Арифметические кольца и эндоморфизмы

Национальный исследовательский университет МЭИ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова




            А.А. Туганбаев





                АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА И ЭНДОМОРФИЗМЫ




Монография












Москва Издательство «ФЛИНТА» 2018

УДК 512.5
ББК 22.144

    Т81




Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 16-11-10013)







   Туганбаев А.А.
Т81 Арифметические кольца и эндоморфизмы : монография /

      [Электронный ресурс] А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2018. — 180 с.

       ISBN 978-5-9765-3893-1


       В данной работе приводятся с доказательствами некоторые результаты об арифметических кольцах и модулях со свойствами продолжения эндоморфизмов или автоморфизмов. Ключевые слова: арифметическое кольцо, дистрибутивный модуль, плоский модуль, локализация по максимальному идеалу, кольцо Безуэрмитово кольцо, эндоморфизм-продолжаемый модуль, автоморфизм-продолжаемый модуль, автоморфизм-инвариантный модуль, квазиинъективный модуль, строго полупервичное кольцо.
       Для студентов и аспирантов математических факультетов высших учебных заведений и научных работников.

УДК 512.5
ББК 22.144




ISBN 978-5-9765-3893-1

    © Туганбаев А.А., 2018
© Издательство «ФЛИНТА», 2018

СОДЕРЖАНИЕ



Введение...........................................5

1. Насыщенные идеалы и локализации.................20
1.1. Дистрибутивные модули........................20
1.2. Насыщенные подмодули и насыщения.............25
1.3. Локализуемые кольца..........................29

2. Конечнопорожденные модули и диагонализируемость.39
2.1. Аннуляторы и конечнопорожденные модули.......39
2.2. Диагонализируемые кольца.....................41

3. Кольца с плоскими и квазипроективными идеалами..43
3.1. Плоские модули...............................43
3.2. Плоские идеалы и подмодули...................53
3.3. Модули, близкие к проективным................61

4. Эрмитовы кольца и пирсовские слои..............75
4.1. Эрмитовы кольца..............................75
4.2. Пирсовские слои..............................80

5. Кольца Безу, размерность Крулля................90
5.1. Кольца и модули Безу.........................90
5.2. Кольца с размерностью Крулля.................95

6. Полуартиновы и несингулярные модули............ 102
6.1. Полуартиновы модули.......................... 102
6.2. Сингулярные и несингулярные модули............ 115

7. Модули над сильно первичными и сильно полупервичными кольцами................ 124
7.1. Модули над сильно полупервичными кольцами..... 124
7.2. Модули над наследственными нётеровыми первичными кольцами............................. 129

8. Эндоморфизм-продолжаемые модули и кольца..... 139
8.1. Сильно эндоморфизм-продолжаемые модули.... 139
8.2. Эндоморфизм-продолжаемые кольца........... 145
8.3. Кольца с эндоморфизм-продолжаемыми циклическими модулями.......................... 150

9. Автоморфизм-инвариантные модули и кольца.... 158
9.1. Автоморфизм-инвариантные модули........... 158
9.2. Автоморфизм-инвариантные кольца........... 166

Список литературы.............................. 169
Предметный указатель........................... 179

                Введение




Данная книга состоит из двух частей. В части I "Арифметические кольца "систематически исследуются не обязательно коммутативные кольца с дистрибутивной решеткой двусторонних идеалов. В части II "Продолжение автоморфизмов и эндоморфизмов "исследуются модули со свойством продолжения автоморфизмов и эндоморфизмов с подмодулей па весь модуль, а также характеристические подмодули своих инъективных оболочек.
Основное содержание работы.
Основными результатами раздела 1 "Насыщенные идеалы и локализа-ции"являются теоремы 1А, 1В и 1С.
1А. Теорема, Туганбаев [132]. Инвариантное справа кольцо A является арифметическим в точности тогда, когда для любого сто максимального идеала M в се {A \ M ^насыщенные и деалы кольца A образуют цепь по включению.
1В. Теорема, Йенсен [70]. Коммутативное кольцо A является арифметическим в точности тогда, когда для любого его максимального идеала M локализация AM является цепным кольцом.
1С. Теорема, Туганбаев [117]. Инвариантное справа кольцо A является арифметическим полупсрвичпым кольцом в точности тогда, когда для любого его максимального идеала M правая локализация AM существует и является цепной справа областью.
Основными результатами раздела 2 "Конечно порожденные модули и диа-гопализируемость"являются теоремы 2А и 2В.
2А. Теорема, Голод [52]. Если A - коммутативное кольцо, то A арифме-тично в точности тогда, когда B + r (X) = r (X/XB) для каждого конечно порожденного A-модуля X и каждого идеала B кольца A.
2В. Теорема, Туганбаев [147]. Если A - инвариантное справа диагонализируемое¹ кольцо, то B + r (X) = r (X/XB) для каждого конечно порожденного правого A-модуля X и каждого идеала B кольца A.
Основными результатами раздела 3 "Кольца с плоскими и квазипроектив-пыми идеалами"являются следующие теоремы ЗА, ЗВ и ЗС.
ЗА. Теорема, Туганбаев [117], [121], [142]. Для инвариантного полупер-вичного кольца A равносильны условия:
1) A - арифметическое кольцо;
2) каждый подмодуль любого плоского A-модуля является плоским;

