Технологические основы проектирования понятийного аппарата по математическим дисциплинам в вузе на базе фрактального подхода

С. Н. Дворяткина, Т. И. Кузнецова 

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 
ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА ПО 
МАТЕМАТИЧЕСКИМ 
ДИСЦИПЛИНАМ В ВУЗЕ НА БАЗЕ  
ФРАКТАЛЬНОГО ПОДХОДА 

Монография 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2019

УДК 378 
ББК 22.1+74.58 
Д 24 

Рецензенты: 
академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор, 
зав. кафедрой дифференциальной геометрии и приложений 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
А.Т. Фоменко; 
доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики
Московского государственного университета информационных 
технологий, радиотехники и электроники  
С.А. Розанова

Дворяткина С. Н.

    Технологические основы проектирования понятийного аппарата по 
математическим дисциплинам в вузе на базе фрактального подхода 
[Электронный ресурс] : монография / С.Н. Дворяткина, Т.И. 
Кузнецова. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2019. — 146 с.

ISBN 978-5-9765-4107-8      

УДК 378 
ББК 22.1+74.58 

ISBN 978-5-9765-4107-8 
© Дворяткина С.Н., Кузнецова Т.И., 2019
© Издательство «ФЛИНТА», 2019

  Монография посвящена проблеме отбора и структурирования 
содержания математического образования на основе фрактального 
подхода. Разработанная и апробированная авторами технология 
фрактального конструирования структуры содержания обучения 
математическим 
дисциплинам 
в 
вузе 
активизирует 
научноисследовательскую 
и 
познавательную 
деятельность 
студентов, 
обеспечивает эффективное развитие мыслительных механизмов, 
управляет глубиной установления междисциплинарных связей.
     Работа предназначена для специалистов как в области прикладной 
математики, так и в методике обучения математике.

Д 24 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие……………………………………………………………
5

Глава I.
Фракталы и мультифракталы: математические 
основы……………………………………………………
8

1.1.
Концепция линейного самоподобия……………...…….
8

1.1.1. Понятие фрактала………………………………………..
8

1.1.2. Из истории возникновения фракталов………………….
11

1.1.3. Фрактальные размерности множеств и самоподобие…
13

1.1.4. Классификация фракталов………………………………
17

1.2.
Регулярные самоподобные фракталы…………………..
20

1.2.1. Снежинка Коха…………………………….……………..
20

1.2.2. Пыль Кантора……………………………………………..
22

1.2.3.
Треугольник Серпинского………………………………..
24

1.2.4.
Губка Менгера……………………………………………
29

1.2.5.
Кривые Пеано…………………………………………….
30

1.3.
Нелинейные комплексные отображения………………..
33

1.3.1.
Множество Жюлиа……………………………………….
33

1.3.2.
Множество Мандельброта………………………………
34

Глава II. Теоретическое 
обоснование 
фрактального 

конструирования структуры содержания обучения
математике…………………………………….………..
37

2.1.
Смена парадигм образования…………………….……..
37

2.2.
Системный генезис методологии отбора содержания 
обучения математике на основе анализа отечественного 
и мирового образовательного опыта………….………..
45

2.3.
Потенциал методологии фрактального моделирования
55

2.3.1.
Эффективность концепции самоподобия в социальных 
и гуманитарных науках……………………….…………
55

2.3.2.
Фрактальный 
подход 
в 
педагогике: 
границы

применимости…………………………………………….
64

Глава III.
Технология 
фрактального 
конструирования 

структуры содержания обучения математическим 
дисциплинам…………………………………………….
72

3.1.
Технология фрактального отбора и структурирования 
содержания 
обучения 
математике: 
сущность, 

компоненты, характеристики, средства, методы и 
уровни реализации……………………………………….
72

3.2.
Система ключевых теоретико-вероятностных понятий с 
фрактальным описанием структуры как средство 
решения проблемы междисциплинарной интеграции…
84

3.3.
Вариативная система междисциплинарных задач на 
основе применения технологии фрактального отбора и 
структурирования содержания обучения……………….
108

3.4. Эффективность технологии
фрактального отбора и 

структурирования содержания обучения математике...
128

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………....
138

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………...
142

 

 
 

Предисловие 

Экспансия фрактальных методов в различные области научного 

знания стала визитной карточкой конца XX века. Большой интерес к 
фракталам объясняется, прежде всего, тем, что они гораздо лучше 
обеспечивают представление многих природных явлений, нежели объекты 
классической геометрии. В этом плане достаточно интересно сравнить два 
высказывания, которые разделяет период в 350 лет.  

