Высшая математика. Основы линейной алгебры. Теория и задачи

Национальный исследовательский университет МЭИ 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 
А.А. Туганбаев 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 
Теория и задачи 
Учебник 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 
1 

УДК 512.64(075.8) 
ББК  22.143я73 
 Т81 
        Туганбаев А.А. 
Т81        
           Высшая  математика.  Основы линейной алгебры.  Теория 
и задачи [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М.: 
ФЛИНТА, 2019. — 186 с. 
     
    ISBN 978-5-9765-4032-3 
Книга соответствует программам курсов высшей математики
для студентов различных нематематических специальностей и может
выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника
контрольных заданий по важнейшим темам линейной алгебры и
аналитической геометрии: матрицы, определители, системы линейных уравнений, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка, линейные пространства и линейные операторы. 
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений. 
УДК 512.64(075.8) 
ББК 22.143я73 
ISBN 978-5-9765-4032-3 
     © Туганбаев А.А., 2019 
© Издательство «ФЛИНТА», 2019 
2 

Оглавление 
 
1. Матрицы, линейные уравнения и определители ............... 4 
1.1. Группы, поля, пространства F n и (F n)T ................................. 4 
1.2. Матрицы и операции над ними ............................................ 13 
1.3. Системы линейных уравнений ............................................. 20 
1.4. Определители ......................................................................... 27 
1.5. Обратная матрица. Матричные уравнения ......................... 36 
 
2. Линейные пространства и линейные операторы ............. 39 
2.1. Линейные пространства и ранг матрицы ............................. 39 
2.2. Линейные операторы и их матрицы ..................................... 48 
2.3. Собственные векторы и собственные значения .................. 54 
2.4. Евклидовы пространства ....................................................... 55 
 
3. Элементы аналитической геометрии ................................. 59 
3.1. Геометрические векторы ....................................................... 59 
3.2. Прямые в пространстве ......................................................... 76 
3.3. Прямые на плоскости ............................................................ 80 
3.4. Плоскости ............................................................................... 86 
3.5. Кривые на плоскости ............................................................. 93 
3.6. Важнейшие поверхности ..................................................... 115 
 
4. Задачи ...................................................................................... 126 
4.1. Задачи с краткими решениями ............................................ 126 
4.2. Задачи с ответами ................................................................. 143 
4.3. Контрольные задания ........................................................... 165 
3 
 

Матрицы, определители
и линейные уравнения
В данной книге F обозначает некоторое поле, где лежат скалярные элементы рассматриваемых объектов: определителей, матриц, коэффициентов линейных уравнений. Определение поля приведено в 1.1.5.
Заметим, что почти повсюду в данной книге читатели вполне могут
обойтись наиболее важным и простым случаем, когда поле F  это
множество R всех действительных чисел с обычными арифметическими
операциями. Такие читатели могут пропустить подразделы 1.1.21.1.5
при первом чтении.1
Элементы поля F называются скалярами; в случае F = R скаляры 
это обычные числа. Мы пока только заметим, что любое поле F содержит нулевой элемент 0 и ненулевой единичный элемент 1 и для произвольных элементов a, b ∈F определены операции "суммы"a + b и
"произведения"ab, причем эти "сумма"и "произведение"удовлетворяют
определенным аксиомам, которым удовлетворяют обычные операции
сложения и умножения во множестве R. Для любого ненулевого элемента b ∈F определен обратный элемент по умножению b−1, и определено
деление a
b любого элемента a ∈F на ненулевой элемент b как произведение ab−1. Во многих случаях различные алгебраические объекты из
данной книги содержат скаляры из поля F, которые, как было отмечено, могут рассматриваться читателями просто как обычные числа.
1.1
Группы, поля, пространства F n и (F n)T
1.1.1. Числовые множества.
Через R, N, Z, Q обозначаются множества всех действительных чисел,
всех натуральных чисел n = 1, 2, . . ., всех целых чисел z = 0, ±1, ±2, . . .
и всех рациональных чисел m/n, где m ∈Z и n ∈N.
1.1.2. Комплексные числа.
Комплексными числами называются пары действительных чисел
z = (a, b) с операциями сложения и умножения
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), (a1, b1)(a2, b2 = (a1a2 −b1b2, a1b2 + a2b1).
1.1.2(1)
Множество всех комплексных чисел обозначается через C. Отождествим число a ∈R с парой (a, 0). Из 1.1.2(1) видно, что при этом отождествлении сумма переходит в сумму, а произведение  в произведение.
1Автор благодарен И.В.Стаценко за многочисленные полезные замечания.
4

