Элементарная математика. Часть 4. Геометрия. Начальные сведения. Треугольник

[1] 

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 

Часть 4. 

ГЕОМЕТРИЯ: 
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. 
ТРЕУГОЛЬНИК 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019

[2] 

УДК 511.1 
ББК 22.1 
    Е 59 

Рецензенты: 
Клещѐва Ирина Валерьевна – кандидат педагогических наук, доцент 
кафедры методики обучения математике и информатики (Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, СанктПетербург). 
Масина Ольга Николаевна – доктор физико-математических наук, 
профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и компьютерных технологий (Елецкий государственный университет им. И.А. 
Бунина, Елец). 

Ельчанинова Г.Г.
Элементарная математика. Часть 4. Геометрия. Начальные 
сведения. Треугольник [Электронный ресурс] : учебное пособие / 
Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 
2019. — 93 с.

ISBN 978-5-9765-4112-2 (Ч. 4) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий)

Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в написании курсовой и выпускной квалификационной работы.  
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и техники. 
Данное издание может полезно преподавателям вузов, а также использоваться учителями средних школ для разработки элективных курсов. 

УДК 511.1 
ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-4112-2 (Ч. 4) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий)

© Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А., 2019 
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

 Е 59 

[3] 

 

ГЛАВА V. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 

 

Раздел I. Планиметрия 

 

§ 1. Аксиомы и основные определения абсолютной геометрии. 

Основные геометрические объекты и их свойства 

 

1.1. Основные понятия и отношения абсолютной геометрии 

 

Изучение форм, размеров предметов и их взаимного расположения со
ставляет отдельную область человеческого знания, называемую геометрией. 
  Термин «геометрия» происходит от слияния двух древнегреческих слов 
γεω – «Земля» и μετρέω – «измеряю». Буквальный перевод звучит как «землемерие». 

Геометрия изучает некоторые множества элементов, называемых точка
ми и некоторые подмножества этого множества: прямые, плоскости, или, вообще говоря, фигуры. 

Фигурой на плоскости называется всякое множество точек этой плоско
сти, содержащее хотя бы одну точку. Термин «фигура» происходит от латинского слова figura, что означает образ, вид. 

Для того чтобы отображать одну фигуру на другую, вводятся некоторые 

операции, применимые к элементам множества точек. 
  Геометрию, изучаемую в средней школе, часто называют евклидовой – по 
имени древнегреческого математика Евклида (330-275 гг. до н.э.), написавшего 
один из первых курсов элементарной геометрии. Этот курс был изложен вместе 
с арифметикой в одиннадцати книгах и назван «Начала». 

Постулаты Евклида: 

1. 
Требуется, чтобы от всякой точки ко всякой другой точке можно было 

провести прямую. 

2. 
И чтобы каждую прямую можно было неограниченно продолжить. 

3. 
И чтобы от любого центра можно было описать окружность любого ра
диуса. 

4. 
И чтобы все прямые углы были равны. 

5. 
Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние 

углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении 
этих прямых, они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух 
прямых. 

Совокупность теорем, которые могут быть выведены из системы аксиом, 

если аксиому параллельных заменить противоположным утверждением, называется неевклидовой геометрией Лобачевского. 

Абсолютная геометрия – это геометрия, в основе которой лежат аксио
мы евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, то есть, 
это общая часть геометрии Евклида и Лобачевского. 

[4] 

Основные понятия геометрии – геометрическое тело, поверхность, линия, точка. 
Геометрическое тело рассматривается вне физических свойств предмета. Считается, что оно может свободно перемещаться и изменять своѐ положение среди других тел, не меняя размера, формы и взаимного расположения своих частей. 
Тело отделяется поверхностью от прилегающих к нему других тел. У 
геометрической поверхности нет толщины.  
При пересечении поверхностей образуется линия. У линии нет ширины. 
При пересечении двух линий образуется точка. Точка не имеет никакого 
размера. 
Простейшая из всех линий – прямая. Простейшая поверхность – плоскость. 
Прямую линию обычно представляют безгранично продолженной в обе 
стороны. Обозначение прямой – малая латинская или две большие латинские 
буквы, которые обозначают две какие-либо точки этой прямой.  
Часть прямой, все точки которой лежат по одну сторону от данной точки 
этой прямой – луч (полупрямая). Обозначение луча аналогично обозначению 
прямой.  
Часть прямой, ограниченная с обеих сторон точками, – отрезок. Обозначение отрезка – две большие латинские буквы, поставленные при его концах. 
Два луча, выходящие из одной точки, образуют фигуру, которая называется углом.  
Сами лучи при этом называются сторонами угла, а их общее начало – 
вершиной угла. Обозначение угла – одна большая латинская буква (
A
 ), поставленная при его вершине либо три большие латинские буквы, из которых 
одна – при вершине, а две другие обозначают две какие-либо точки сторон угла 
(
BAC

). Иногда углы обозначают одной малой латинской буквой (
h
 ) или
цифрой ( 1
 ). 
Внутренняя область угла целиком содержит все отрезки, концы которых 
лежат на сторонах угла. Оставшаяся часть плоскости – внешняя.  
Углы называются прилежащими, если они имеют общую сторону, а их 
внутренние области не покрывают одна другую. На Рис. 1 это углы
CAB

 
и
DAB

. 