  ¹ Определение диагонализируемого кольца приведено в 2.2.1.

5

3) каждый конечно порожденный идеал кольца A является квазипроек-тивным правым A-модулем.
ЗВ. Теорема, Йенсен [70]. Коммутативное кольцо A является арифметическим полупервичпым кольцом в точности тогда, когда каждый подмодуль любого плоского A-модуля является плоским модулем.
ЗС. Теорема [142]. Если A - инвариантное кольцо, то A является арифметическим кольцом в точности тогда, когда каждый сто конечно порожденный идеал является квазипроективным правым A-модулем, у которого все эндоморфизмы продолжаются до эндоморфизмов модуля AA.
Основными результатами раздела 4 "Эрмитовы кольца и пирсовские слои"являются теоремы 4А и 4В.
4А. Теорема, Туганбаев [143]. Если A - правое РР кольцо Безу без нецентральных идемпотентов, то A - эрмитово кольцо.
4В. Теорема, Туганбаев [143]. Если A - кольцо Безу, у которого каждый пирсовский слой является полуцепным кольцом, то A - диагонализируемое кольцо.
Основными результатами раздела 5 "Кольца Безу, размерность Крул-ля"являются теоремы 5А, 5В и 5С.
5А. Теорема, Туганбаев [143]. Если A - заменяемое кольцо Безу без нецентральных идемпотентов, то A - диагонализируемое кольцо.
5В. Теорема, Туганбаев [147]. Если A - инвариантное справа заменяемое правое кольцо Безу, то B + r (X) = r (X/XB) для каждого конечно порожденного правого A-модуля X и каждого идеала B кольца A.
5С. Теорема, Туганбаев [148]. Если A - коммутативное арифметическое кольцо, то A обладает размерностью Крулля в точности тогда, когда каждое фактор-кольцо кольца A конечномерно и не имеет идемпотентных собственных существенных идеалов.
Основными результатами раздела 6 "Полуартшювы и несингулярные мо-дули"являются теоремы 6А, 6В и 6С.
6А. Теорема, Туганбаев [144]. Если M - полуартинов² модуль, то M является автоморфизм-продолжаемым модулем в точности тогда, когда M -автоморфизм-ипвариаптпый модуль.
6В. Теорема, Туганбаев [134]. Если M - модуль над артиновым полуцепным кольцом, то M является автоморфизм-продолжаемым модулем в точности тогда, когда M - квазиинъективный модуль.

  ²Модуль M называется полуартиновым, если каждый его ненулевой фактор-модулв имеет простой подмодули.