Поэтому R ⊂C. В дальнейшем мы будем отождествлять комплексное
число (a, 0) с действительным числом a.
Положим i = (0, 1). Из 1.1.2(1) следует, что i2 = (−1, 0) = −1. Кроме
того, (a, b) = a+bi. Такое представление комплексного числа называется
алгебраической формой комплексного числа.
Комплексное число z = a −bi называется комплексно сопряженным к z.
a2 + b2.
Модулем комплексного числа z = a + bi называется неотрицательное
действительное число |z| =
√
Ниже через z, z1, z2 и z3 обозначаются произвольные комплексные числа. С помощью 1.1.2(1) непосредственно проверяются приведенные ниже свойства 1.1.2(2)1.1.2(6) комплексным чисел.
z1z2 = z1 z2,
z1 + z2 = z1 + z2 .
1.1.2(2)
Умножение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно, т.е.,
z1z2 = z2z1,
(z1z2)z3 = z1(z2z3).
1.1.2(3)
Модуль произведения комплексных чисел  произведение их модулей:
|z1z2| = |z1||z2|,
1.1.2(4)
Для любого комплексного числа z имеем
zz = |z|2,
в частности
z ̸= 0 ⇔|z| ̸= 0.
1.1.2(5)
Для любого ненулевого комплексного числа z существует обратное число, т.е. если обозначим z−1 =
1
|z|2 z, то
zz−1 = z−1z = 1.
1.1.2(6)
1.1.3. Аддитивные и мультипликативные моноиды.
Пусть A  некоторое непустое множество, в котором выделен некоторый
элемент 0A, называемый нулем или нулевым элементом,2 и для любых
элементов a, b ∈A определен некоторый элемент из A, обозначаемый
через a + b и называемый суммой элементов a и b. Множество A или,
точнее, набор ⟨A, +, 0A, ⟩называется (аддитивным) моноидом, если в A
выполняются указанные ниже аксиомы М1 и М2.
М1.
(a + b) + c = a + (b + c) для любых элементов a, b, c ∈A.
М2.
a = a + 0A = 0A + a для любого элемента a ∈A.
2По приведенному ниже свойству 4 нулевой элемент аддитивного моноида является единственным.
5