Если у двух прилежащих углов не совпадающие стороны образуют одну 
прямую линию, то такие углы называются смежными. На Рис. 2 это углы 

COB

и
AOB

. 

[5] 

 

Угол называется развѐрнутым, если лучи, его образующие, составляют 

одну прямую. На Рис. 2 это угол 
AOC

. 

Два угла называются равными, если они могут быть совмещены так, что 

совпадут их вершины и соответствующие стороны. 

Если смежные углы равны между собой, то каждый из них называется 

прямым. Иначе, прямой угол – это угол, равный своему смежному углу. Из 
этого следует, свойство: 
10) Прямой угол равен половине развѐрнутого. 

Если два угла имеют общие вершину и одну сторону, а вторая сторона 

одного из углов лежит между сторонами другого угла, то говорят, что первый 
из этих двух углов меньше второго (второй угол больше первого). 

Прямые линии, образующие между собой прямой угол, называются вза
имно перпендикулярными. Обозначение: 
CD
AB 
.  

Угол, меньший прямого угла, называется острым, больший прямого – 

тупым.  

В геометрии рассматриваются также нулевой и полный углы, у которых 

образующие их лучи совпадают. 

Различие этих углов показано на Рис. 3 (слева – нулевой угол, а справа –

полный угол). 

 

Углы называются вертикальными, если стороны одного из них служат 

продолжениями сторон другого. Так, на Рис. 4
EBA

 и 
BCD

 являются верти
кальными. 
20) Вертикальные углы равны между собой. 

Одной из важнейших фигур геометрии явля
ется окружность. 

Если придать циркулю произвольный раствор 

и, поставив одну его ножку острием в какую-нибудь 
точку О плоскости (Рис. 5), будем вращать циркуль 
вокруг этой точки, то другая его ножка, снабженная 
карандашом или пером, прикасающимся к плоскости, опишет на ней непрерывную линию, все точки 
которой будут одинаково удалены от точки О. Эта 
линия называется окружностью, а точка О – еѐ 
центром.  

[6] 

 

Отрезки ОА, ОВ,..., соединяющие центр с какими-нибудь точками окруж
ности, называются радиусами.  

Очевидно свойство: все радиусы одной окружности равны между собой.  
Прямая (MN, Рис. 5), проходящая через какие-нибудь две точки окружно
сти, называется секущей. 

Отрезок прямой (ЕР), соединяющий две какие-нибудь точки окружности, 

называется хордой. 

Всякая хорда (AD), проходящая через центр, называется диаметром. 
Очевидно свойство: диаметр равен сумме двух радиусов, и потому все 

диаметры одной окружности равны между собой. 

Какая-нибудь часть окружности (например, ЕmF) называется дугой. 
О хорде (EF), соединяющей концы какой-нибудь дуги, говорят, что она 

стягивает эту дугу. 

Не следует путать понятия «окружность» и «круг». Часть плоскости, ог
раниченная окружностью, называется кругом.  

Часть круга, заключенная между двумя радиусами (часть СОВ, покрытая 

штрихами на Рис. 5), называется сектором, а часть, отсекаемая от круга какойнибудь секущей (часть EmF), называется сегментом. 

Угол (АОВ, Рис. 6), образованный двумя радиусами 

окружности, называется центральным углом; о таком 
угле и дуге, заключенной между его сторонами, говорят, 
что они соответствуют друг другу.  

Центральные углы по отношению к соответствую
щим им дугам обладают следующими двумя свойствами.  

В одном круге или в равных кругах:  

30) Если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.  

40) Если дуги равны, то и соответствующие им центральные углы равны. 

Представим себе, что какая-нибудь окружность разделена на 360 равных 

частей и ко всем точкам деления проведены радиусы. Тогда вокруг центра образуются 360 центральных углов, которые, как соответствующие равным дугам, 
должны быть равны между собой. Каждая из полученных таким образом на окружности дуг называется дуговым градусом, а каждый из образовавшихся при 
центре углов называется угловым градусом. Значит, можно сказать, что дуговой 
градус есть 1360 часть окружности, а угловой градус есть центральный угол, 

соответствующий дуговому градусу. 

