Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы
Покупка
Издательство:
ФЛИНТА
Автор:
Туганбаев Аскар Аканович
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 228
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-4180-1
Артикул: 774952.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность, дифференциалы, производные, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, двойные и тройные интегралы, замена переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, сферических и обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, физические приложения двойных и тройных интегралов. Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 04.03.01: Химия
- 04.03.02: Химия, физика и механика материалов
- 09.03.01: Информатика и вычислительная техника
- 11.03.01: Радиотехника
- 22.03.01: Материаловедение и технологии материалов
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Национальный исследовательский университет МЭИ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова А.А. Туганбаев ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы Учебник Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019
УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.5я73 Т81 Т81 Туганбаев А.А. Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы [Электронный ресурс]: учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 228 с. ISBN 978-5-9765-4180-1 Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов раз личных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность, дифференциалы, производные, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, двойные и тройные интегралы, замена переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, сферических и обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, физические приложения двойных и тройных интегралов. Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений. УДК 517.2(075.8) ББК 22.161.5я73 Учебное издание Туганбаев Аскар Аканович ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы Учебник Подписано к выпуску 26.02.2020. Формат 60×88/16. Уч.-изд. л. 9,5. Электронное издание для распространения через Интернет. ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. Тел./факс: (495) 334-82-65; тел. (495) 336-03-11. E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru ISBN 978-5-9765-4180-1 © Туганбаев А.А., 2019 © Издательство «ФЛИНТА», 2019
Оглавление ЧАСТЬ I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................... 5 1. Предел функции нескольких переменных .................................. 5 1.1. Подмножества арифметических пространств ......................... 5 1.2. Предел функции нескольких переменных .............................. 8 1.3. Непрерывные функции нескольких переменных .................. 14 2. Производные функций нескольких переменных ..................... 15 2.1. Частные производные первого порядка ................................. 15 2.2. Дифференцируемость и полный дифференциал ................... 18 2.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ................. 24 2.4. Производные сложных функций ............................................ 29 2.5. Производные неявных функций ............................................. 35 3. Производные высших порядков и формула Тейлора ............. 46 3.1. Производные высших порядков ............................................. 46 3.2. Дифференциалы высших порядков ........................................ 49 3.3. Формула Тейлора ..................................................................... 52 4. Экстремумы функций нескольких переменных ...................... 57 4.1. Необходимые условия экстремума ......................................... 57 4.2. Достаточные условия экстремума .......................................... 60 4.3. Условный экстремум ............................................................... 64 4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции ..................... 70 5. Задачи о функциях нескольких переменных ............................ 77 5.1. Задачи с краткими решениями ................................................ 77 5.2. Задачи с ответами ..................................................................... 86 5.3. Контрольные задания ............................................................... 90 ЧАСТЬ II. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ............................................... 109 6. Двойные интегралы...................................................................... 109 6.1. Общие свойства двойных интегралов .................................. 109 6.2. Двойной интеграл в декартовых координатах .................... 112 6.3. Замена переменных в двойном интеграле ........................... 119
