Математика. Ч. II

И.А. Елецких, Т.М. Сафронова, 
Н.В. Черноусова 

МАТЕМАТИКА 

(Часть II) 

2-е издание, стереотипное

Рекомендовано УМО РАЕ (Международной ассоциацией 
ученых,  преподавателей и специалистов) по классическому 
университетскому  и техническому образованию в качестве 
учебного пособия для студентов, обучающихся по 
направлениям подготовки:  
44.03.01 – «Педагогическое образование»,  
44.03.05 – «Педагогическое образование (с двумя профилями 
подготовки) 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019 

УДК 51 
ББК 22.1 

Е 50

Рецензенты: 
доктор педагогических наук, профессор 
(Орловский государственный университет) О.В. Тарасова; 
кандидат педагогических наук, доцент 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина) 
Г.А. Симоновская

Елецких И.А.
Математика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / 
И.А. Елецких, Т.М. Сафронова, Н.В. Черноусова. Ч. II. — 2-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 144 с.

ISBN 978-5-9765-4110-8 (ч. II) 
ISBN 978-5-9765-4108-5 (общий)

Учебное пособие «Математика (Часть II)» написано в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования по направлениям подготовки Педагогическое образование (уровень бакалавриата). 
Пособие содержит теоретический материал, изложение которого 
сопровождается разбором типовых примеров (задач). Завершается 
каждый параграф списком заданий для самостоятельной работы. Кроме того, в пособии имеются образцы контрольных работ по темам. 
Учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной 
форм обучения и может быть использовано для подготовки к практическим занятиям, написанию курсовых и выпускных квалификационных работ. Материал данного пособия может быть использован преподавателями для организации самостоятельной работы обучающихся 
и контроля знаний студентов по каждой из представленных  тем. 

  УДК 51 
ББК 22.1 

ISBN 978-5-9765-4110-8 (ч. II) 
ISBN 978-5-9765-4108-5 (общий)

© Елецких И.А., Сафронова Т.М., 
    Черноусова Н.В., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019 

Е 50

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие «Математика (Часть II)» написано в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования по направлениям подготовки 44.03.01 Педагогическое образование (уровень бакалавриата) и 44.03.05  Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки, уровень бакалавриата). Представленное учебное пособие является логическим 
продолжением части I, изданной в 2014 году, и нацелено на решение 
задачи обеспечения будущего учителя начальных классов математической подготовкой, необходимой ему для грамотного, творческого 
обучения и воспитания младших школьников, для дальнейшей работы 
по углублению и расширению математических знаний.  
Основными задачами изучения дисциплины «Математика» являются: овладение необходимыми математическими знаниями, на основе которых строится начальный курс математики; формирование 
умений, необходимых для глубокого овладения его содержанием; 
формирование умения использовать математический аппарат для решения типовых задач по курсу математики начальной школы; формирование умения содержательно интерпретировать полученные результаты; раскрытие студентам мировоззренческого значения математики; 
углубление их представления о роли и месте математики в изучении 
окружающего мира; развитие мышления, речи. Поэтому в круг задач 
учебного пособия входят: оказание практической помощи в овладении 
математическим аппаратом; управление познавательной деятельностью обучающихся; стимулирование потребности в саморазвитии и 
самообучении. 
Структура пособия аналогична структуре части I: весь материал 
разбит на  темы, темы – на параграфы. В содержании каждого параграфа представлен структурированный теоретический материал, сопровождающийся разбором типовых примеров. В конце каждой темы 
приводится список заданий для самостоятельной работы, образцы 
контрольных работ, варианты тестового контроля знаний.  
Отличие пособия от ранее изданных  состоит в том, что в нем 
учтены и особенности преподавания дисциплины «Математика» в 
рамках классического университета с учетом реализации ФГОС ВО, и 
разнообразие методических подходов к изложению учебного материала в учебниках математики, соответствующих требованиям школьных образовательных стандартов, для начальной школы. 

