................................................................................7

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОБЛЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ
И РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 

1.1. Вероятностный стиль мышления в контексте генезиса
вероятностной гносеологии  .................................................................14

1.1.1. Интуитивное представление о вероятности  ............................18

1.1.2. Классическая концепция вероятности  .....................................19

1.1.3. Статистическое или частотное представление
о вероятности  ..............................................................................21

1.1.4. Пропенситивная вероятность  ....................................................24

1.1.5. Логическая вероятность .............................................................25

1.1.6. Субъективное значение вероятности  ........................................27

1.1.7. Аксиоматика теории вероятностей  ...........................................29

1.2. Формирование вероятностных представлений и вероятностного
стиля мышления в школьном курсе математики ................................34

1.3. Состояние проблемы и сущность развития вероятностного стиля
мышления в процессе обучения математике в вузе  ...........................41

1.3.1. Вероятностный стиль мышления как существенный
компонент профессиональных компетенций
будущего специалиста ................................................................41

1.3.2. Возможности развития вероятностного стиля мышления
студентов в обучении математике (по данным опроса
работодателей и представителей образовательной
общественности)  ........................................................................58

1.4. Концептуальный анализ методологических подходов к проблеме 
формирования и развития мышления  .................................................65

1.4.1. Системно-мыследеятельностный подход —
интеллектуальная методология развития
системного мышления  ...............................................................65

1.4.2. Роль векторно-контекстуального подхода
в модернизации практико-ориентированного содержания
обучения математике  ..................................................................70
1.4.3. Компетентностный подход — инструмент измерения
качества математического образования ....................................77
1.4.4. Средовой подход как совокупность цифрового
информационного и образовательного контента  ....................81
1.4.5. Синергетическая парадигма и саморазвитие личности
обучаемого  ..................................................................................88
1.4.6. Интегративный подход и диалог культур  .................................95
1.4.7. Эффективность фрактальной методологии в обучении
и развитии  .................................................................................100

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ОБУЧАЕМЫХ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ОБРАЗОВАНИИ 

2.1. Анализ понятий мышления и стиля мышления
в психологической литературе  ...........................................................106
2.2. Вероятностный стиль мышления: основные черты
и особенности его формирования ......................................................118
2.3. Взаимодействие логического и интуитивного компонентов
вероятностного стиля мышления, основные функции и формы  ......123
2.4. Структурные компоненты и критерии развития вероятностного
стиля мышления обучаемых  ..............................................................146
2.5. Структурная модель фрактального развития вероятностного
стиля мышления обучаемых в процессе обучения математике  ......180

ГЛАВА 3. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ
ФРАКТАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО СТИЛЯ
МЫШЛЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

3.1. Базовые положения концепции фрактального развития
вероятностного стиля мышления в обучении математике  ..............193
3.2. Инновационный подход в построении системы принципов
и условий фрактального развития вероятностного
стиля мышления в обучении математике  ..........................................204

3.3. Структурно-функциональная модель обучения математике
в школе и вузе с эффектом развития вероятностного
стиля мышления  ..................................................................................242

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
МОДЕЛИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ШКОЛЕ И ВУЗЕ
С ЭФФЕКТОМ РАЗВИТИЯ
ВЕРОЯТНОСТНОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ 

4.1. Обновление содержания математического образования
через адаптацию основных достижений современного
математического знания и обеспечение синергии
математического образования  ............................................................260

4.4.1. Синергия математического, гуманитарного
и цифрового знания  ..................................................................271

4.1.2. Синергия математического, технического
и цифрового знания  ..................................................................309

4.2. Создание и освоение новейших методик, технологий
и средств обучения, ориентированных на фрактальное развитие
ВСМ в процессе обучения математике в школе и вузе  ...................314

4.2.1. Формирование вероятностного стиля мышления
в контексте решения практико-ориентированных,
профессиональных и поисково-исследовательских задач  ......315

