Линейные пространства и линейные отображения

М.И. Скворцова, И.В. Антонова,
А.Г. Ратнов, Е.В. Соломонова 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Учебное пособие

Москва

Издательство «ФЛИНТА»
2019

УДК 512.64(075.8)
ББК  22.143я73
        С42

А в т о р с к и й   к о л л е к т и в: 
Скворцова Мария Ивановна, Антонова Ирина Викторовна,
Ратнов Александр Григорьевич, Соломонова Екатерина Валерьевна

Р е ц е н з е н т ы: 
канд. физ.-мат. наук, доцент Математического института 
им. С.М. Никольского РУДН  А.В. Краснослободцев,
канд. техн. наук, доцент кафедры управления бизнес-процессами
ИОМ РАНХиГС  А.Р. Урубков

С42          

Скворцова М.И.
Линейные  пространства  и  линейные  отображения [Электронный 
ресурс]:  учеб. пособие / М.И. Скворцова, И.В. Антонова, А.Г. Ратнов, 
Е.В. Соломонова. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 108 с.

ISBN 978-5-9765-4084-2

В учебном пособии кратко изложены основы теории и приведены соответствующие иллюстративные примеры по таким разделам линейной 
алгебры как теория линейных пространств и теория линейных операторов 
в линейных пространствах. Кроме того в пособии даны задачи для 
самостоятельного решения (с ответами и методическими указаниями).
Для студентов-бакалавров всех профилей, обучающихся по направлениям подготовки 04.03.01 «Химия», 18.03.01 «Химическая технология», 19.03.01 «Биотехнология», 20.03.01 «Техносферная безопасность»,
22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 27.03.01 «Стандартизация и метрология», изучающих дисциплину «Математика» или 
дисциплину «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

УДК 512.64(075.8)
ББК  22.143я73

ISBN 978-5-9765-4084-2
© Скворцова М.И., Антонова И.В.,
Ратнов А.Г., Соломонова Е.В., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

........................................................................................... 5 
 
1. .............................................................. 9 
   1.1................................... 9 
   1.2. ........................................ 11 
   1.3. 
................................................................... 16 
   1.4. ............ 18 
   1.5. ............................. 20 
 
2. () ................................................................... 26 
   2.1. () 
.................................. 26 
   2.2. ................................ 27 
 
3. ........................ 31 
   3.1. ................................................................... 31 

   3.2. ............................................. 32 
   3.3. 
.............................................................................. 33 
   3.4. 
................................................................... 35 
   3.5. ................................. 36 
   3.6. ............................................................................... 37 
   3.7. ............................. 53 

4. () ..................... 67 
   4.1. 
() ...................................................................... 67 
   4.2. ........... 67 
   4.3. ............................ 69 
   4.4. ............................................................................... 71 
   4.5. .................................. 78 
   4.6. 
........................................................................ 85 
   4.7. ............................. 96 
 
...................................................................... 104 
 
 

 

 
 

Введение 

 

  В настоящем учебном пособии  приведены основные 

теоретические 
сведения 
и 
даны 
соответствующие 

иллюстративные примеры по таким традиционным разделам 

линейной алгебры как теория линейных пространств и теория 

линейных операторов в линейных пространствах. Кроме того, 

приведены задачи для самостоятельного решения (с ответами и 

методическими указаниями). 

 Вышеуказанные разделы математики обычно изучаются 

студентами бакалавриата технических вузов на 1-ом курсе во 2
м семестре в рамках отдельной дисциплины «Линейная алгебра 

и 
аналитическая 
геометрия». 
Однако, 
для 
некоторых 

направлений бакалавриата они могут изучаться и в рамках 

одной дисциплины с общим названием «Математика», наряду с 

другими 
классическими 
разделами 
высшей 
математики 

(математическим анализом, дифференциальными уравнениями, 

теорией вероятности и т.д.), при этом в довольно сжатом и 

упрощенном виде. Например, такой подход реализуется для 

направлений 
бакалавриата 
04.03.01 
«Химия», 
18.03.01 

«Химическая технология», 19.03.01 «Биотехнология», 20.03.01 

«Техносферная безопасность» в Институте тонких химических 

технологий им. М.В. Ломоносова в РТУ МИРЭА.  

 Следует отметить, что, как правило, материал по  темам 

«Линейные пространства» и «Линейные операторы в линейных 

пространствах»  воспринимается студентами с некоторыми 

затруднениями. Это обусловлено, в частности, довольно 

высоким уровнем абстрактности изучаемых понятий, а также 

их новизной для студентов (в отличие, например, от основ 

дифференциального исчисления, изучаемых в школе). Другая 

причина - особенности терминологии и обозначений, принятых 

в этих разделах, иногда не соответствующих тем определениям 

и обозначениям, которые изучались ранее и стали привычными. 

