Математика для юристов

А.В. Крахин

МАТЕМАТИКА
ДЛЯ
ЮРИСТОВ

Учебное пособие

2-е издание, исправленное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2020

УДК 51-027.22:34(075.8)
ББК 22.18+67я73

К78

Р е ц е н з е н т ы:

И.К. Лифанов, заслуженный деятель науки и техники России,

д-р физ.-мат. наук, проф. (Военно-воздушная

инженерная академия им. проф. Н.Е. Жуковского);

С.И. Цветков, д-р юрид. наук, проф.

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

К78

ISBN 978-5-89349-799-1

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Госу
дарственного стандарта высшего профессионального образования (Государственные требования к минимуму содержания и уровню подготовки
выпускника по специальности 030501 — Юриспруденция и 030505 —
Правоохранительная деятельность). Изложенные математические понятия
подобраны и раскрыты с точки зрения их приложения к юридической деятельности.

Для студентов вузов юридического профиля.

ISBN 978-5-89349-799-1
c⃝ Крахин А.В., 2005

УДК 51-027.22:34(075.8)
ББК 22.18+67я73

Крахин А.В. 
    Математика для юристов [Электронный ресурс] : учеб. пособие / 
А.В. Крахин. — 2-е изд., испр. — М. : ФЛИНТА, 2020. — 198 с.

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Введение. Общее представление о математике.
Математика и право . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Глава I. Основные понятия теории множеств. Элементы
комбинаторики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 1. Понятие множества. Операции над множествами
. . . . .
13
§ 2. Разбиение множества на классы. Мощность множества . .
16
§ 3. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§ 4. Отображение множеств. Общее понятие функции . . . . . 25

Глава II. Основы математических знаний . . . . . . . . . . . . . 29
§ 1. Понятие, виды и способы задания функции
. . . . . . . . 29
§ 2. Предел и непрерывность функции. Понятие производной
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 3. Исследование функций с помощью производной . . . . . .
41
§ 4. Понятие первообразной и неопределенного интеграла . . . 47
§ 5. Основные правила, формулы и методы интегрирования . . 49
§ 6. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§ 7. Понятие дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . 55
§ 8. Элементарные методы интегрирования
дифференциальных уравнений первого порядка . . . . . . 57
§ 9. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . .
61

Глава III. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . 66
§ 1. Понятие случайного события. Вероятность события . . . . 66
§ 2. Методы определения вероятности события . . . . . . . . . 69
§ 3. Понятие случайной величины. Закон распределения
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 4. Непрерывные функции распределения . . . . . . . . . . . . 85

Глава IV. Основные понятия и методы математической
статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 1. Задачи математической статистики
. . . . . . . . . . . . . 92
§ 2. Выборочный метод исследования. Основные понятия
теории выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
§ 3. Первичная обработка результатов наблюдений . . . . . .
100
§ 4. Математические методы обработки статистических данных. Статистическая оценка параметров распределения . . 102

Оглавление

Глава V. Методы статистического анализа социально-правовых
явлений и процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 1. Понятия о методах статистического анализа. Факторный
анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 2. Корреляционный анализ. Регрессионный анализ . . . . . . 117

Глава VI. Математические и методические основы
моделирования социально-правовых процессов . . . . 129
§ 1. Понятие системы. Системный подход . . . . . . . . . . . . 129
§ 2. Понятие модели и моделирования . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 3. Виды моделирования в уголовно-правовой сфере
деятельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 4. Математическое моделирование социально-правовых
объектов (процессов)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§ 5. Этапы разработки модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 6. Моделирование в уголовном процессе . . . . . . . . . . . . 143

Глава VII. Анализ и прогнозирование социально-правовых
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
§ 1. Анализ социально-правовых процессов . . . . . . . . . . . 152
§ 2. Логико-математические основы анализа при
расследовании преступлений . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 3. Прогнозирование социально-правовых процессов . . . . . . 161

Глава VIII. Принятие решений. Исследование операций . . . . 171
§ 1. Процесс принятия решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 2. Общие принципы исследования операций . . . . . . . . . . 172
§ 3. Модели исследования операций
. . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 4. Линейное программирование: формулировка задачи и ее
графическое решение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 5. Определение транспортной модели линейного
программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 6. Динамическое программирование (общее представление) . 186
§ 7. Математическая теория игр. Принятие решения
в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Предисловие

