Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

В.Г. Абдрахманов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Линейная алгебра и аналитическая 

геометрия

Учебное пособие

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2019 

УДК 51(075.8)
ББК  22.1я73

А13

А13

Абдрахманов В.Г. 
  Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 
[Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.Г. Абдрахманов. — М. : 
ФЛИНТА, 2019. — 179 с.

ISBN 978-5-9765-4335-5 

В данном пособии изложение теоретического материала достаточно 
строгое. Исключение составляют изложение свойств определителя матрицы 
(которые доказываются только для определителей до третьего порядка), 
теоремы об определителе произведения матриц (которая доказывается только 
для второго порядка) и свойств произвольного линейного пространства (без 
доказательств приводятся только некоторые свойства).  
Предназначено 
для 
студентов 
технических 
университетов 
со 
стандартным курсом математики

УДК 51(075.8)
ББК  22.1я73

ISBN 978-5-9765-4335-5
© Абдрахманов В.Г., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

Содержание

Предисловие........................................................................................................... 5
Глава 1. Линейная алгебра.................................................................................... 6

1.1. Матрицы.................................................................................................. 6
1.2. Линейные операции с матрицами......................................................... 8
1.3. Умножение матриц ..............................................................................10
1.4. Определители........................................................................................16
1.5. Решение линейных уравнений с квадратной матрицей 

с помощью обратной матрицы и по формуле Крамера...................................25

1.6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.................31
1.7. Линейная зависимость строк и столбцов. Теорема о базисной 

субматрице ...........................................................................................................38

1.8. Условие совместности произвольной 

линейной системы уравнений............................................................................50

1.9. Решение совместной линейной системы методом Гаусса...............53
1.10. Однородная система линейных алгебраических 

уравнений (ОСЛАУ) ...........................................................................................57

1.11. Структура общего решения неоднородной 

линейной системы уравнений............................................................................66

1.12. Линейные пространства.....................................................................67
1.13. Базис и размерность линейного пространства................................69
1.14. Линейное пространство решений однородной системы линейных 

алгебраических уравнений .................................................................................75

1.15. Арифметическое пространство 𝑅𝑛 ...................................................76

Глава 2. Векторная алгебра ................................................................................79

2.1. Векторы. Линейные операции с векторами.......................................79
2.2. Базисы и размерности пространств V1 , V2 , V3..................................84
2.3. Система координат...............................................................................89
2.4. Проекция вектора на числовую ось....................................................91
2.5. Переход от бескоординатного задания вектора к координатному 

заданию и обратный переход .............................................................................94

2.6. Координаты точки. Простейшие задачи о точках ............................96
2.7. Скалярное произведение векторов.....................................................98
2.8. Векторное произведение векторов...................................................101
2.9. Смешанное произведение векторов .................................................103
2.10. Сочетательное и распределительное свойства векторного 

произведения......................................................................................................106

2.11. Векторное и смешанное произведения в координатах ................107

Глава 3. Аналитическая геометрия..................................................................109
3.1. Понятие об уравнениях линий и поверхностей………………………...109
3.2. Поверхности и линии первого порядка………………………………….113
3.3. Простейшие задачи на поверхности и линии первого порядка………..127
3.4. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат 
на плоскости……………………………………………………………………135
3.5. Кривые второго порядка на плоскости…………………………………..136
3.6. Цилиндрические и конические поверхности особого расположения…154
3.7. Поверхности второго порядка в пространстве………………………….157

Предисловие

Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
студентов 
технических 

университетов со стандартным курсом математики.Изложение теоретического 
материала достаточно строгое. Исключение составляют изложение свойств 
определителя матрицы (которые доказываются только для определителей до 
третьего порядка), теоремы об определителе произведения матриц (которая 
доказывается только для второго порядка) и свойств произвольного линейного
пространства (без доказательств приводятся только некоторые свойства). 

Для 
определителя 
матрицы 
дается 
индуктивное 
определение. 