6

6С. Теорема, Туганбаев [136]. Пусть M = TфU, где T - инъективный модуль, U - несингуляр!гый модуль, и Hom(T', U) = 0 для любого подмодуля T' модуля T. Модуль M является автоморфизм-продолжаемым в точности тогда, когда U - автоморфизм-продолжаемый модуль.
Основными результатами раздела 7 "Модули над сильно первичными и сильно полупервичпыми кольцами "являются теоремы 7А и 7В.
7А. Теорема, Туганбаев [139]. Если A - сильно первичное справа кольцо, то правый A-модуль M является автоморфизм-инвариантным в точности тогда, когда либо M - сингулярный автоморфизм-инвариантный модуль, либо M - инъективный модуль.
7В. Теорема, Туганбаев [136]. Если M - правый модуль над инвариантной наследственной областью A, то равносильны условия:
1)   M   -   автоморфизм-продолжаемый    (сильно  автоморфизмпродолжаемый) модуль;
2)   M   -   эндоморфизм-продолжаемый    (сильно  эндоморфизмпродолжаемый) модуль;
3)   либо M - квазиинъективный сингулярный модуль, либо M - инъективный модуль, не являющийся сингулярным, либо M = X ф У, где X - инъективный сингулярный модуль у модуль У изоморфен ненулевому подмодулю в Qa, где Q - тело частных области A.
Основными результатами раздела 8 "Эндоморфизм-продолжаемые модули и кольца"являются теоремы 8А и 8В.
8А. Теорема, Туганбаев [127]. Кольцо A эндоморфизм-продолжаемо справа и несингулярно справа в точности тогда, когда A = B х C, где B - инъективное справа регулярное кольцо, C - инвариантное слева бэров-ское редуцированное кольцо и C - вполне целозамкнутое справа подкольцо своего максимального правого кольца частных Q.
8В. Теорема, Туганбаев [122]. Кольцо A является нётеровым справа (слева) кольцом, над которым все циклические правые (левые) модули являются эндоморфизм-продолжаемыми, в точности тогда, когда A = Aх х... х An, где Ai - либо простое артиново кольцо, либо цепное артиново кольцо, либо инвариантная наследственная нётерова область, i = 1,... ,n.
Основными результатами раздела 9 "Автоморфизм-инвариантные несингулярные модули и кольца"являются теоремы 9А, 9В, 9С, 9D.
9А. Теорема, Туганбаев [145]. Пусть A - сильно полупервичное справа кольцо. Если X - правый A-модуль и найдется такой существенный правый идеал B кольца A, что X инъективен относительно модуля BA, то X -инъективный модуль.
9В. Теорема, Туганбаев [149]. Если A - кольцо с правым радикалом Гол

7

ди G, то равносильны условия:
1) каждый несингулярный правый Л-модуль X, который инъективен относительно какого-нибудь существенного правого идеала кольца Л, является инъективным модулем;
2) Л/G - сильно полупервичное справа кольцо.
9С. Теорема, Туганбаев [149]. Для кольца Л с правым радикалом Голди G равносильны условия:
1) Л/G - полупервичное правое кольцо Голди;
2) любая прямая сумма автоморфизм-ипвариаптпых несингулярных правых Л-модулей является автоморфизм-инвариантным модулем;
3) любая прямая сумма автоморфизм-ипвариаптпых несингулярных правых Л-модулей является инъективным модулем.
9D. Теорема, Туганбаев [146]. Кольцо Л является автоморфизм-инвариантным справа несингулярным справа кольцом в точности тогда, когда Л = S х Т, где S - инъективное справа регулярное кольцо и Т - строго регулярное кольцо, содержащее все обратимые элементы своего максимального правого кольца частных.
Доказательство приведенных выше теорем 1A-9D разбито па ряд утверждений, некоторые из которых имеют самостоятельный интерес.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей. Модули предполагаются унитарными и, когда не указана сторона, правыми. Слова типа "кольцо Безу"озпачают "правое и левое кольцо Безу".
I. Дистрибутивные решетки. Арифметические модули и кольца. Дистрибутивные модули и кольца.
Главная цель части I данной книги - изучение не обязательно коммутативных арифметических колец.
а. Решетка С с операциями Пи + называется дистрибутивной, если выпол-________________________________я __
иены следующие два эквивалентных условия:
i) X П (Y + Z) = X П Y + X П Z для всех X,Y,Z е С;
ii) (X + Y) П (X + Z) = X + Y П Z) для всех X,Y,Z е С.
Ъ. Кольцо с дистрибутивной решеткой идеалов называется арифметическим кольцом.
Непосредственно проверяется, что кольцо Л является арифметическим в точности тогда, когда X П (Y + Z) = X П Y + X П Z для всех 1-порожденных идеалов X, Y, Z кольца Л.
с. Подмодуль M модуля X называется вполне инвариантным (соотв., характеристическим) подмодулем в X, если а(M) С M для каждого

  ³Эквивалентность условий а) и Ь) хорошо известна; см., например, [58, Section 1.4, Lemma 10].