Не так важно приобрести знания, как способности мышления.
М. Лауэ

В настоящее время в учебных планах юридических вузов предусмотрено изучение курса информатики и математики. Данная дисциплина наряду с повышением общего культурного уровня обучаемых
призвана сформировать «технологические» основы для успешного освоения юридических дисциплин в части, касающейся использования современных информационных технологий и математического аппарата
в соответствующей отрасли права или профессиональной деятельности. Несомненно, математика имеет определенное (но не определяющее) мировоззренческое значение, но для юристов она в большей мере
служит инструментом анализа, организации, управления. Это должно
быть одновременно и отправной точкой и конечной целью изучения курса математики в вузе юридического профиля. Исходя из этого в ряде
случаев автор пожертвовал «чистотой математических знаний» в интересах установления связей с юридическими дисциплинами: уголовным
правом, криминалистикой, криминологией и др. Но это разумные компромиссы — не следует увлекаться исключительно профессиональной
подготовкой. Главная задача высшего образования — научить думать.
Предлагаемое учебное пособие акцентирует внимание на прикладном аспекте математики, ориентировано в первую очередь на возможность применения математических знаний в юридической деятельности. Книга состоит из восьми глав и введения. В первой главе рассматриваются основы теории множеств и элементы комбинаторики. Основные понятия математического анализа, интегрального и дифференциального исчислений, излагаются во второй главе. Третья и четвертая
главы раскрывают понятия и методы теории вероятностей и математической статистики, последующие три главы исследуют социальноправовые процессы и явления, рассматривают вопросы анализа, моделирования и прогнозирования объектов социально-правовой природы.
Заключительная глава посвящена введению в исследование операций
в контексте принятия решений. Учебный материал структурирован с
учетом принципа целостности, составляющие его главы имеют как промежуточную обратную связь, так и связь по конечному результату.

Предисловие

В конце каждой главы помещены: схема ключевых понятий, тестовые
вопросы для самопроверки и список литературы.
Настоящее учебное пособие предполагает рассмотрение в основном понятийного математического аппарата по разделам, представленным на схеме, и возможностей его применения для анализа объектов
социально-правовой природы, а также решения задач, стоящих перед
правоохранительными органами в уголовно-правовой сфере деятельности.

Предисловие
7

Формализованное описание
объектов и задач криминалистического
исследования (баллистическая экспертиза,
автотехническая экпертиза)

Теоретико-множественный подход
в уголовном праве

Оптимизация решений задач
организационного управления

Логико-математические основы выдвижения
 и доказывания следственных версий

Решение задач идентификации
в экспертной деятельности

Количественное описание объектов
криминологического исследования,
анализ динамики и структуры преступности

Методы
теории
множеств

Методы
математического
анализа

Методы
исследования
операций

Методы
теории
вероятностей

Методы
математической
статистики

Математические методы в уголовно-правовой
сфере деятельности

Введение
ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О МАТЕМАТИКЕ.
МАТЕМАТИКА И ПРАВО

В основе объективных законов реального мира лежат два фундаментальных принципа: качественный — принцип гармонии и количественный — принцип симметрии. Оба воплощают в природе и обществе идею порядка. Философия рассматривает математику в качестве
одного из важных инструментов научного и практического познания
количественной и структурной стороны объективной реальности.
Математика зарождалась как наука о числах и фигурах в интересах описания и даже предсказания законов природы. Построение
здания будущей науки математики осуществлялось аксиоматическим
способом — в качестве его фундамента закладывали аксиомы и изначально неопределимые понятия (точка, прямая, плоскость — в геометрии Евклида; множество — в теории множеств Кантора) так, чтобы их
следствия, сформулированные в виде теорем, согласовывались с реальным опытом. Философская проблема отношения математики и реальности — действительность создает математику (Дени Дидро) или математика творит реальность (Пифагор, Платон) — была решена исходя из
практического опыта. В определении Ф. Энгельса «чистая математика
имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Именно поэтому первоначально была
отвергнута «воображаемая» геометрия Лобачевского, теоремы которой
не согласовывались с чувственным опытом.
По мере развития математика перешагнула рамки своего первоначального (на этапе становления) предмета исследования. Чистая математика стала фундаментальной, в состав которой вошли такие разделы, как математической анализ, линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения, функциональный анализ и др.
Наряду с фундаментальной, в качестве ее приложения для решения
прикладных задач, появилась прикладная математика — теория вероятностей, математическая статистика, исследование операций и другие
новые разделы математической науки.
В настоящее время на вопрос, что такое математика, невозможно
дать состоятельный ответ лишь на основе философских обобщений.