Часто также используются не аддитивные, а мультипликативные моноиды A, в которых вместо нулевого элемента 0A выделен единичный
элемент 1A,3 для любых элементов a, b ∈A определен некоторый единственный элемент из A, обозначаемый через a·b (или просто ab) и называемый произведением элементов a и b, причем в A выполняются указанные ниже аксиомы М1' и М2', фактически являющиеся аксиомами
М1 и М2, записанными в другой (мультипликативной) форме. Множество A или, точнее, набор ⟨A, ·, 1A, ⟩называется (мультипликативным)
моноидом, если в A выполняются указанные ниже аксиомы М1 и М2.
М1'.
(a · b) · c = a · (b · c) для любых элементов a, b, c ∈A.
М2'.
a = a · 1A = 1A · a для любого элемента a ∈A.
Ясно, что любым свойствам аддитивных моноидов соответствуют аналогичные свойства мультипликативных моноидов и наоборот. Поэтому
свойства моноидов достаточно доказывать только для аддитивного или
мультипликативного случая.
Аддитивный (соотв., мультипликативный) моноид называется коммутативным, если вдобавоr к аксиомам М1 и М2 (соотв., М1' и М2') выполнена аксиома М3 (соотв., М3').
М3.
a + b = b + a для любых элементов a, b ∈A.
М3'.
a · b = b · a для любых элементов a, b ∈A.
1. Из хорошо известных свойств чисел следует, что упомянутые в 1.1.1
числовые множества R, Z, Q и множество Z≥0 всех неотрицательных целых чисел являются как аддитивными моноидами относительно обычного числового сложения, так и мультипликативными моноидами относительно обычного числового умножения.
2. Множество всех натуральных чисел N является мультипликативным
моноидом относительно обычного умножения, но не является аддитивным моноидом относительно обычного сложения, поскольку не содержит нуля.
3. Множество Z<0 всех отрицательных целых чисел не является ни аддитивным моноидом относительно обычного числового сложения (поскольку не содержит нуля), ни мультипликативным моноидом относительно обычного числового умножения (поскольку, например, произведение (−1)(−1)) не содержится в Z<0).
4. Нулевой (соотв., единичный) элемент аддитивного (соотв., мультипликативного) моноида A является единственным, т.е., если, например,
0A и 0′
A  два нулевых элемента аддитивного моноида A, то из аксиомы
3По приведенному ниже свойству 4 единичный элемент мультипликативного моноида является единственным.
6

М2 следует, что 0′
A = 0′
A + 0A = 0A + 0′
A = 0A.
1.1.4. Группы.
Аддитивный моноид A называется (аддитивной) группой, если для любого элемента a ∈A задан некоторый элемент из A, обозначаемый через
−a и называемый противоположным к a элементом, причем вдобавок к
аксиомам М1 и М2 выполнена аксиома Г1.
Г1.
a + (−a) = (−a) + a = 0A для любого элемента a ∈A.
Аналогично,
мультипликативный
моноид
A
называется
(мультипликативной) группой, если для любого элемента a ∈A задан некоторый элемент из A, обозначаемый через a−1 и называемый
обратным к a элементом, причем вдобавок к аксиомам М1' и М2'
выполнена аксиома Г1'.
Г1'.
a · a−1 = a−1 · a = 1A для любого элемента a ∈A.
Аддитивная (соотв., мультипликативная) группа A называется коммутативной или абелевой группой, если A  коммутативный аддитивный
(соотв., мультипликативный) моноид.
Итак, аддитивная абелева группа  это непустое множество A, где в A
выделен единственный нулевой элемент 0A, для любого элемента a ∈A
задан единственный противоположный элемент −a из A, для любых элементов a, b ∈A определен единственный элемент a+b ∈A, называемый
суммой элементов a и b, причем выполняются указанные ниже аксиомы
АГ1АГ4.
АГ1.
a = a + 0A = 0A + a для любого элемента a ∈A.
АГ2.
(a + b) + c = a + (b + c) для любых элементов a, b, c ∈A.
АГ3.
a + (−a) = (−a) + a = 0A для любого элемента a ∈A.
АГ4.
a + b = b + a для любых элементов a, b ∈A.
Аналогично, мультипликативная абелева группа  это непустое множество A, где в A выделен единственный единичный элемент 1A, для
любого элемента a ∈A задан единственный обратный элемент a−1 из A,
для любых элементов a, b ∈A определен единственный элемент a·b ∈A
(или просто ab ∈A), называемый произведением элементов a и b, причем выполняются указанные ниже аксиомы АГ1'АГ4'.
АГ1'.
a = a · 1A = 1A · a для любого элемента a ∈A.
АГ2'.
(a · b) · c = a · (b · c) для любых элементов a, b, c ∈A.
АГ3'.
a · a−1 = a−1 · a = 1A для любого элемента a ∈A.
АГ4'.
a · b = b · a для любых элементов a, b ∈A.
1. Из хорошо известных свойств чисел вытекает, что числовые множества R, Z, Q являются аддитивными абелевыми группами относительно обычного числового сложения, но не мультипликативными абелевы7

