Высшая математика. Кратные интегралы. Теория и задачи

А.А. Туганбаев 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Теория и задачи

Учебник

Москва

Издательство «ФЛИНТА»

2019

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Т81 

Т81

Туганбаев А.А. 
 Высшая математика. Кратные интегралы. Теория и задачи 
[Электронный ресурс] : учебник / А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 
2019. — 123 с.

ISBN 978-5-9765-4252-5 

Книга соответствует программам курсов высшей математики
для 

студентов различных нематематических специальностей и может выполнять 
функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по 
важнейшим темам высшей математики: двойные и тройные интегралы, замена 
переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных 
и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, 
сферических и обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, 
физические приложения двойных и тройных интегралов.

Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших 

учебных заведений.

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73 

ISBN 978-5-9765-4252-5     
© Туганбаев А.А., 2019 
 © Издательство «ФЛИНТА», 2019 

4

1.1
. . . . . . . . . . . . .
4

1.2
. . . . . . . .
6

1.3
. . . . . . . . . .
13

1.4
. . . . . . . . .
16

1.5
.
25

1.6
. . . . . . . .
28

2
35

2.1
. . . . . . . . . . . . .
35

2.2
. . . . . . . .
38

2.3
. . . . . . . . . .
47

2.4
. . . . . . . .
52

2.5
. . . . . . . . . . . .
58

2.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

2.7
. . . . . . . .
62

3
69

3.1
. . . . . . . . . . . . . . . .
69

3.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

3.3
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

3

1.1
1.1.1. .
D (.. ), D , M D f(M)
(f(x, y), M x, y).

D n Dk
∆Sk, k = 1, . . . , n. Dk Mk n
∑

k=1
f(Mk)∆Sk.

f(M) D Dk Mk.

dk, ρ(P, Q) P Q , Dk, dk =
sup
P,Q∈Dk
ρ(P, Q).

d = max
1≤k≤n .

1.1.2. .
I f(M) D, ε > 0, δ > 0, I −

n
∑

k=1
f(Mk)∆Sk

D d < δ Mk.

f(M) D, I I =
∫∫

D

f(M)ds, ∫∫

D

f(M)ds = lim
d→0

n
∑

k=1
f(Mk)∆Sk,

, , D Dk Mk Dk.

4

Oxy ds = dx dy ∫∫

D

f(M)dV =
∫∫

D

f(M) dx dy, D
, .

1.1.3. .
f(M) (.. ) D.
f(M) D, D D, f(M) D.

1.1.3 .

1.1.4. .
, .

1. . f(M) g(M) D α, β , α f(M) + β g(M) D ∫∫

D

[α f(M) + β g(M)]ds = α
∫∫

D

f(M) + β
∫∫

D

g(M)ds.

2. . D D1 D2, , D . D1 D2 , ∫∫

D

f(M)ds =
∫∫

D1

f(M) +
∫∫

D2

f(M)ds.

3. . f(M) g(M) D f(M) ≤ g(M) M ∈ D, ∫∫

D

f(M)ds ≤
∫∫

D

g(M)ds.

4. . f(M) D, |f(M)| D ∫∫

D

f(M)ds

≤
∫∫

D

|f(M)|ds.

5

5. . f(M) D A ≤ f(M) ≤ B, AS ≤
∫∫

D

f(M)ds ≤ BS.

S D.

6. . f(M) , , , D S, D M0, ∫∫

D

f(M)ds = f(M0)S.

7. . S D f(M) ≡ 1, ∫∫

D

1 dV =
∫∫∫

D

ds = S.

8. . M D µ = µ(M) ≥ 0 D, ∫∫

D

ds = M.

1.2
1.2.1. .
Π Oxy.
D Π Oy, [a, b] ⊂ Ox y = y1(x) y = y2(x),
D (x; y) ∈ Π, a ≤ x ≤ b y1(x) ≤ y ≤ y2(x) (. . 1.2.1).
D I =

b
∫

a
dx

y2(x)
∫

y1(x)

f(x, y)dy =

b
∫

a

y2(x)
∫

y1(x)

f(x, y)dy

dx
(1.2.1(1))

F(x, y) f(x, y) y
(
.. ∂F(x, y)

∂y
= f(x, y)
)
).

I , x :

y2(x)
∫

y1(x)

f(x, y)dy = F(x, y)

y2(x)

y1(x)
= F(x, y2(x)) − F(x, y1(x)) = G(x).

6

I =

b
∫

a
G(x)dx.

D Π Ox, [c, d] ⊂ Oy x = x1(y)
x = x2(y), D (x; y) ∈ Π, c ≤ y ≤ d x1(y) ≤ x ≤ x2(y) (. . 1.2.1). D I =

d
∫

c
dy

x2(y)
∫

x1(y)

f(x, y)dx =

d
∫

c

x2(y)
∫

x1(y)

f(x, y)dx

dy
(1.2.1(2))

F(x, y) f(x, y) x
(
.. ∂F(x, y)

∂x
= f(x, y)
)
).

I , y :

x2(y)
∫

x1(y)

f(x, y)dx = F(x, y)

x2(y)

x1(y)
= F(x2(y), y) − F(x1(y), y) = H(y).

I =

d
∫

c
H(y)dy.