8

эндоморфизма (соотв., автоморфизма) а модуля X.
Модуль M называется арифметическим, если решетка L всех его вполне инвариантных подмодулей дистрибутивна.
Поскольку идеалы кольца A совпадают с вполне инвариантными подмодулями в AA и с вполне инвариантными подмодулями в ₐA, то арифметичность кольца A равносильна как арифметичности модуля Aₐ, так и арифметичности модуля ₐA.

d. Модуль называется дистрибутивным, если решетка всех сто подмодулей дистрибутивна. Модуль называется цепным, если любые два сто (циклических) подмодуля сравнимы по включению.
Каждый цепной модуль дистрибутивен и каждый дистрибутивный модуль арифметичен. Кольцо целых чисел Z - дистрибутивный нецепной Z-модуль. Прямая сумма Z/2Z ф Z/2Z - арифметический недистрибутивный Z-модуль.
е. Пусть A - простое кольцо, не являющееся телом (например, пусть A -кольцо всех 2 х 2 матриц над телом). Тогда A - арифметическое кольцо, не являющееся дистрибутивным справа или слева.
f. Модуль M называется инвариантным или дуо модулем, если все его подмодули вполне инвариантны в M.
Кольцо называется инвариантным справа (соотв., слева), если все сто правые (соотв., левые) идеалы являются идеалами, т.е. A является инвариантным правым (соотв. левым) A-модулем. Кольцо A инвариантно слева (соотв., справа) в точности тогда, когда ₐA (соотв., Aₐ) - инвариантный модуль.
Ясно, что инвариантное справа кольцо является арифметическим в точности тогда, когда оно дистрибутивно справа.
Инвариантные слева и справа кольца называются инвариантными или дуо кольцами.
Все коммутативные кольца инвариантны. Если A - некоммутативное тело, то A и A [[x]] - некоммутативные инвариантные кольца.
II. В коммутативной алгебре арифметические кольца играют важную роль; они входят в характеризации различных интересных и важных колец в силу того, что:
i) коммутативные арифметические кольца совпадают с коммутативными кольцами, у которых все локализации по максимальным идеалам являются цепными кольцами [70];
ii) все подмодули плоских модулей над коммутативным кольцом A являются плоскими в точности тогда, когда A - арифметическое полупервичное кольцо [70].
Арифметические кольца также возникают при решении многих других

9

задач коммутативной и гомологической алгебры в качестве необходимых или/и достаточных условий. См., например, работы [11], [16], [33], [34], [35], [36], [45], [46], [49], [50], [51], [52], [63], [70], [71], [91], [92], [101], [140], [142], [148], [151], [152].
III. Модули и кольца Безу.
Модуль называется модулем Безу, если все сто конечно порожденные подмодули цикличпы.
Каждый цепной модуль является дистрибутивным модулем Безу. Кольцо целых чисел - коммутативное дистрибутивное неценное кольцо Безу.
а. Каждое инвариантное справа правое кольцо Безу A дистрибутивно справа и, в частности, арифмстичпо. В этом случае каждый циклический правый A-модуль дистрибутивен, и каждое фактор-кольцо кольца A - инвариантное справа дистрибутивное справа правое кольцо Безу.
Действительно, достаточно доказать, что X = X П Y + X П Z для любых главных правых идеалов X, Y, Z кольца A с условием X С Y + Z. Так как AA - модуль Безу, то Y + Z - циклический правый модуль над инвариантным справа кольцом A. Поэтому существует такой идеал B в A, что
X = (Y + Z)B = YB + ZB С X П Y + X П Z С X.
Ъ. Нетрудно проверить, что дистрибутивность модуля равносильна дистрибутивности всех сто 2-порождсппых подмодулей. Поэтому дистрибутивность модуля Безу равносильна тому, что каждый сто циклический! подмодуль дистрибутивен
с. Из двух предыдущих утверждений вытекает, что каждый правый модуль Безу M над инвариантным справа кольцом A является дистрибутивным модулем.
IV. В отличие от коммутативного случая, класс произвольных некоммутативных арифметических колец слишком широк для содержательного изучения, поскольку включает в себя все простые кольца, все регулярные (по фон Нейману) кольца, все наследственные пётсровы полупсрвичпыс кольца, все бирсгулярпыс кольца и другие широкие классы колец (см. VI(c) и VII(a,b) ниже). Поэтому необходимо рассматривать арифметические кольца, которые достаточно близки к коммутативным. Однако, и в этом случае исследование становится гораздо более трудным, чем в коммутативном случае.
Например, даже если мы будем рассматривать инвариантные арифметические кольца с сильными дополнительными условиями, то как показывает приведенный ниже пример, для таких колец не обязаны существовать аналоги локализаций по максимальных идеалов, которые существуют для любых коммутативных колец и являются важнейшим инструментом при изучении коммутативных колец.

10