«Философия природы написана в величайшей книге — я 

разумею Вселенную… А написана эта книга на языке 
математики, и письмена ее — треугольники, окружности и 
другие геометрические фигуры» ( Галилео Галилей, 1623 г.).  

«Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна 

из причин заключается в ее неспособности описать форму 
облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, 
горы — это не конусы, линия берега — это не окружности, и кора 
не является гладкой, и молния не распространяется по прямой… 
Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а 
совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов 
длин в структурах всегда бесконечно» (Бенуа Мандельброт, 
1973 г.). 

Широчайшее распространение фрактальных структур объясняется их 

разномасштабностью: и большие, и малые масштабы фрактальных 
структур имеют одинаковый закон роста. Это геометрическое подобие 
представляет основной принцип роста всего живого, который называют 
также принципом самоподобия. Законы роста листика дерева абсолютно те 
же, что и для всех его ветвей, корней и для всего живого в целом. Задать 
фрактальную структуру — означает задать не застывшую, неизменную 
форму, а закон изменения формы. Как правило, алгоритм построения 
фрактальной структуры гораздо проще, чем полученная с его помощью 
самая замысловатая объемная структура. Поскольку уровни организации 
фрактальных феноменов самоподобны, то внутри каждого из них мы 
можем наблюдать конфигурацию, отражающую всю систему в целом, что 
открывает перспективы расширения применения методов фрактальной 
геометрии на сложные социальные объекты. 

Следующая особенность фрактальной геометрии заключается в том, 

что она позволяет создавать эвристически продуктивные, прогнозируемые 
в своем развитии, модели. Эти модели обладают  уникальным свойством: с 

их помощью возможно обнаруживать и имитировать не только линейные, 
но и нелинейные эффекты, например, оценивать уровень энтропии 
системы и основные вектора ее развития или деградации. В связи с этим 
для исследователей наиболее важным является применение фрактального 
подхода как средства моделирования и анализа сложных, нелинейных 
социальных систем. Более того, фрактальные методы позволяют перейти 
от качественного описания иерархической структуры сложных систем к 
количественным 
показателям 
и 
открывают 
широкие 
перспективы 

характеристики сложных неравновесных систем. Однако следует заметить, 
что, несмотря на проявившуюся актуальность и возможность реализации 
на достигнутом сегодня уровне развития наук, фрактальный подход в 
области педагогики и образования фактически не исследован, в научнопедагогической литературе редко рассматривается и, следовательно,  не 
имеет практического применения. Таким образом, подробная разработка 
методики приложения фрактального анализа к структурам педагогических 
объектов, а также эмпирическая верификация такого подхода на 
материалах различных учебных дисциплин, в частности математических, 
представляется одной из актуальных задач современной теоретической 
педагогики. 

В своей монографии, обобщающей результаты наших исследований 

последнего периода, мы попытаемся продемонстрировать универсальность 
и эффективность парадигмы самоподобия, являющейся теоретическим 
базисом фрактальной геометрии, на примерах приложений к некоторым 
задачам дидактики. В связи с этим в структуру исследования нами 
включены следующие три главы: 

Глава 1 посвящена краткому изложению математических основ 

теории фракталов и мультифракталов. Фрактальная геометрия имеет свой 
достаточно специфический терминологический язык, знакомство с 
которым существенно облегчит чтение и восприятие содержания 
последующих 
глав. 
Поэтому 
неизбежной 
особенностью 
стала 

значительная детализация математических понятий. Глава подготовлена с 
опорой на первоисточники, ссылки на которые приведены в списке 
литературы. 