Существенное 
отличие 
изложения 
раздела 
«Линейная 
алгебра» 
от 

традиционного состоит в том, что термин «базисный минор» впервые заменен 
более корректным термином «базисная субматрица». Дело в том, что во всех 
существующих 
учебниках 
используются 
выражения 
типа 
«строки 

определителя», «базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы». 
Подобная вольность речи приводит к тому, что студенты систематически 
путают понятия «матрица» и «определитель матрицы»: ведь определитель 
матрицы –это число, и потому у него нет строк; по той же причине базисный 
минор (число) разве что случайно может оказаться первым элементом матрицы.

Геометрический вектор дается как класс сонаправленных отрезков равной 

длины.

Изложение темы «Кривые второго порядка» ведется без использования 

квадратичных форм на основе преобразования координат. Изложение темы 
«Поверхности 
второго 
порядка» 
ограничивается 
исследованием 
их 

канонических уравнений методом параллельных сечений. 

Глава 1. Линейная алгебра

1.1. Матрицы 

1.1.1. Определение.

Прямоугольная таблица чисел с
строками и 
столбцами 

называется матрицей размера
. 

Числа 
называется 
элементами 

матрицы (первый индекс 
указывает номер строки, в которой стоит 

элемент, а второй индекс 
номер столбца). Матрица размером 

называется столбцом, матрица размером 
строкой.

Матрица размера 
есть просто число: 
.

Примеры.














−

−

=
1
1,0
6
5
1

0
3
73
,2
3

A
, 
















−
=

4

2

3

B
, 




=
0
7
1
C
, 

( )
9
=
D
– матрицы размеров 
4
2
, 
1
3 , 
2
1
, 
1
1
соответственно. 
−
B

столбец, 
−
C
строка. В матрице 
1,0
,3
:
23
11
=
=
a
a
A
и т.д.

1.1.2. Определение (виды матриц). 

Если все элементы 
, то матрица называется нулевой матрицей

(обозначается О). Если число строк равно числу столбцов 
, то 

m
n

( )mn
ij

mn
mj
m
m

in
ij
i
i

n
j

n
j

a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

A
=

























=















2
1

2
1

2
2
22
21

1
1
12
11

n
m

(
)
n
j
m
i
aij
,
,2,1
;
,
,2,1


=
=

i

−
j
1

m

−
n
1

1
1
(
)
11
11
a
a
=

0
=
ij
a

(
)
n
m =

матрица называется квадратной матрицей 
го порядка. Совокупность ее 

элементов 
называется главной диагональю, а совокупность 

побочной диагональю. Квадратная матрица называется 

треугольной, если все элементы ниже главной диагонали (или выше главной 
диагонали) равны нулю; диагональной, если равны нулю все элементы вне 
главной диагонали. Диагональная матрица, у которой 
называется единичной матрицей (обозначается
).

Примеры.

















−

−

=

2
0
0

4
3
0

0
1
2

A
, 
−

















=

5
1
4

0
0
0

0
0
3

B
треугольные матрицы,

−

















=

5
0
0

0
0
0

0
0
3

C
диагональная матрица, 
−

















=

1
0
0

0
1
0

0
0
1

E
единичная 

матрица 3-го порядка.

1.1.3. Определение.

Транспонированием матрицы называется замена строк столбцами с 

сохранением 
их 
номеров. 
Полученная 
матрица 
называется 

транспонированной по отношению к данной матрице 
и обозначается 
:

если 
– матрица размера 
, то 

– матрица размера 
.

−
n

nn
a
a
a
,
,
,
22
11


(
)
−
−
1
1
2
1
,
,
,
n
n
n
a
a
a


1
22
11
=
=
=
=
nn
a
a
a


E

A
T
A



















=

mn
m
m

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A











2
1

2
22
21

1
12
11

n
m



















=

mn
n
n

m

m

T

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A











2
1

2
22
12

1
21
11

m
n

Примеры.
(
)
5
4
3
,

5
4
3

;

5
0

0
1

3
2

,
5
0
3

0
1
2
=

















=
















−
=









−
=
T
T
B
B
A
A
.

