Элементарная математика Часть 3. Тригонометрия

Глава I 

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 

Часть 3. 

ТРИГОНОМЕТРИЯ 

Учебное пособие

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019

Глава I 

2 

УДК 511.1 
ББК 22.1 

    Е 59 

Рецензенты: 
Масина Ольга Николаевна – доктор физико-математических наук, 
профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий (Елецкий государственный университет им. И. А. 
Бунина, Елец). 
Томилова Анна Евгеньевна  – кандидат педагогических наук, доцент 
кафедры экспериментальной математики и информатизации образования 
(ФГАОУ ВО Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. 
Ломоносова) 

Ельчанинова Г.Г.
Элементарная математика Часть 3. Тригонометрия [Электронный 
ресурс] : учебное пособие./ Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. — 2-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 101 с.

ISBN 978-5-9765-4113-9 (Ч. 3) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий)

Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в написании курсовой и выпускной квалификационной работы.  
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и техники. 
Данное издание может полезно преподавателям вузов, а также использоваться учителями средних школ для разработки элективных курсов. 

УДК 511.1 
ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-4113-9 (Ч. 3) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий)

© Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

Е 59

Глава I 

3 

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 
ОСТРОГО И ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛОВ 

§ 1.1. Углы

Напомним следующие определения из школьного курса геометрии: 
Два луча, выходящие из одной точки, образуют фигуру, которая называется углом. 
Угол называется острым, если его градусная мера заключена между 
значениями 0◦ и 90◦. 
Угол является прямым, если он равен 90◦. 
Угол называется тупым, если его градусная мера заключена между 90◦ 
и 180◦. 
Угол называется развернутым, если он равен 180◦. 

Пока мы будем рассматривать только такие углы, так как сначала мы 
будем давать определения тригонометрических величин, исходя из понятия «треугольник», одним из компонентов этой простейшей геометрической является угол. 

§ 1.2.Тригонометрические функции острого угла

Рассмотрим 
прямоугольный 
треугольник ABC (Рис. 1.2.1) и введём обозначения: AB=c, BC=a, AC=b. 
Напомним, что если в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, то 
катет, лежащий напротив этого угла, называется противолежащим катетом, а катет, 
являющийся одной из сторон угла, называют прилежащим катетом. 
Тригонометрические функции острого угла ( или  ) 
Синусом острого угла прямоугольного 
треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.  

Пишут: 
a
sin
= c

или
b
sin
= c

. 

Глава I 
 

 

4 
 

Косинусом  острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.  

Пишут: 
b
cos
= c

 или 
a
cos
= c

.  

Ясно, что при этом выполняется равенство
90




 (сумма острых 
углов 
прямоугольного 
треугольника 
равна 
90◦), 
то, 
очевидно, 

sin =cos

 , а также cos =sin

 . 
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.  

Пишут: 
a
tg
= b

 или 
b
tg
= a

. 

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется 
отношение прилежащего катета к противолежащему катету.  

Пишут: 
b
ctg
= a

 или 
a
ctg
= b

.  

Очевидно, что имеют место равенстваtg
=ctg

 , а также 

ctg =tg

 . 
Кроме введённых четырёх тригонометрических функций (их называют основными тригонометрическими функциями) можно рассмотреть 
ещё две функции секанс и косеканс. 
Секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету.  

Пишут: 
c
sec
=b

 или 
c
sec
= a

.  

Косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к противолежащему катету.  

Пишут: 
c
cosec
= a

 или 
c
cosec
=b

. 

Из определений тригонометрических функций следует, что:  

sin
cos
tg
=



,
(1.2.1)

cos
sin
ctg
=



.
(1.2.2)

Далее можем получить формулы, выражающие связь тангенса и котангенса одного и того же острого угла прямоугольного треугольника: 

cos
sin

sin
1
1
cos
ctg
tg
=









,
(1.2.3)

Глава I 

 

5 
 

sin
cos

cos
1
1
sin
tg
ctg
=









.
(1.2.4)

 Из формул (1.2.3) и (1.2.4) непосредственно вытекает формула 

ctg
tg
=1



.
(1.2.5)

Далее применим к треугольнику ABC теорему Пифагора. Имеем равенство 

2
2
2
a
b
c


. 
Разделим обе его части на 

2c . Получим 

2
2

2
2
1
a
b
c
c

 . 