1.2.2. .
f(x, y) D ⊂ Oxy.

1. D = {(x; y)): a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}, y1(x) y2(x) [a, b] x ∈ [a, b] y2(x)
∫

y1(x)

f(x, y)dy, (1.2.1(1)), ∫∫

D

f(M)ds =
∫∫

D

f(x, y)dx dy =

b
∫

a
dx

y2(x)
∫

y1(x)

f(x, y)dy
(1.2.2(1))

2. D = {(x; y)): c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}, x1(y)
x2(e) [c, s] y ∈ [c, d] 7

x2(y)
∫

x1(y)

f(x, y)dx, (1.2.1(2)), ∫∫

D

f(M)ds =
∫∫

D

f(x, y)dx dy =

d
∫

c
dy

x2(y)
∫

x1(y)

f(x, y)dx
(1.2.2(2))

ds = dx dy , , D , .

1.2.3. , 1.2.2(1)) 1.2.2(2)).

1.2.4. . ∫∫

D

xy dx dy, D x + 2y − 2 = 0, x = 0, y = 0.

▹ D (0; 0), (2; 0) (0; 1); . . 1.2.4().

. 1.2.4()
. 1.2.4()

. 1.2.4()

D
D =
{
(x; y): 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1

2

}

8

(. . 1.2.4()). (1.2.2(1))

∫∫

D

xy dx dy =

2
∫

0
dx

1−x/2
∫

0
xy dy =

2
∫

0
xy2

2

y=1−x/2

y=0
dx =

= 1

2

2
∫

0
x
(
1 − x + x2

4

)
dx = 1

2

(x2

2 − x3

3 + x4

16

) 2

0
= 1

6.

.
D
D = {(x; y): 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2 − 2y}; . . 1.2.4(). (1.2.2(2)) ∫∫

D

xy dx dy =

1
∫

0
dy

2−2y
∫

0
xy dx =

1
∫

0
y x2

2

x=2−2y

x=0
dy =

= 1

2

1
∫

0
y(4 − 8y + 4y2) dy = 2
(y2

2 − 2y3

3
+ y4

4

) 1

0
= 1

6. ◃

1.2.5. . ∫∫

D

xy dx dy, D x2 − y = 0 x − y + 2 = 0.

▹
(−1; 1)
(2; 4);
.
.
1.2.5().
D
D = {(x; y): − 1 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ x + 2}; . . 1.2.5():

. 1.2.5()
. 1.2.5()
. 1.2.5()

9

(1.2.2(1))

∫∫

D

xy dx dy =

2
∫

−1
dx

x+2
∫

x2
xy dy =

2
∫

−1
xy2

2

y=x+2

y=x2
dx =

= 1

2

2
∫

−1
x((x + 2)2 − x4) dx = 1

2

(x4

4 + 4x3

3
+ 2x2 − x6

6

) 2

−1
= 45

8 .

. D Ox, ((1.2.2(2)) , , (. . 1.2.5(): x1(y) =

{
−√y
0 ≤ y ≤ 1,
y − 2
1 ≤ y ≤ 1.
D y = 1 D1 D2
:

∫∫

D

xy dx dy =
∫∫

D1

xy dx dy +
∫∫

D2

xy dx dy =

1
∫

0
dy

√y
∫

−√y

xy dx+

+

4
∫

1
dy

√y
∫

y−2
xy dx =

1
∫

0
y x2

2

x=√y

x=−√y
dy +

4
∫

1
y x2

2

x=√y

x=y−2
dy =

=

1
∫

0
y · 0 dy + 1

2

4
∫

1
y(y − (y − 2)2) dy = 1

2

(5y3

3
− y4

4 − 2y2
) 4

1
= 45

8 . ◃

, . ◃

1.2.6. . ∫∫

D

xy dx dy,

D  x2 + y2 − 2y = 0 x + y = 0 (x + y ≥ 0).

▹ . , x2+y2−2y = 0 x2+(y−1)2 = 1. x = −y x2 + y2 − 2y = 0, (−1; 1)
(0; 0); . . 1.2.6().

10

. 1.2.6()
. 1.2.6()

. 1.2.6()

y, x, D x = 0; . . 1.2.6(). ∫∫

D

xy dx dy =

0
∫

−1
dx

1+
√

1−x2
∫

−x
xy dy +

1
∫

0
dx

1+
√

1−x2
∫

1−
√

1−x2
xy dy =

= 1

2

0
∫

−1
x((1 +
√

1 − x2)2 − x2) dx+

+1

2

0
∫

−1
x((1 +
√

1 − x2)2 − (1 −
√

1 − x2)2) dx =

= 1

2

(
x2 − x4

2 − 2(1 − x2)3/2

3

) 0

−1
− 2(1 − x2)3/2

3

1

0
= 1

12. ◃

, D y = 1; . . 1.2.6(). ∫∫

D

xy dx dy =

1
∫

0

√

2y−y2
∫

−y
xy dx

dy +

2
∫

1

√

2y−y2
∫

−√

2y−y2

xy dx

dy =

= 1

2

1
∫

0
y(2y − y2) dy + 1

2

2
∫

1
y · 0 dx = 1

2

(y3

3 − y4

2

) 1

0
= 1

12.

11