3 

ТЕМА 9. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА 

§1. Краткие исторические сведения 
из истории возникновения и развития понятия числа 

Понятие числа является стержневым понятием школьного курса 
математики. Число служит фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений и т.д.  
Возникло понятие числа из потребностей практической деятельности людей. Надо было сравнивать различные множества предметов, устанавливать существующие между ними отношения; объединять два множества предметов в одно множество или удалять из 
множества некоторое подмножество. Далеко не всегда решение таких 
задач оказывалось простым. Но в результате усилий многих поколений, по мере развития способности людей к абстрагированию, возникавшие трудности успешно преодолевались.  
С появлением натуральных чисел и операций над ними решение 
упомянутых задач существенно упростилось. Например, сравнение 
множеств стало сводиться к подсчету и сравнению чисел элементов в 
этих множествах. 
Овладение «числовым аппаратом», т.е. не только понятием числа, но и алгоритмами выполнения операций над числами, а также 
структурными особенностями числовых систем, является основой 
всего математического образования. 
В теоретической арифметике последовательно определяют натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа. 
Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми множествами. 
При этом всякое новое числовое множество является расширением предыдущего, так что обобщение понятия числа идет по следующей логической схеме: 
���� ⊂ ���� ⊂ ���� ⊂ ���� ⊂ ���� 
Каждое из рассматриваемых числовых множеств есть множество с отношениями и операциями для его элементов, т.е. структура 
определенного типа.  
При любой схеме обобщения понятия числа мы строим расширения, обладающие следующими свойствами: 
Множество А является расширением множества В, если выполняются следующие условия (принципы перманентности и минимальности): 
1) Множество В  есть подмножество множества А.
2) Все отношения и операции, которые выполняются во множестве В,
определяются и во множестве А, при этом их смысл остается неизменным.

4 

3) В множестве А выполнима операция, которая невыполнима в В  или
не всегда выполнима (в этом условии заключена основная цель
расширения).
4) Расширение А  должно быть «минимальным» среди всех возможных расширений множества А, удовлетворяющих условиям 1) – 3).
Большинство применений математики сводится к двум основным задачам: 
- 
подсчету числа элементов конечного множества; 
- 
измерению величин. 
Однако, для этих целей натуральных чисел недостаточно: не 
всегда единица величины укладывается целое число раз в измеряемой 
величине. Чтобы в такой ситуации точно выразить результат измерения, необходимо расширить запас чисел, введя числа, отличные от 
натуральных. 
К этому вопросу люди пришли еще в глубокой древности: измерение длин, площадей, масс и других величин привело сначала к возникновению дробных чисел. С практикой решения уравнений и теоретическими исследованиями связано возникновение понятия отрицательного числа. Нуль, который вначале обозначал отсутствие числа, 
после введения отрицательных чисел, стал полноправным числом во 
множестве Z целых чисел, а также во множестве Q рациональных чисел. 
В  V в. до н.э. математиками школы Пифагора было установлено, что существуют отрезки, длину которых при выбранной единице 
длины нельзя выразить рациональным числом. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились иррациональные числа. Рациональные и иррациональные числа назвали действительными числами. 
Строгое определение действительного числа и обоснование его 
свойств было дано в XIX в.  
Действительные числа – не последние в ряду различных чисел. 
Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, 
продолжается и сегодня – этого требует развитие различных наук и 
самой математики. 
Первое знакомство учащихся с дробными числами происходит в 
начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расширяется в 
средней школе. В связи с этим учителю начальных классов необходимо знать определение дроби и рационального числа, правила выполнения действий над рациональными числами, законы этих действий, а 
также уметь видеть взаимосвязи множеств рациональных и действительных чисел с множеством натуральных чисел. Без этого невозможно решить проблему преемственности в обучении математике в 
начальных и последующих классах школы. 
Расширение множества N натуральных чисел будем проводить 
по следующей схеме: 
R
R
Q
N
→
→
→
+
+
. 

5 

§ 2. Дробь как результат измерения длины отрезка. Отношение 
 равенства дробей 

Исторически появление дробей связано с измерением величин. 
Выясним, как, например, могут появиться дроби при измерении длины отрезка. 
Пусть дан отрезок а. Выберем в качестве единицы длины отрезок е и найдём длину отрезка а.  
а 

  е 

  е1 
При измерении оказалось, что длина отрезка а больше 3е, но 
меньше 4е. Поэтому её нельзя выразить натуральным числом (при 
единице длины е). Но если разбить отрезок е на 5 равных частей, каждая из которых рана е1 , то длина отрезка а окажется равной 17е1: 
ma=17e1. Чтобы вернуться к первоначальной единице длины е, надо 
17:5. В такой ситуации условились считать  �������� =
17

5 ����, а символ 
17

5  
называть дробью. 