6.4. Двойной интеграл в полярных координатах ....................... 122 6.5. Двойной интеграл в обобщенных полярных координатах ................................................................................... 131 6.6. Физические приложения двойных интегралов .................... 134 7. Тройные интегралы ..................................................................... 141 7.1. Общие свойства тройных интегралов .................................. 141 7.2. Тройной интеграл в декартовых координатах .................... 144 7.3. Замена переменных в тройном интеграле ........................... 154 7.4. Цилиндрические и сферические координаты ...................... 158 7.5. Обобщенные сферические координаты ............................... 165 7.6. Вычисление объемов ......................................................... 167 7.7. Физические приложения тройных интегралов ............ 169 8. Задачи по кратным интегралам .......................................... 176 8.1. Задачи с краткими решениями ........................................ 176 8.2. Задачи с ответами ............................................................... 191 8.3. Контрольные задания ........................................................ 196
!"#$ %&'$ Rn n x1, . . . , xn nRnRn x1, . . . , xn M(x1; . . . ; xn)n RnOxyz OxyzOx! x, y, z"R3 = OxyzR2 = Oxy R1 = Ox = RR2 R3n = 1 y = f(x)n > 3 ! n = 2, 3" #M(x1; . . . ; xn) N(y1; . . . ; yn) Rn $"(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 ρ(M, N)%ρ(M, N) = ρ(N, M)M N ρ(M, N) = 0RnR2 R3&" δ ' > 0M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn δ(M0) ' M ∈ Rn(δ M0δ(M0) = {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn | (y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 < δ}. δ(M0) δM0 M˙δ(M0) = δ(M0) \ M0M0 δ(M0) δM0 M0" δ(M0) δ M0{M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn | (y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 = δ} nδ $M0)*" δ(M0)nδ M0+
n = 2 n = 3δ(M0) δ M0δ(M0) ! (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ2), ! δ"˙δ(M0) M0 ! 0 < (x−x0)2+(y−y0)2 < δ2 0 < (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 < δ2). #$ %%&%%%&&%%&'δ"˙δ(M0) n = 1, 2, 3" ( Rn)( D Rn M *! D +M! DD , ( M+M! D,Rn ! **D-D ! D " , ( ,M.!($ $ /
D {(x, y) | x2 + y2 < R2} {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2} (0; 0) R R2! "{(x, y) | x2 + y2 = R2}#"Rn$ #"Rn #x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t), x1(t), x2(t), . . . , xn(t) % & ' D % RnD #' DR2 'D1 = {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 4} (()(% D2 = {(x, y) | (x − 2)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y) | (x + 2)2 + y2 < 1} ! (()*+' M1 M2 ! '' !#D,,#'
D1 D2 D RnRn DRn δM0D ⊂ δ(M0)!D1 D1 "#"$ R2 {(x, y) | y ≥ 0} R2#D RnM(x1; x2; . . . ; xn)%f : D → RM D un D = D(f) u = f(x1, x2, . . . , xn) u = f(M)&$ $ u '(u = f(M)#n ≥ 2 '(u = f(M) #n = 1 '(y = f(x) )* x+'($ $ ("'($ $ $#,'($ $ $- $ $ z = f(x, y) u = f(x, y, z) z = f(x1, x2) u = f(x1, x2, x3)#,(x, y) (x, y, z) M Oxy $Oxyz.'(f(x, y) f(x, y, z) M "D Oxy Oxyz /V ""xy z '(u = f(x, y, z) = xyzD: x > 0, y > 0, z > 00(z = f(x, y) $ $ ')'* ""'$$#$z = f(x, y) '(f(x, y). +'((x; y) z "'1
!" " #z = Cf(x, y) = CC ∈ R$%&z = x2 + y2'C < 0 z = f(x, y) ( )C0 "O(0; 0; 0)&C = 1 x2 + y2 = 1 * +!" 1 &+z = f(x, y) "# z = 1 * +!" x2 + y2 = 11&"# z = 4 !" x2 + y2 = 4z = 4 ,z = x2 + y2 " "# x = 0%z = y2 yOz$-./%" z = 1 − x2 a2 − y2 b2 . ◁ ( x y!1 − x2 a2 − y2 b2 "0
− x2 a2 − y2 b2 ≥ 0 x2 a2 + y2 b2 ≤ 1. x2 a2 + y2 b2 = 1 ▷ ! "#z = ln(y2−4x+8). ◁ $! "#z = ln(y2 − 4x + 8) % &(x; y)y2 − 4x + 8 > 0. 'y2 = 4x − 8 ( )(2; 0). 02 − 4 · 0 + 8 > 0, (0; 0) &(3; 0)! 02 − 4 · 3 + 8 < 0* !y2 − 4x + 8 &! +!+ ,!y2 − 4x + 8 < 0 -> 0 -.!! "#/ ! &0y2 = 4x − 8 1▷ 2! D = {(x; y; z)} % &0xyz ,
u = f(x, y, z) x, y, zDD f(x, y, z)x, y, z f(x, y, z)f(x, y, z) f(x, y, z) = C = !"#, $ $%&'$$()&* u = R2 − x2 − y2 − z2 + 1 x2 + y2 + z2 − r2 R > r $*x2+y2+z2 = ρ2 *+$x2 + y2 + z2 = R2◁ )&* R2 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 x2 + y2 + z2 − r2 > 0 x2 + y2 + z2 ≤ R2 x2 + y2 + z2 > r2 . ,*&*+r2 < x2 + y2 + z2 ≤ R2, r R-x2 + y2 + z2 = ρ2 = !"# $u = R2 − ρ2 + 1 ρ2 − r2 $.&$x2 + y2 + z2 = ρ2 r < ρ ≤ R u = u(x, y, z)/u(ρ) = R2 − ρ2 + 1 ρ2 − r2 (r, R]. )*+$u′(ρ) = − ρ R2 − ρ2 − ρ (ρ2 − r2)3 = −ρ 1 R2 − ρ2 + 1 (ρ2 − r2)3 . 00 < r < ρ ≤ R $u′(ρ) < 0, *u(ρ) $ρ &01*+$u(ρ) ρ = Rx2 + y2 + z2 = R2. 0* f(M) &M0 ∈ Rn2A $f(M) M → M0&ε > 0 δ > 0|f(M) − A| ≤ ε 33
M ∈ ˙δ(M0)lim M→M0 f(M) = AM M0!n = 2 M0 = M0(x0; y0) lim M→M0 f(M) = A " lim x→x0 y→y0 f(M) = A#" ρ, θM0(x0, y0) " $$ Ox%&x − x0 = ρ cos θy − y0 = ρ sin θ lim x→x0 y→y0 f(x, y) = lim ρ→0 f(x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ). 1.2.9(1) x, y " $ &&ρ'()*'(++ ,θ, lim x→x0 y→y0 f(x, y) ,!M0 - & D f(M)%&" M0 f(M) !f(M) M0 &. A f(M) M → M0$&ε > 0 δ > 0|f(M) − A| ≤ ε M ∈ D ∩ ˙δ(M0)lim M→M0 f(M) = Alim M→M0 f(M) = A ()
Доступ онлайн
В корзину