Глава 
2, 
по 
своей 
сути, 
методологическая, 
продиктована 

стремлением авторов легализовать методологию фрактальной геометрии в 
социальных и гуманитарных исследованиях. Здесь приведен критический 
обзор современной научной литературы по применению фрактальной 

методологии к анализу объектов и явлений социальных и гуманитарных 
наук, показаны возможности и перспективы  применения концепции 
фрактального 
самоподобия 
в 
педагогике. 
Наибольший 
интерес 

представляет 
системногенетический анализ методологии отбора 
и 

конструирования 
содержания 
образования 
на 
основе 
анализа 

отечественного 
и 
мирового 
образовательного 
опыта. 
Авторы 

демонстрируют тот факт, что проблемы отбора и структурирования 
содержания образования могут быть успешно решены посредством 
привлечения фрактального подхода, а также устанавливают преимущества 
фрактального структурирования содержания обучения. 

Глава 3 является концептуальной, поскольку в ней формализованы 

основные положения развиваемого в гл. 2 фрактального подхода к отбору 
и 
структурированию 
содержания 
обучения, 
адаптированные 
к 

педагогической 
аудитории. 
Глава 
представляет 
собой 
краткое 

«практическое руководство» по технике проектирования понятийного 
аппарата на основе фрактального подхода, приведены примеры построения 
фрактальных структур вероятностно-статистических ключевых понятий и 
их усвоения посредством расширяемого банка учебно-познавательных и 
исследовательских  задач. 

В заключение необходимо отметить, что наше исследование  является 

попыткой 
развития 
пионерских 
идей 
анализа 
и 
моделирования 

педагогических объектов на базе и посредством фрактальной геометрии 
Мандельброта 
с 
учетом 
исторических 
предпосылок 
и 
реалий 

современности. 
 
 

Глава I. Фракталы и мультифракталы: математические 

основы 

1.1. Концепция линейного самоподобия 

 

1.1.1. Понятие фрактала 
 

Как известно, у понятия фрактала нет точного определения, 

исследователи до сих пор не могут прийти к единой дефиниции этого 
феномена. Естественно, что встает вопрос о том, возможно ли это 
определение и возможна ли логическая экспликация введения понятия 
фрактала в научную практику. Человек, один раз увидевший фрактал, 
узнает его в любых формах, какие бы он не принимал. Фракталы везде и 
всюду — это кроны и корни деревьев, облака, снежинки, кристаллы, 
кораллы, морские раковины и морские звезды, домик улитки, береговые 
линии и даже садовая цветная капуста. Ярким примером фрактала в 
природе может служить также «романская брокколи» или «цветная 
коралловая капуста» (рис. с обложки). Однако в самом понятии фрактала 
большая роль отведена интуитивному пониманию. 

При рассмотрении в увеличенном масштабе небольшого фрагмента 

известных из курса математики таких «регулярных» фигур, как 
окружность, эллипс или график гладкой функции,  можно заметить, что он 
будет схож с фрагментом прямой. Для фрактальных же фигур увеличение 
масштаба не приводит к упрощению структуры фигуры, напротив, во всех 
шкалах представлена однообразно сложная нетривиальная структура. 
Например, взять хотя бы кучевые облака. Они состоят из больших холмов, 
на которых располагаются холмы поменьше, на последних  — холмы еще 
меньше и т.д. В итоге можно заключить, что в среднем на разных 
масштабах наблюдается одна и та же картинка. То же происходит и при 
рассмотрении других объектов. Если разрезать один из цветков цветной 
капусты, то в руках останется все та же цветная капуста, только меньшего 
размера. При дальнейшем процессе деления капусты под микроскопом 
можно обнаружить крошечные копии цветной капусты. Из этих 
простейших примеров можно установить, что даже маленькая часть 
фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре. 

И, тем не менее, дефиниции понятия фрактала существуют. В самом 

простом случае «фрактал» — это особый тип геометрической фигуры, в 
которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении 

масштаба; «фрактальный» — это характеристика структуры, явления или 
процесса, обладающих свойствами фрактала [15].  

Американским математиком  Бенуа Мандельбротом сорок лет назад  

была введена фундаментальная категория фрактала. Однако данное 
понятие вводится им в научное знание не аксиоматически и не с помощью 
строгих математических определений, а с помощью следующей модели. 