4.2.2. Создание креативной образовательной среды,
стимулирующей развитие ВСМ  ..............................................325

4.2.3. Проектные технологии в процессе реализации
медиаобразовательной стратегии университета
как фактор развития вероятностного стиля мышления
будущих педагогов-математиков  .............................................337

4.2.4. Интегративная технология обучения математике
на основе решения задач на шахматной доске
как средство развития ВСМ  ....................................................352

4.2.5. Геймификация математического образования
как механизм развития вероятностного стиля мышления  ......363

4.3. Модернизация системы форм организации учебной
и научно-исследовательской деятельности,
способствующей развитию ВСМ  ......................................................393

4.3.1. Интегративные курсы как педагогическое условие
реализации синергетической парадигмы  ...............................394
4.3.2. Роль системы дополнительного профессионального
образования в развитии нового стиля мышления
современного специалиста  ......................................................402

Заключение  ..................................................................................................412

Библиография  ..............................................................................................416

ВВЕДЕНИЕ

В России реализуются государственная программа Российской Федерации «Развитие образования» на 2018—2025 гг., в 
рамках данной программы — приоритетный проект в области 
образования «Современная цифровая образовательная среда 
в Российской Федерации» (на 2016—2021 гг.), приоритетный 
проект «Вузы как центры создания пространства инноваций» 
(2016—2025 гг.), приритетный проект «Развитие экспортного 
потенциала российской системы образования» (2017—2025 гг.), 
приоритетный проект «Доступное дополнительное образование для детей», национальный проект «Образование» на 
2019—2024 гг. и ряд других. Целевой установкой перечисленных программ и проектов является создание условий для эффективного развития российского образования, отвечающего 
требованиям инновационного социально-ориентированного развития РФ. Эффективные образовательные системы характеризуются способностью обеспечивать в полной мере потребности 
каждого обучающегося в самообразовании и самоактуализации, 
активизацией синергетических эффектов в реализации когнитивного, профессионального, мотивационного процессов. Они 
также задают ценностный императив личностного развития. 
При этом ключевым аспектом феномена проявления образовательного эффекта является формирование гибкого и многогранного мышления. Данные маркеры процесса повышения эффективности задают новую методологию, основанную на слиянии 
ведущих инновационных образовательных парадигм и применении последних достижений в науке. В настоящее время такой 
методологией является фрактальный подход, связанный с идеей количественной и качественной оценки сложных учебных и 
познавательных конструктов и ориентированный на решение 
проб лемы интеграции научного знания.
Генератором фрактала является структура первичного взаимопроникновения и корреляции способов обработки информации, которые используют полушария головного мозга. Из

вестно, что «левое полушарие обрабатывает информацию, 
поступающую в мозг, последовательно» [251]. Для «правого 
полушария характерно использование дедукции (сначала происходит синтез информации, затем ее анализ), а для левого — 
индукции (сначала анализ, затем синтез)» [123]. С этой точки 
зрения каждая когнитивная функция, в том числе и мышление, 
может регулироваться обоими полушариями, но в тоже время в 
процессе обработки информации левое полушарие как основа 
фор мально-логического мышления взаимодействует с правым, 
являющимся базисом ассоциативно-эмпирического, метафорического  мышления [150].
Определенный вклад в разработку научного компонента 
основы совершенствования моделей обучения, модернизации 
технологий и содержания образовательного процесса в рамках настоящего исследования может внести математическое 
образование, которое в обобщенном смысле является таким 
целостным интегративным конструктом. С одной стороны, математическое образование способствует взаимодействию, взаимовлиянию, взаимообогащению различных областей знания, 
объединяет разные способы познания и осознания действительности, развивает принципиально различные, несоизмеримые, 
но взаимопроникающие типы мышления. С другой стороны, в 
рамках математического образования наиболее четко наблюдается переход от концепции строгого классического детерминизма к более широким представлениям детерминизма статистического, который в настоящее время определяет научное познание 
и составляет содержание стиля мышления современного специалиста.
Постиндустриальное общество требует специалистов с высоким уровнем потенциала развития и саморазвития интеллектуальных способностей, духовно-нравственных, аналитических и 
профессионально-технологических качеств, умеющих самостоятельно оценивать ситуацию и оперативно принимать обоснованные решения в сложных экономических и производственных 
условиях. Именно поэтому необходим новый концептуальный 