Так как a=sin
c
  и b=cos
c
 , то последнее равенство можно пере
писать в виде 





2
2
1
sin
cos




 
или 

2
2
1
sin
cos




.
(1.2.6)

Равенство (1.2.6) называют основным тригонометрическим тож
деством. 

Разделим обе части основного тригонометрического тождества на  

2
cos   и 

2
sin   соответственно, получим такие формулы: 

2
2
1
1
tg
cos



 ,
(1.2.7)

2
2
1
1
ctg
sin



 .
(1.2.8)

Легко заметить, что функция секанс непосредственно связана с косинусом, а функция косеканс – с синусом следующими соотношениями: 

1
sec
cos


 ,
(1.2.9)

1
cosec
sin


 .
(1.2.10)

Используя соотношения (1.2.9) и (1.2.10) формулы (1.2.7) и (1.2.8) 
можно соответственно переписать в виде: 

2
2
1
tg
sec



 ,
(1.2.11)

2
2
1 ctg
cosec



 .
(1.2.12)

Отметим, что две последние формулы можно переписать в ином виде, роднящем их с основным тригонометрическим тождеством: 

2
2
1
sec
tg 



,
(1.2.11*)

2
2
1
cosec
ctg




.
(1.2.12*)

Глава I 
 

 

6 
 

 Заметим теперь, что названия тригонометрических функций попарно 
созвучны и отличаются лишь наличием или отсутствием приставки «ко». 
По этой причине тригонометрические функции можно разбить на две 
группы: без приставки «ко» (условимся называть их основными тригонометрическими функциями) и содержащие приставку «ко» (будем назвать 
их дополнительными тригонометрическими функциями).  
Представим это в виде схемы.  
 

 
Название «косинус» представляет собой сокращение термина complementi sinus (синус дополнения), выражающего тот факт, что cos  равен 
синусу угла, дополнительного к   (т.е. составляет в сумме с ним угол, 
равный 900). По такому же принципу образованы названия «котангенс» 
(тангенс дополнения) и «косеканс» (секанс дополнения). 
Основные и дополнительные тригонометрические функции образуют 
две группы (по три в каждой) функций. Каждую группу функций по отношению к другой, будем называть «ко-функциями». 
 
§ 1.3.Тригонометрические функции дополнительных углов 
 
Два острых угла, в сумме составляющих прямой угол называются дополнительными. 
Очевидно, что острые углы прямоугольного треугольника являются 
дополнительными по отношению друг к другу. 

 
Рис. 1.3.1 
Если в прямоугольном треугольнике  ABC (
90
С


), острый угол 

BAС



, то второй острый угол 
90
ABС




. 
Из Рис. 1.3.1 имеем 

Глава I 

 

7 
 



90
b
sin
cos
c





, 



90
a
cos
sin
c





, 

т.е. синус одного из двух острых углов равен косинусу другого угла. 
Аналогично,  



90
b
tg
ctg
a





, 



90
a
ctg
tg
b





, 

т.е. тангенс одного из двух острых углов  прямоугольного треугольника 
равен котангенсу другого угла. 
Кроме того 



90
c
sec
cosec
a





, 



90
c
cosec
sec
b





. 

Заключаем, что секанс одного из двух острых углов  прямоугольного 
треугольника равен косекансу другого угла. 
Например, 
11
79
sin
cos

, 
51
39
tg
ctg

, 
27
63
sec
cosec

. 
 
§ 1.4. Значения тригонометрических функций углов 30◦, 45◦, 60◦ 

 
Прежде всего, заметим, что в прямоугольном треугольнике отношение двух его сторон зависит только от величины одного из острых углов и 
не зависит от линейных размеров сторон. Если 
изменить угол, то изменится отношение; если изменить отношение, то изменится угол. 
Для каждого угла такое отношение постоянно, что легко доказать, используя подобие треугольников ABC и 
1
1
AB C  (Рис. 1.4.1). 
Поэтому числовые значения тригонометрических функций острых углов, 
найденные, например, для треугольника с гипотенузой, равной единице, будут такими же 
и для любого другого треугольника с теми же острыми 
углами.  
Учитывая этот факт, при 
нахождении значений тригонометрических функций уг

Глава I 
 

 

8 
 

лов 30◦, 45◦, 60◦ [1 градус (1◦) – это 1  
90 часть плоского прямого угла] будем, 

для удобства, рассматривать прямоугольный треугольник с гипотенузой, 
равной единице. 
При таком выборе треугольника противолежащий катет будет равен 
синусу угла, а прилежащий – косинусу угла. 
Итак, рассмотрим сначала равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (Рис. 1.4.2). Оба острых угла рассматриваемого треугольника равны по 45◦. А так как CB = CA, то по теореме Пифагора 
2
2
1
CB
CA

 . 

