Высшая математика. Функции нескольких переменных и несобственные интегралы. Теория и задачи
Покупка
Тематика:
Основы высшей математики
Издательство:
ФЛИНТА
Автор:
Туганбаев Аскар Аканович
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 120
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9765-4253-2
Артикул: 774947.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебннка и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность и производные функций нескольких переменных, дифференциалы и частные производные высших порядков функций нескольких переменных, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, несобственные интегралы.
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
А.А. Туганбаев ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Теория и задачи Учебник Москва Издательство «ФЛИНТА» 2019
УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Т81 Т81 Туганбаев А.А. Высшая математика. Функции нескольких переменных и несобственные интегралы. Теория и задачи [Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 120 с. ISBN 978-5-9765-4253-2 Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность и производные функций нескольких переменных, дифференциалы и частные производные высших порядков функций нескольких переменных, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, несобственные интегралы. Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений. УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 ISBN 978-5-9765-4253-2 © Туганбаев А.А., 2019 © Издательство «ФЛИНТА», 2019
4 1.1 . . . . . . . . 4 1.2 . . . . . . . . . . 7 1.3 . . . . . . 13 2 14 2.1 . . . . . . . . . . . 14 2.2 . . . . . . 17 2.3 . . . . . . 23 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 45 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 56 4.1 . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 . . . . . . . 69 5 76 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6 108 6.1 . . . . . . . . . . . . 108 6.2 . . . . . . . . . . . 114 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3
1.1 1.1.1. Rn . n x1, . . . , xn n-Rn; Rn x1, . . . , xn M(x1; . . . ; xn), n Rn. Oxyz (., Oxyz; Ox) x, y, z, , R3 = Oxyz, R2 = Oxy R1 = Ox = R. R2 R3, n = 1 y = f(x), n > 3 n = 2, 3. M(x1; . . . ; xn) N(y1; . . . ; yn) Rn √ (y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 ρ(M, N). , ρ(M, N) = ρ(N, M), M N , ρ(M, N) = 0. 1.1.2. Rn, R2 R3. δ > 0, M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn δ(M0) M ∈ Rn, δ M0, .. δ(M0) = {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn | √ (y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 < δ}. δ(M0) δ-M0 M. ˙δ(M0) = δ(M0) \ M0, M0 δ(M0) δ-M0 M0. δ(M0) δ M0. {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn | √ (y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 = δ} n-δ M0; δ(M0), n-δ M0. n = 2 (., n = 3) , δ(M0) (., ) δ M0, δ(M0) (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 (., (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ2), 4