ми группами относительно обычного числового умножения, поскольку
нуль не имеет обратного элемента по умножению.
2. Относительно обычного числового сложения множество Z≥0 всех
неотрицательных целых чисел является аддитивным моноидом, но не
является группой, так как, например,не содержит число −1.
3. Множество R \ 0 (соотв., Q \ 0) всех действительных (соотв., рациональных) ненулевых чисел является мультипликативной группой относительно обычного умножения, но не является аддитивным моноидом
относительно обычного сложения, поскольку не содержит нуля.
1.1.5. Поля и кольца.
Пусть A  непустое множество, содержащее, как минимум, два разных
элемента 0A и 1A, причем для любых элементов a и b единственным
образом определены элементы a + b ∈A и a · b ∈A, называемые суммой
и произведением элементов a и b.
Множество A называется кольцом со сложением +, умножением ·, нулем
0A и единицей 1A, если выполнены аксиомы К1К7:
К1.
a = a + 0A = 0A + a для любого элемента a ∈A.
К2.
(a + b) + c = a + (b + c) для любых элементов a, b, c ∈A.
К3.
a + (−a) = (−a) + a = 0A для любого элемента a ∈A.
К4.
a + b = b + a для любых элементов a, b ∈A.
К5.
(a · b) · c = a · (b · c) для любых элементов a, b, c ∈A.
К6.
a = a · 1A = 1A · a для любого элемента a ∈A.
К7.
(a + b)c = a + b, c(a + b) = ca + b для любых элементов a, b, c ∈A.
Кольцо A называется коммутативным, если в A, в дополнение к приведенным выше аксиомам К1К7 выполняется следующая аксиома:
К8.
ab = ba для любых элементов a, b ∈A.
Заметим, что выполнение аксиом К1К4 означает, что A  аддитивная
абелева группа относительно сложения + с нулем 0A, выполнение аксиом К5К6 ознчает, что A  мультипликативный моноид относительно
умножения · с единицей 1A, а выполнение аксиомы К7 связывает между собой операции сложения и умножения. Аксиома К8 означает, что
мультипликативный моноид A коммутативен.
Коммутативное кольцо A называется полем, если множество F ∗= F \0
всех его ненулевых элементов является группой, т.е. для любого ненулевого элемента a ∈F существует такой элемент a−1 ∈A∗(называемый
обратным к a), что aa−1 = a−1a = 1A.
1. Из известных свойств чисел вытекает, что числовые множества R и
Q являются полями.
2. Из 1.1.2 вытекает, что множество C всех комплексных чисел является
8