Например, операции в линейных пространствах, называемые 

«сложением элементов» и «умножением элемента на число» в 

конкретных реальных пространствах могут быть совсем не 

похожи на  привычные операции сложения и умножения чисел, 

а элементы линейного пространства, называемые иногда 

векторами, могут встречаться ранее совсем под другими 

названиями  и быть совсем не похожими на векторы (например, 

это могут быть матрицы, функции и т.д.). Кроме того, термины 

«пространство» 
и 
«оператор», 
очевидно, 
неоднократно 

встречались ранее студентам и в бытовом смысле.    

  Однако, изучение этих разделов математики (хотя бы в 

минимальном 
объеме) 
представляется 
необходимым 
для 

студентов нематематических специальностей. Так, например, 

собственные числа  и собственные векторы линейных 

операторов (или матриц) играют большую роль во многих 

других разделах математики и имеют многочисленные 

приложения. Например, собственные числа и собственные 

векторы используются в квантовой химии (они связаны с 

оператором 
Шредингера), 
в 
 
экономико-математических 

задачах, в спектральной теории графов (которая, в свою 

очередь, тесно связана с теоретической химией), в некоторых 

методах 
оптимизации. 
Кроме 
того, 
методы 
решения 

обыкновенных дифференциальных уравнений или систем 

дифференциальных уравнений специального вида основаны на 

собственных числах определенных матриц. Собственные числа 

и собственные векторы матриц находят приложение и в так 

называемом методе главных компонент – одном из основных 

способов изменения размерности большого массива данных с 

наименьшими потерями информации, и т.д.  

 Следует 
отметить 
и 
такой 
момент: 
изучение 

вышеуказанных абстрактных разделов линейной алгебры 

облегчает в дальнейшем  изучение такой математической 

дисциплины 
как 
«Основы 
теории 
групп», 
имеющей  

многочисленные 
приложения 
в 
химии 
и 
физике 

(преподаваемой в Институте тонких химических технологий 

имени М.В. Ломоносова РТУ МИРЭА студентами ряда 

направлений бакалавриата). 

 В настоящем учебном пособии содержится минимальный 

теоретический материал по вышеуказанным разделам алгебры, 

все утверждения и формулы приведены без доказательств. 

Подробные доказательства и дополнительные сведения в 

случае необходимости можно найти, например, в [1-8]. 

Основные цели пособия – ознакомить студентов с базовыми 

понятиями, определениями, обозначениями, теоретическими 

фактами в этих областях, а также обучить их решать 

соответствующие типовые задачи.  

Учебное пособие предназначено для студентов всех 

профилей таких направлений бакалавриата как 04.03.01 

«Химия», 
18.03.01 
«Химическая 
технология», 
19.03.01 

«Биотехнология», 
20.03.01 
«Техносферная 
безопасность», 

27.03.01 
«Стандартизация 
и 
метрология», 
22.03.01 

«Материаловедение и технологии материалов». 

1.  Линейные пространства 

 

1.1. 
 Определение линейного пространства 

 

   Определение 1.1. Линейным пространством называется 

множество L математических объектов произвольной природы, 

для которых определены операции сложения (т.е. каждой паре 

элементов поставлен в соответствие по некоторому 

правилу единственный элемент ) и умножения    

(т.е. каждому элементу и каждому числу поставлен 

в соответствие по некоторому правилу единственный элемент 

). 

   Эти 
операции 
должны 
удовлетворять 
следующим 

условиям, называемым аксиомами линейного пространства: 

1) для  ; 

2) для ; 

3) в существует единственный элемент, называемый нулевым 

элементом, обозначаемый символом O, такой, что 
для любого ; 
 

4) для любого существует единственный элемент, 

называемый противоположным к и обозначаемый символом 

, такой, что   ; 

5) , ; 

6)  ; 

7)  ; 

8)        . 

 
Следствия (из определения линейного пространства). 

1) 
Нулевой 
элемент 
в 
линейном 
пространстве 
L 

единственный. 

2) 
Противоположный 
элемент 
для 
любого 
 

единственный. 

3) Для любого  элемент является 

противоположным к  ,  т.е.     . 

4) В линейном пространстве L можно определить разность 

элементов   
. 

 

Замечания 1.1. 

 
1) Для того чтобы некоторое множество было бы линейным 

пространством, необходимо, чтобы на нем были определены 

две вышеуказанные операции, применимые ко всем элементам 

этого множества; при этом результат выполнения этих