δ-˙δ(M0) M0 0 < (x−x0)2+(y−y0)2 < δ2 (., 0 < (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 < δ2). 1.1.2(1), 1.1.2(2) 1.1.2(3) δ-˙δ(M0) n = 1, 2, 3, , . . 1.1.2(1) . 1.1.2(2) . 1.1.2(3) 1.1.3. Rn. . D Rn M D . Mvn D, D M. Mgr D, Rn , , D. . 1.1.3 D , D M. , . D , . 5
, () {(x, y) | x2 + y2 < R2} () {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2} (0; 0) R R2. {(x, y) | x2 + y2 = R2}, . 1.1.4. Rn. Rn , x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t), x1(t), x2(t), . . . , xn(t) . D Rn. D , , D. , R2 D1 = {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 4} . 1.1.4(1) , D2 = {(x, y) | (x − 2)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y) | (x + 2)2 + y2 < 1} . 1.1.4(2) . M1 , M2 , , D. . 1.1.4(1) . 1.1.4(2) . . 6
, D1 , D2 , . D Rn, Rn , D, .. Rn δ-M0, D ⊂ δ(M0). D1 D1 . R2 {(x, y) | y ≥ 0} R2. 1.2 1.2.1. . D Rn, M(x1; x2; . . . ; xn). f : D → R, M D u, n D = D(f) u = f(x1, x2, . . . , xn) u = f(M). u u = f(M). n ≥ 2 u = f(M) , .., . n = 1 y = f(x) () x. 1.2.2. . , . , , . z = f(x, y) u = f(x, y, z) z = f(x1, x2) u = f(x1, x2, x3). (x, y) (x, y, z) M Oxy Oxyz. , f(x, y) f(x, y, z) M D Oxy Oxyz . , V x, y z u = f(x, y, z) = xyz, D: x > 0, y > 0, z > 0. 1.2.3. . z = f(x, y) () , . , z = f(x, y) f(x, y). (x; y) z 7
(. 1.2.3). , , , , z = C, f(x, y) = C, C ∈ R. . . 1.2.3 1.2.4. . z = x2 + y2. , C < 0 z = f(x, y) . cC0 O(0; 0; 0). C = 1 x2 + y2 = 1 1 . z = f(x, y) z = 1 x2 + y2 = 1, 1. z = 4 x2 + y2 = 4, z = 4 2, .. z = x2 + y2 x = 0, z = y2 yOz. . 1.2.4. . 1.2.4 1.2.5. . z = √ 1 − x2 a2 − y2 b2 . ▹ x y, 1 − x2 a2 − y2 b2 , .. 8
− x2 a2 − y2 b2 ≥ 0 x2 a2 + y2 b2 ≤ 1. x2 a2 + y2 b2 = 1 , , (. . 1.2.5). ◃ . 1.2.5 1.2.6. . z = ln(y2−4x+8). ▹ z = ln(y2 − 4x + 8) (x; y), y2 − 4x + 8 > 0. , y2 = 4x − 8 (2; 0). 02 − 4 · 0 + 8 > 0, (0; 0) . (3; 0), , , 02 − 4 · 3 + 8 < 0. y2 − 4x + 8 0, .. , y2 − 4x + 8 < 0 > 0 . , , y2 = 4x − 8 (. . 1.2.6). ◃ . 1.2.6 1.2.7. . D = {(x; y; z)} 0xyz 9
u = f(x, y, z) x, y, z, D, D f(x, y, z), x, y, z f(x, y, z). f(x, y, z) f(x, y, z) = C = const, (, , ). 1.2.8. . u = √ R2 − x2 − y2 − z2 + 1 √ x2 + y2 + z2 − r2 R > r , x2+y2+z2 = ρ2 , x2 + y2 + z2 = R2. ▹ { R2 − x2 − y2 − z2 ≥ 0 x2 + y2 + z2 − r2 > 0 { x2 + y2 + z2 ≤ R2 x2 + y2 + z2 > r2 . , r2 < x2 + y2 + z2 ≤ R2, r R. , x2 + y2 + z2 = ρ2 = const u = √ R2 − ρ2 + 1 √ ρ2 − r2 . , x2 + y2 + z2 = ρ2 r < ρ ≤ R u = u(x, y, z). u(ρ) = √ R2 − ρ2 + 1 √ ρ2 − r2 (r, R]. u′(ρ) = − ρ √ R2 − ρ2 − ρ √ (ρ2 − r2)3 = −ρ ( 1 √ R2 − ρ2 + 1 √ (ρ2 − r2)3 ) . 0 < r < ρ ≤ R u′(ρ) < 0, , u(ρ) ρ . u(ρ) ρ = R, .. x2 + y2 + z2 = R2. 1.2.9. . 1. . .. f(M) M0 ∈ Rn. A f(M) M → M0, ε > 0 δ > 0, |f(M) − A| ≤ ε 10
M ∈ ˙δ(M0). lim M→M0 f(M) = A. , , M M0. n = 2 M0 = M0(x0; y0) lim M→M0 f(M) = A lim x→x0 y→y0 f(M) = A. ρ, θ, M0(x0, y0) Ox. x − x0 = ρ cos θ, y − y0 = ρ sin θ lim x→x0 y→y0 f(x, y) = lim ρ→0 f(x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ). 1.2.9(1) x, y ρ, (1.2.9(1)) θ, , lim x→x0 y→y0 f(x, y) . . 1.2.9(1) . 1.2.9(2) 2. . M0 D .. f(M). M0 , f(M) . f(M) M0 : A f(M) M → M0, ε > 0 δ > 0, |f(M) − A| ≤ ε M ∈ D ∩ ˙δ(M0). lim M→M0 f(M) = A. 11
Доступ онлайн
В корзину