Во-первых, был введен термин «фрактал»: «Я придумал слово 

"фрактал", 
взяв 
за 
основу 
латинское 
прилагательное 
"fractus", 

означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный» [54]. Позднее 
Мандельброт расширил это описание следующим образом: «Я создал 
термин 
фрактал 
от 
латинского 
прилагательного 
fractus. 

Соответствующий латинский глагол frangere означает "разрывать, 
прерывать": создавать нерегулярные фрагменты. Это, следовательно, 
имеет (подходящее для нас!) значение, дополнительное к термину 
"фрагментированный" 
(как 
и 
к 
терминам 
"фракция" 
(fraction), 

"рефракция" (refraction)), fractus также означает "нерегулярный", оба 
значения сохраняются в термине fragment» [26, с.18] 1. 

Таким образом, согласно определению Б. Мандельброта, фракталы — 

это объекты различной природы (математические, природные, созданные 
человеком), которые имеют неправильную, изрезанную, раздробленную 
форму. Мандельброт указал, что степень неправильности (фрагментации) 
фракталов неизменна во всех масштабах. Задача фрактальной геометрии 
состоит в изучение таких объектов. 

Во-вторых, было определено понятие фрактала через размерность 

Хаусдорфа-Безиковича (в предисловии к эссе 1975 г. [см. выше]): 
«Фракталом называют множество, для которого топологическая 
размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше его топологической 
размерности:     ». 

Для фундаментальной характеристики самоподобия используется 

геометрический показатель df — размерность подобия, частный случай 

фрактальной размерности объекта. Отношение 


r

N
d f
1
log
log

 определяет 

размерность подобия, где параметр r – коэффициент подобия, N – 
параметр покрытия (минимальное число «клеток», необходимых для 
покрытия объекта).  

 

1 Первое английское издание вышло в 1977 г., второе — в 1982 г. 

Следует сказать, что свойство точного самоподобия прослеживается 

лишь у фракталов, относящихся к классу регулярных. Если в процесс его 
создания внести некоторый элемент случайности, то тогда мы будем иметь 
дело со случайными фракталами. Они отличаются от регулярных тем, что 
в них самоподобие выполняется только после получения соответствующих 
средних значений по всем воплощениям объекта, которые являются 
статистически независимыми. Поэтому увеличенный фрагмент такого 
множества не точно совпадает с начальным фрагментом, а только 
происходит совпадение их статистических характеристик.  

Таким образом, сложность Природы не только качественно, но и 

количественно превосходит все то, что допускает геометрия Евклида. 

В-третьих, был осуществлен запуск самоорганизации нового научного 

понятия «фрактал» на уровне общедоступности путем активизации 
процесса перцепции фрактальных структур в различных математических и 
природных формах с целями распространения понятия фрактала в 
различных 
областях 
знания, 
присвоения 
этому 
понятию 

междисциплинарного 
статуса, 
использования 
стратегии диалога 
и 

полилога 
для 
создания 
массовой 
научной 
коммуникации 
как 

интегративной среды самоорганизации. 

С появлением концепции фрактала термины «хаос», «хаотические 

процессы», «хаотическая динамика» приобрели новые научные смыслы, 
формирующие новые научные понятия. Стало возможным количественно 
оценивать сложноорганизованные явления различной природы, степени 
хаотичности, 
уровни 
организации 
и 
самоорганизации 
сложных 

саморазвивающихся 
систем. 
Благодаря 
этому 
проблемное 
поле 

рассмотрения концепции фрактала коррелирует с методологическими 
проблемами 
становления 
постнеклассической 
науки, 
связанной 
с 

появлением различных теорий хаоса и самоорганизации, синергетики, 
междисциплинарных 
методологий 
исследования 
сложных 
систем, 

согласованных с методами визуализации сложных моделей. Таким 
образом, фрактальная концепция приобретает междисциплинарный статус 
—  статус новой «осевой науки» — через создание интерсубъективной 
среды для активного диалога между учеными. 

Концепция фрактала находит свое дальнейшее развитие в трудах 

таких ученых, как В.И. Арнольд, П. Берже, К. Видаль, Ю.А. Данилов,           
С.П. Курдюмов, Е. Лоренц, Г.Г. Малинецкий, Дж. Николис, И. Пригожин, 
Е. Федер и других. Определенные шаги в изучении фрактальной теории