подход к решению проблемы теоретико-методического и технологического обеспечения формирования и развития вероятностного стиля мышления в процессе обучения математике в школе 
и вузе в контексте новой парадигмы.
Однако реализация на практике эффективных образовательных систем невозможна без сетевых технологий и автоматизированных систем. Информационные средства и технологии являются ключевыми инструментами осуществления оперативной 
коррекции познавательных процессов, включая мыслительные, 
в направлении индивидуализации и персонализации образовательных маршрутов, обеспечивающие личностное ориентирование на обучающегося с его культурно-познавательными запросами и потребностями, на его развитие и саморазвитие. 
Информатизация образования позволяет создать инфраструктуру информационно-трансферных переходов междисциплинарного взаимодействия с сопряжением интенциональных информационных потоков, обеспечивает повышение эффективности 
восприятия и переработки информации, продиктованной стохастическим характером анализируемых процессов. Поэтому 
данный инструментарий предоставляет возможность полностью 
раскрыть потенциал фрактального подхода и сформировать у 
обучаемых вероятностный стиль мышления на основе обучения 
математике.
Применение вышеуказанных инновационных решений будет 
способствовать дальнейшему значительному увеличению потенциала науки и прогрессированию различных сфер жизнедеятельности общества.
Изучение новых научно-методологических тенденций в научном познании, а также анализ полученных ранее совместных 
результатов проведенных фундаментальных исследований позволяют выделить следующие ключевые аспекты, определяющие 
научную задачу, на решение которой направлено исследование:
1. Стиль мышления специалиста должен соответствовать 
стилю мышления эпохи, современной научной картине мира. 
Особенностями современного стиля мышления являются не

линейность, системность, прогностичность, способность порождать нешаблонные идеи, гибкость, критичность, творческая 
активность, фундаментальность междисциплинарных знаний, 
умение применять эти знания в ситуации неопределенности и 
нарастающего разнообразия, действия случайных факторов.
2. На уровне эмпирической констатации положение о том, 
что «наука вступила в вероятностный мир» широко признано 
как в гуманитарных науках, в частности философии, так и в 
естественных науках. Поэтому именно дисциплинам естественнонаучного цикла и особенно математике должна отводиться 
ведущая роль в формировании у школьников и студентов современного вероятностного стиля мышления (ВСМ), который адекватен вероятностной природе протекающих в мире процессов и 
является ключевым структурным компонентом стохастической 
культуры в целом. ВСМ понимаем как индивидуальную систему интеллектуальных стратегий, способов, приёмов, принципов, форм, идей вероятностно-статистического описания и познания закономерностей окружающего мира, обеспечивающую 
сочетание модальностей восприятия и первичного усвоения 
учебного материала; взаимодействие логического и интуитивного типов мышления; интеграцию логических и вероятностных 
форм мышления; качественное обогащение мыслительных операций через формирование системных знаний. Видение ВСМ в 
качестве эталона профессионального мышления реализует новые требования, предъявляемые к современным специалистам в 
структуре общекультурных и профессиональных компетенций, 
согласно ФГОС ВО третьего поколения.
3. В современной науке наряду с новыми информационными и коммуникационными технологиями все шире применяются новые научные подходы, в частности фрактальный, которые 
влекут за собой весьма непривычные для человека пространственные и временные представления и дают возможность описывать новый уровень сложности окружающего мира и самого 
человека. Язык фракталов фиксирует такое фундаментальное 
свойство реальных явлений, как самоподобие: мелкомасштаб