Определение 1. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой п отрезков, равных е1 . Если 
отрезок а состоит из т отрезков, равных е1, то его длина 
может быть представлена  в виде 
����

���� ����. Символ 

����

���� называют 
дробью (����, ���� ∈ ����). Число т называют числителем, а число п – знаменателем. 

Символ  
����

����  читается «эм энных». 

В задаче измерения длины отрезка а выбор отрезка е1 можно 
осуществить не единственным образом. Можно взять десятую часть 
отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 34 таких долей и его длина �������� =
34

10 ����. Можно взять пятнадцатую часть отрезка е, тогда 

�������� =
51

15 ����. Если представить этот процесс неограниченным, то получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей  
17

5 ,
34

10 ,
51

15 , …  

То есть если при единице длины е длина отрезка а выражается 
добью  
����

���� , то она может быть выражена любой дробью вида  

����∙����

����∙���� , где 

���� ∈ ���� . 

6 

Определение 2. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями. 

Если дроби  
����

����  и  

����

���� равны, то пишут 

����

���� = 

����

���� . 

Например, дроби 
17

5  и 
34

10  выражают длину одного и того же 

отрезка при единице длины е, следовательно, 
17

5 = 
34

10 . 

Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли 
данные дроби. 

Теорема 1. Для того чтобы дроби  
����

����  и  

����

����  были равны, необходимо и 

достаточно, чтобы ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� . 

Доказательство. 
Покажем сначала, что из того, что  
����

���� = 

����

����  следует, что ���� ∙ ���� =

���� ∙ ����. 

Действительно, так как (∀���� ∈ ����): 
����

���� =
����∙����

����∙����  и (∀���� ∈ ����): 
����

���� =
����∙����

����∙���� , 

то из равенства дробей 

����

����  и  

����

���� следует равенство 
����∙����

����∙���� =
����∙����

����∙���� , из которо
го в свою очередь вытекает, что ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����. 

Докажем теперь, что из равенства ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����  следует, что 
����

���� = 

����

���� . 

Если разделить обе части истинного равенства ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����  на 
натуральное число  ���� ∙ ����, то получим истинное равенство 
����∙����

����∙���� =
����∙����

����∙���� . 

Но  
����∙����

����∙���� =
����

���� , а  
����∙����

����∙���� =
����

���� . Следовательно,  

����

���� = 

����

���� . Теорема доказана. 

Пример 1. Определить, равны ли дроби  
17

19 и  
23

27 . 

Решение. 

Сравним произведения 17·27 и 19·23.  17·27=459;  19·23=437. 
Так как 459 ≠ 437, то 
17

19 ≠  
23

27 . 

Теорема 2. Отношение равенства дробей является отношением эквивалентности. 

Доказательство. 

Действительно, равенство дробей рефлексивно: 
����

���� =
����

���� , так как 
равенство ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����  справедливо для любых натуральных чисел т 
и п.  

7 

Равенство дробей симметрично: если  
����

���� = 

����

���� , то и  

����

���� =

����

���� , так 

как их равенства ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� следует равенство ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����  (����, ����,
����, ���� ∈ ����). 
Отношение равенства транзитивно: если 
����

���� = 

����

����  и 

����

���� =

����

���� , то

����

���� =

����

���� . В самом деле, так как  

����

���� = 

����

���� , то ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� , а так как  

����

���� =

����

����,

то ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����. 
���� ∙ ���� = ���� ∙ ����| ∙ ����
���� ∙ ���� = ���� ∙ ����| ∙ ���� ⇒ ���� ∙ ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� ∙ ����
���� ∙ ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� ∙ ����⇒ ���� ∙ ���� ∙ ���� = ���� ∙ ���� ∙ ���� ⇒ ���� ∙ ���� =

���� ∙ ���� ⇒
����

���� =

����

���� .

Итак, равенство дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, оно является отношением эквивалентности. 

Из рассмотренных фактов вытекает основное свойство дроби: 
если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить 
на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.  
На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение 
дробей к общему знаменателю. 