полем относительно определенных в 1.1.2 сложения и умножения.
3. Кольцо целых чисел. Из известных свойств чисел вытекает, что
целые числа Z образуют коммутативное кольцо, не являющееся полем.
Например, ненулевой элемент 2 не имеет обратного элемента по умножению в Z.
4. Четные целые числа. Множество 2Z всех целых чисел является
аддитивной абелевой группой, в которой все аксимы коммутативного
кольца кроме одной  аксиомы К6. Поэтому 2Z не является кольцом в
смысле нашего определения кольца.4
5. Множество R[x] всех многочленов от одной переменной x с обычными
операциями сложения и умножения многочленов является коммутативным кольцом, но не является полем.
Если n  натуральное число, то множество (R[x])≤n всех многочленов
степени ≤n из R[x] является аддитивной абелевой группой, но не является кольцом, поскольку произведение двух многочленов степени n ≥1
имеет степень 2n > n. Заметим, что в 5 вместо R можно подставить
любое поле F.
6. Кольца и поля характеристики 0. Говорят, что кольцо A  кольцо
характеристики 0 или кольцо нулевой характеристики (пишут char A = 0),
если для любого натурального числа n сумма n экземпляров единицы
1A не равна нулю 0A.
Если F  поле характеристики 0, то можно без ограничения общности
считать, что поле F содержит поле Q всех рациональных чисел, единицы полей F и Q совпадают, причем операции поля F при действии в
Q совпадают с обычными арифметическими операциями в Q. При этом
рациональные числа m/n, где m ∈Z и 0 ̸= n ∈Z, отождествляются с
элементами (m · 1A)(n · 1F )−1 поля F.
Поля R, Q, C рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно являются примерами полей характеристики 0.
7. Кольца положительной характеристики n ∈N и кольца вычетов Z/nZ по модулю n. Пусть A  кольцо и n  натуральное
число ≥2. Говорят, что кольцо A  кольцо характеристики n (пишут
char A = n), если сумма n экземпляров единицы 1A равна нулю 0A и
сумма k экземпляров 1A не равна 0A при k < n.
Для любого целого числа m ≥0 обозначим через [m] остаток от деления
m на n. Такие остатки еще называются вычетами по модулю n. Для отрицательных чисел −m будем по определению считать, что [−m] = −[m].
4В некоторых источниках в определении кольца не требуют наличия единицы по
умножению. Поэтому в таких источниках 2Z является кольцом.
9

Через Z/nZ обозначается конечное множество всех таких остатков, состоящее из n чисел 0, 1, . . . , n−1. Заметим, что для любых целых чисел
x, y ∈Z равенство [x] = [y] равносильно тому, что число x −y нацело
делится на n. В частности, равенство [x] = [0] равносильно тому, что x
нацело делится на n.
Зададим на множестве Z/nZ операции "сложения"⊕и "умножения"⊙
по правилу [x] ⊕[y] = [x + y] и [x] ⊙[y] = [x · y], где + и ·  обычные
сложение и умножение целых чисел. Достаточно рутинная проверка, основанная на том, что каждое натуральное число m ≥2 единственным
образом разложимо в произведение степеней разных простых чисел,
показывает, что множество Z/nZ является конечным коммутативным
кольцом с операциями сложения ⊕и умножения ⊙, причем нулевым и
единичным элементами этого кольца являются вычеты [0] и [1]. Противоположным элементом для вычета [m] является вычет [n −m].
Кольцо вычетов Z/nZ  кольцо характеристики k > 0, где k  делитель
числа n, равный произведению всех разных простых5 делителей числа n.
Так как сумма n экземпляров единицы [1] этого кольца равна [n] = [0],
то Z/nZ  кольцо некоторой характеристики k > 0, k ≤n, [k] = [0] и
[y] ̸= [0] для любого ненулевого y ∈N с условием y < k. Если k = n, то
k  делитель числа n.
Допустим, что k < n и k  неделитель n. Поделив n на k с остатком,
получаем n = kx + y, где x, y ∈N и 0 < y < k. Тогда [y] = [n −ky] =
[n] −[ky] = [0]. Так как [y] ̸= [0], получено противоречие.
Мы показали, что k  делитель числа n. Доказательство того, что k 
произведение всех различных простых делителей числа n, оставляется
читателю.
8. Если x и y  ненулевые элементы поля F, то xy ̸= 0.
Допустим, что xy = 0. Так как F  поле, то его ненулевой элемент y
имеет обратный элемент y−1. Тогда
x = x1 = x(yy−1) = (xy)y−1 = 0y−1 = 0
и получаем противоречие.
9. Поля положительной характеристики и поля вычетов по модулю простого числа p ∈N.
Если F  поле характеристики p > 0, то p  простое число.
Допустим противное. Тогда p = xy, где 2 ≤x, y < p. Из определения характеристики следует, что [x] ̸= [0] и [y] ̸= [0]. Но [x][y] = [xy] = [p] = [0],
что противоречит 7.
5Напомним, что натуральное число p называется простым, если p не делится ни
на какое натуральное число q с условием 1 < q < p.
10