Градусы (дуговые и угловые) подразделяются еще на 60 равных частей, 

называемых минутами, а минуты подразделяются еще на 60 равных частей, 
называемых секундами). 
  Латинское слово gradus означает «шаг». Как заметили вавилонские жрецы, 
солнечный диск укладывается на пути, проходимым солнцем за день, 180 раз, 
т.е. солнце как бы делает 180 шагов. Обозначения градусов, напоминающие современные, были введены Птолемеем около 100–178 г.г.  

[7] 

 

Замечание. 1) Употребительна также сотенная система мер углов и дуг; 

по этой системе за, град дуги принимают 1/100 четверти окружности, минуту 
принимают равной 1/100 града, секунду – 1/100 минуты. 2) Используется также 
и радианная мера угла. В этом случае один радиан приписывается центральному углу, стороны которого заключают дугу окружности, равную радиусу. Такой центральный угол называется угловым радианом, а соответствующая дуга 
– дуговым радианом. 

Для измерения углов употребляется 

особый прибор – транспортир. Этот прибор (Рис. 7) представляет собой полукруг, 
дуга которого разделена на 180°. Чтобы измерить угол DCE, накладывают на него прибор так, чтобы центр полукруга совпадал с 
вершиной угла, а радиус СВ был расположен 
по стороне СЕ, Тогда число градусов, содержащееся в дуге, заключенной между сторонами угла DCE, покажет величину его. 
При помощи транспортира можно также начертить угол, содержащий данное число градусов. 
50) Развѐрнутый угол имеет градусную меру, равную 180°. 

Обобщим понятия прямого, острого и тупого углов (с точки зрения их 

градусной меры). 

Угол в 90° (составляющий, следовательно, половину развернутого угла 

или четверть полного угла) есть прямой угол; угол, имеющий градусную меру, 
меньше 90°, есть острый угол, а угол, больший прямого, но меньший развернутого, есть тупой угол (Рис. 8). 

 

60) Все прямые углы, как содержащие одинаковое число градусов, равны между 
собой. 
 Величину прямого угла иногда обозначают буквой d (начальная буква 
французского слова droit, которое означает «прямой»). 
70) Смежные углы в сумме составляют развернутый угол, то есть сумма двух 
смежных углов равна 180° (иначе, она равна сумме двух прямых углов). 
80) Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны. 

Луч, который выходит из вершины угла и делит его на равные части, на
зывается его биссектрисой. 

[8] 

 

  Термин «биссектриса» происходит от латинского слова bissectrix – «делящая пополам». В старой математической литературе можно встретить другое 
название биссектрисы – «равноделящая». 

Итак, сочетание точек, поверхностей и линий, как-либо расположенных 

друг относительно друга, образует геометрическую фигуру.  

Геометрические фигуры разделяются на плоские и пространственные. У 

плоской фигуры все точки лежат на одной плоскости. Если не все точки фигуры лежат на одной плоскости, то эта фигура – пространственная. Часть геометрии, изучающая плоские фигуры, называется планиметрией, пространственные – стереометрией. 

Первичными отношениями в геометрии являются:  

 отношение принадлежности; 
 отношение лежать между; 
 совмещаться движением. 

В геометрии используются первичные понятия из других отделов матема
тики: множество, элемент множества, соотношение и др. 

 

1.2. Система аксиом абсолютной геометрии.  

Аксиоматический метод её построения 

 
Теоретической базой в геометрии является система операций и аксиом. 

Аксиома – это утверждение, которое принимается без доказательства. 
 Термин «аксиома» впервые встречается у Аристотеля (384–322 г.г. до н.э.) 
и пришѐл в математику от древнегреческих философов. Происходит он от греческого слова  , которое переводится как «важность», «уважение», «авторитет». 

1 группа аксиом (аксиомы связи или принадлежности). В них определя
ются свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выраженных словом «принадлежать». 
1-2. Существует единственная прямая, проходящая через две данные точки. 
3. Существуют три точки, не принадлежащие общей прямой. 
4-5. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. На плоскости существует по крайней мере одна точка. 
6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит 
ей. 
7. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют и ещѐ одну общую точку. 
8. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 

2 группа аксиом (аксиомы порядка). Они выражают свойства взаимного 

расположения точек на прямой, определяют термин «лежать между». 
1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и 
А. 
2. Для любых точек А и В существует точка С, такая, что В будет лежать между 
А и С. 