1.2. Линейные операции с матрицами

1.2.1. Определение.

Две матрицы одинакового размера называются равными, если равны все 

их соответствующие элементы: 
, если 
при всех 

.

Сложение 
двух 
математических 
объектов 
и 
умножение 

математического объекта на число (если эти действия имеют смысл) 
называются 
линейными 
операциями. 
Введем 
линейные 
операции 
с 

матрицами.

1.2.2. Определение (линейные операции с матрицами).

а) Суммой матриц одинакового размера
и 
называется 

матрица 
того же размера, полученная поэлементным сложением. 

Разность 
понимается как сумма матриц 
и 
.

б) Произведением матрицы
на число 
называется матрица 

того же размера, полученная умножением всех элементов на число 
. 

(Сложение матриц разного размера не имеет смысла. Заметим, что 

деление матрицы A на число 
0

k
есть умножение на число k

1 ).

( )
( )mn
ij
mn
ij
b
a
=
ij
ij
b
a =

n
j
m
i
,
,2,1
;
,
,2,1


=
=

( )mn
ij
a
( )mn
ij
b

(
)mn
ij
ij
b
a +
( )
( )mn
ij
mn
ij
b
a
−
( )mn
ij
a
(
)mn
ij
b
−

( )mn
ij
a
k

(
)mn
ij
ka
k

Пример.

















=

















+

















=

















+

















210
4

520
16

90
8

60
1

160
4

30
2

150
3

360
12

60
6

60
1

160
4

30
2

50
1

120
4

20
2

3
.

Хотя матрицы – не числа (а только таблицы чисел), оказывается, что при 

линейных операциях они ведут себя как числа, что видно из следующей 
теоремы.

1.2.3. Теорема (свойства линейных операций с матрицами)

Если 
матрицы одинакового размера, 
и 
– числа, то 

1)
(переместительность сложения матриц),

2)
(сочетательность сложения матриц),

3)
(сочетательность умножения матрицы на число),

4)
(распределительность умножения матрицы на

число относительно сложения матриц),

5)
(распределительность умножения матрицы на

число относительно сложения чисел).

█ Справедливость этих равенств следует из того, что элементами матриц 

являются числа, а линейные операции с числами обладают переместительным, 
сочетательным и распределительным свойствами. Например,

4) Пусть 
(
)
( )mn
ij
mn
ij
b
B
a
A
=
=
,
. 

Тогда 

(
)
(
)

11
1
11
1

1
1

Опр. 1.2.2а

n
n

m
mn
m
mn

a
a
b
b

A
B

a
a
b
b

















+
=
+
=
=



















−
C
B
A
,
,



A
B
B
A
+
=
+

(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
+
+
=
+
+

(
)
(
)A
A

=



(
)
B
A
B
A

+

=
+


(
)
A
A
A

+

=

+


=

















+
+

+
+

=

mn
mn
m
m

n
n

b
a
b
a

b
a
b
a









1
1

1
1
11
11


(Опр. 1.2.2б) =

(
)
(
)

(
)
(
)

11
11
1
1

1
1

используем распределительное

свойство умноженияя

и сложения чисел

n
n

m
m
mn
mn

a
b
a
b

a
b
a
b









+
+







=
= 
 =








+
+





(
)

11
11
1
1

1
1

Опр. 1.2.2а

n
n

m
m
mn
mn

a
b
a
b

a
b
a
b











+
+





=
=
=




+
+



=

















+

















=

mn
m

n

mn
m

n

b
b

b
b

a
a

a
a





























1

1
11

1

1
11

(Опр. 1.2.2б)=

11
1
11
1

1
1

n
n

m
mn
m
mn

a
a
b
b

A
B

a
a
b
b















=
+
=
+













. 

Остальные свойства доказываются аналогично. █

1.3. Умножение матриц

1.3.1. Определение.

Произведением строки
на столбец
с тем же числом 

элементов называется число, равное сумме произведений соответствующих 
элементов строки и столбца: 

(
)
p
a
a
a

2
1



















p
b

b

b



2

1