Введение. Общее представление о математике. Математика и право
9

Для понимания сути науки математики необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы. Отправным пунктом в развитии
теории вероятностей как науки «математики случайного» явились задачи, связанные с азартными играми. В своем сочинении «О расчетах в
азартных играх» Гюйгенс, в частности, писал, что в них закладываются
основы очень интересной и глубокой теории.
Сейчас, пожалуй, нет области знаний, в которой не использовались
бы методы теории вероятностей. На основе этих методов появились
новые науки, отпочковавшиеся от теории вероятностей: теория информации, теория надежности, планирование эксперимента и др. Теория
вероятностей послужила математической основой для относительно молодой науки кибернетики. В свою очередь, развитие кибернетических
идей способствовало росту прикладного значения теории вероятностей.
Существует определенная аналогия между математикой и правом,
заключающаяся в том, что они отражают (описывают) объективную
реальность с помощью специального языка понятий и категорий. Язык
математики — это особый язык науки. В отличие от юридического,
который в основном классифицирует предметы и поэтому является
языком качественным, язык математики прежде всего количественный.
Иными словами, математика есть язык порядка, о чем говорил «отец»
кибернетики Норберт Винер, подчеркивая, что высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в окружающем нас хаосе.

Особенности математического языка

Логическая обоснованность
(отношение логического
следования)

Применение символических
средств (чисел, формул,
графиков и др.)

Формальный характер
(общность и абстрактность
понятий)

Отражение количественных
и структурных
характеристик

Схема 1

Особенностью математических конструкций является их формальный характер, стройность и логическая обоснованность (схема 1). Внут

Введение. Общее представление о математике. Математика и право

ренний порядок устанавливается особым образом — с помощью отношения логического следования. При взаимодействии математики с той
или иной юридической наукой язык последней, а точнее, отдельные его
элементы, ассимилируются с языком взаимодействующей с ней математической науки.
Широкому
внедрению
математических
методов
в
социальноправовые исследования способствовало появление персональных компьютеров (ПЭВМ). Специальные программные пакеты сделали математические методы более доступными и наглядными: теперь уже не
требуется вручную выполнять трудоемкие расчеты по сложным формулам, строить графики — всю эту черновую работу взял на себя компьютер, а человеку остаются постановка задач, выбор методов их решения
и интерпретация результатов.
Современные ПЭВМ предоставляют огромные возможности в области компьютерного моделирования для осмысления действительности
и изучения сложных процессов и явлений, прежде всего социальных.
Исторически возникли и самостоятельно развились два направления,
две основные ветви в моделировании: математическое и мысленнообразное. У каждого свой язык, свои методы, своя сфера приложения.
Математическое направление касается прежде всего сферы технических наук. Именно в рамках этого направления моделирование стали
ассоциировать с научным методом познания. Мысленно-образное направление развивается в основном в сфере гуманитарных исследований,
искусства. В настоящее время на базе новых информационных технологий идет объединение (синтез) этих двух направлений (что особенно
заметно в индустрии развлечений). Компьютерная модель, например в
виде компьютерного тренажера, реализует сложную динамическую последовательность многомерных образов со сложными ассоциативными
взаимосвязями.
Применение математических моделей и методов в социально-правовом исследовании связано с методологией системного подхода. Расширяя рамки чисто качественного подхода правовых наук, математика
способствует формированию мышления юриста на ином содержательном уровне, а именно уровне системы знаний и владения приемами
логико-математического абстрагирования, методами анализа и синтеза
при решении сложных юридических вопросов.
На сегодняшний день во многих сферах юридической деятельности
используется достаточно серьезный математический аппарат. В частности, трудно представить себе криминологию без использования аппарата математической статистики, криминалистику — без теории вероят