[9] 

3. Для любых точек А, В, С существует только одна точка, лежащая между двумя другими.
4. Аксиома Паша. Пусть точки А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой и а – некоторая прямая в плоскости АВС, не содержащая ни одной из точек
А, В, С. Если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также
либо через точку АС, либо через точку отрезка ВС.
3 группа аксиом (аксиомы равенства, конгруэнтности). 
1. Если А и В – две точки на прямой а и A  – точка на той же или на другой
прямой a, то всегда можно найти по данную сторону прямой a  от точки A
одну и только одну точку B , такую, что
B
A
AB



.
2. Если отрезки 
B
A


и 
B
A


 конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они
конгруэнтны друг другу.
3. Пусть АВ и ВС – два отрезка на прямой а, не имеющие общих внутренних
точек и пусть 
B
A


 и 
C
B


 – два отрезка на той же или на другой прямой a, тоже
не имеющие общих точек. Если при этом 
B
A
AB



, 
C
B
BC



, то 
C
A
AC



.
4. Пусть даны: угол между лучами h  и k  на плоскости  , прямая a на этой же
или другой плоскости  , задана определѐнная сторона плоскости  относительно прямой a. Пусть h – это луч прямой a, исходящий из точки O. Тогда
на плоскости   существует единственный луч k, такой, что 



k
h
k
h





;
;
 и
при этом все внутренние точки последнего угла лежат по заданную сторону от
прямой a.
5. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой и A , B , C – тоже
три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом 
B
A
AB



, 
C
A
AC



,

C
A
B
BAC






, то
C
B
BC



, 
C
B
A
ABC






, 
B
C
A
ACB






. 
4 группа аксиом (аксиомы непрерывности). 
1. Аксиома Архимеда. Пусть АВ и СD – произвольные отрезки. Тогда на прямой
АВ существует конечное число точек 
n
A
A
A
,...,
,
2
1
, расположенных так, что точка 

1
A лежит между А и 
2
A , точка 
2
A – между 
1
A и
3
A , …, причѐм отрезки
,...
,
2
1
1
A
A
AA

конгруэнтны отрезку СD и точка В лежит между А и 
n
A . 
2. Аксиома Кантора. Если существует бесконечная последовательность вложенных отрезков, то существует такая точка  , которая принадлежит всем отрезкам.
5 группа аксиом (параллельности). 
В плоскости, определяемой прямой а и не лежащей на ней точкой А существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей 
прямую а. 
Геометрия строится дедуктивно или аксиоматически. Это означает, что 
все теоремы (предложения) выводятся чисто логическим путѐм из нескольких 
предложений этой же теории, принятых за исходные (аксиомы). Аксиоматический метод – наиболее характерный метод в математике. 

[10] 

 

§ 2. Параллельные и перпендикулярные прямые на плоскости.  

Теорема Фалеса 

 

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не име
ют общих точек. Обозначение: а ‖ b. 

Кроме случая параллельности прямых могут быть ещѐ два случая взаим
ного расположения двух прямых на плоскости: 

1) прямые могут иметь бесконечно много общих точек (т.е. совпадать), 

другими словами, каждая точка прямой a принадлежит прямой b и, наоборот, 
каждая точка прямой b принадлежит прямой a. В таком случае пишут: a
b
 ; 

2) две прямые a и b на плоскости могут иметь одну общую точку, т.е. пе
ресекаться.  

В связи с этим можно дать иное определение параллельных прямых: две 

прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. 

 Пусть a и b – две пересекающиеся прямые (Рис. 9). 

При пересечении этих прямых образуются четыре угла. 
Пусть  – один из этих углов. Тогда любой из остальных 
трех углов будет либо смежным с углом , либо вертикальным с углом . Отсюда следует, что если один из углов 
прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы 
говорим, что прямые пересекаются под прямым углом. 

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под 

прямым углом. Обозначение: a
b
 . 

Отметим свойство перпендикулярных прямых. 

10) Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую 
и притом только одну. 

Перпендикуляром к прямой называется отрезок 

прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом 
точку их пересечения. Этот конец называется основанием перпендикуляра. 

Пусть АВ – прямая. М – основание перпендику
ляра, опущенного на неѐ из точки К; возьмѐм на АВ 
произвольную точку С, отличную от М, и соединим еѐ 
с точкой К. Полученная прямая образует с АВ угол, 
отличный от прямого, и называется наклонной. Точку 
С называют основанием наклонной, а отрезок СМ – 
проекцией наклонной.  
20) Через точку К можно провести бесконечно много наклонных к АВ.  
30) Если из данной точки К к одной и той же прямой АВ проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная длиннее перпендикуляра.  
40) Из двух наклонных, проведѐнных из одной точки К к прямой АВ больше та, 
которая имеет большую проекцию. 
50) Если две различные наклонные, проведѐнные к прямой АВ из одной и той же 
точки К равны, то их основания лежат по разные стороны от основания пер