Значит, 
2
2
1
CA  , откуда 
2
CB = CA= 2 . 

Таким образом, 
2
sin45  = cos45  = 2 . 

 Следовательно, tg45 =ctg45 =1.  
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с острыми углами 
30◦ и 60◦ (Рис. 1.4.3).  
Известно, что катет, лежащий против угла в 30◦, равен половине гипотену
зы. Поэтому 
1
BC= 2  и по теореме Пифа
гора 
 

2
3
2

2
1
2
CA= 1 

. Отсюда следу
ет, 
что 
1
30
2
sin

, 
3
30
2
cos

, 

1
3
30
3
3
tg


, 
30
3
ctg

. 

С другой стороны, катет CA, лежащий против угла 60◦, – это синус 

этого угла, а катет CB – косинус угла. Таким образом, 
3
60
2
sin

, 

1
60
2
cos

, 
60
3
tg

, 
1
3
60
3
3
ctg


. 

Обратим внимание на тот факт, что углы 30◦ и 60◦, а также два угла 
по 45◦ являются частными случаями, так называемых, взаимно дополнительных углов (см. § 1.3.).  
Для удобства запоминания значений синуса углов 30◦, 45◦, 60◦ (а также 0◦ и 90◦) можно использовать правило ладони.  
Если присвоить каждому из пальцев ладони номер и сопоставить 
угол (см. Рис. 1.4.4), то для нахождения синуса каждого из этих углов до

Глава I 

 

9 
 

статочно извлечь квадратный корень из номера пальца, сопоставленного 
углу, и полученный результат разделить на два.  

Итак, 
2
n
sin


. 

 
Рис. 1.4.4 
Запишем результаты, получаемые с помощью этой формулы и 
Рис. 1.4.4 в виде таблицы. 

Номер и название 
пальца ладони
n=№
Угол
sin

№0 – Мизинец 

n=0
00
0
0
0
2
sin



№1 – Безымянный

n=1
300
1
1
30
2
2
sin



№2 – Средний

n=2
450
2
45
2
sin


№3 – Указательный

n=3
600
3
60
2
sin


№4 – Большой 

n=4
900
4
90
1
2
sin



 
Замечание. С помощью «правила ладони» можно находить и значения косинусов тех же самых углов. Для этого надо начать нумерацию 
пальцев не с мизинца, а с большого пальца. 
 
 
 
 

Глава I 
 

 

10 
 

§ 1.5. Угол как мера поворота подвижного луча вокруг данной точки 
 
Любой угол 
AOB

, как геометрическую фигуру можно получить в 
результате вращения подвижного луча вокруг вершины О от начальной 
стороны ОА угла до его конечной стороны ОВ. Тогда величину поворота, 
совершенного этим лучом, измеряют величиной угла, который образуют 
лучи ОА и ОВ. Луч ОА называют началом отсчета угла, а о луче ОВ говорят, что он определяет угол поворота. 
Угол называется положительным, если он образован поворотом луча 
против хода часовой стрелки, и отрицательным, если он образован поворотом луча по ходу часовой стрелки. 
Обозначим через   наименьший неотрицательный угол, образованный лучами ОА и ОВ (Рис. 1.5.1).  
 

 
 
Если луч ОВ совершает дополнительно полный оборот вокруг точки 
О против хода часовой стрелки (такой поворот считают поворотом на 
3600), то получаем другую величину угла, равную 
360
 
. А тогда ясно, 
что любой угол поворота  , определяемый лучом ОВ, можно представить 
в виде 

360
n




 ,  
где 0
360



, а n
Z

.  
 На практике уже более трех тысяч лет 
за единицу измерения величины угла 

принята 360
1  часть полного оборота, ко
торую называют градусом. 

В технике за единицу измерения 
углов принимают полный оборот.  
В мореплавании за единицу изме
рения углов принят румб, равный 

32
1  ча
сти полного оборота.