Определение 3. Сокращение дробей – это замена данной дроби другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и 
знаменателем. 

Пример 2. Сократить дробь  
36

48 . 

Решение. 
Разложим числитель и знаменатель данной дроби на множители, 
выделив общий множитель, на который произведём сокращение, получим 

36

48 =
3∙12

4∙12 =
3

4 . 

В общем случае сокращение дробей возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если 
числитель и знаменатель – взаимно простые числа, то дробь называется несократимой. Например, 
5

17 – несократимая дробь.

В общем случае сокращение дробей возможно всегда, если числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если 
числитель и знаменатель взаимно простые числа, то дробь называется 
несократимой. Например,  
5

17  - несократимая дробь. 

8 

Определение 4. Приведение дробей к общему знаменателю – это 
замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые 
знаменатели. 

Общим знаменателем двух дробей   
����

����  и  

����

����  является общее 

кратное чисел n и  q, а наименьшим общим знаменателем – их 
наименьшее общее кратное. 

Пример 3. Привести к общему знаменателю дроби 
4

9 и 
1

35 . 

Решение. 
9=32 ,  35=5·7. Поэтому НОК(9, 35)= 32·5·7=315. 
4

9 =
4∙35

9∙35 =
140

315 ;     
1

35 =
1∙9

35∙9 =
9

315

Приведение дробей к общему знаменателю возможно не только 
для двух дробей, но и для любого конечного числа данных дробей. 

§ 3. Понятие положительного рационального числа. 
Арифметические действия с положительными рациональными 
числами 

Отношение равенства является отношением эквивалентности на 
множестве дробей, поэтому оно порождает на нём классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. 

Например, множество дробей 1

2 ; 
2

4 ; 
3

6 ; 
4

8 ; … – это один класс, 

множество дробей 1

3 ; 
2

6 ; 
3

9 ; 
4

12 ; … – это другой класс и так далее. 

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. 
Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби  – это различные записи одного и 
того же положительного рационального числа. 

Определение 1. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая 
этому классу, есть запись (представление) этого числа. 

Таким образом, множество 4

3 ; 
8

6 ; 
12

9 ; 
16

12 ; … есть некоторое 

положительное рациональное число, а дроби  
4

3 ; 
8

6 ; 
12

9 ; 
16

12 ; …  – это

различные записи этого числа. Множество 2

7 ; 
4

14 ; 
6

21 ; 
8

28 ; … опре
деляет другое положительное рациональное число. 

9 

Среди всех значений некоторого положительного рационального числа выделяют несократимую дробь, т.е. дробь, в которой числитель и знаменатель – взаимно простые числа. Например, среди дро
бей 
2

7 ; 
4

14 ; 
6

21 ; 
8

28 ; …, определяющих рациональное число, такой

дробью является 
2

7 . Вообще, для любого положительного рационального числа существует одна и только одна несократимая дробь, являющаяся записью этого числа. 

Ранее было установлено, что необходимость измерения длин 
отрезков привела к появлению положительных рациональных чисел. 
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть 
����

����
– запись некоторого
рационального числа. Требуется найти такой отрезок, длина которого 
выражается этим числом. Можно доказать, что для любого положительного рационального числа, представленного дробью 

����

����, существует отрезок, длина которого выражается этим числом при выбранной единице длины. 

Пример. Построить отрезок, длина которого выражается числом 
13

4  . 

Решение. 
Для решения поставленной задачи: 
1) выбираем единицу длины е;
2) делим отрезок е на 4 равные части;
3) откладываем на луче Ох 13 отрезков, каждый из которых равен
четвёртой доле отрезка е.
е 

О                                                                   А           х 
Получаем отрезок ОА, длина которого выражается числом 
13

4  . 

Множество всех положительных рациональных чисел принято 
обозначать ����+. На множестве ����+ можно ввести отношение равенства. 

Определение 2. Если положительное рациональное число а представлено дробью  
����

����, а положительное рациональное число b 

– другой дробью  
����

���� , то ���� = ���� ⇔ ���� ∙ ���� = ���� ∙ ����. 

Из определения 2 следует, что равные рациональные числа 
представляются равными дробями. 
Выясним теперь, как определяются арифметические операции 
над положительными рациональными числами. 

10