Арифметические кольца и эндоморфизмы

Национальный исследовательский университет МЭИ 

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 

А.А. Туганбаев 

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА 
И ЭНДОМОРФИЗМЫ 

Монография 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2018 

УДК 512.5 
ББК  22.144 
 Т81 

Исследование выполнено за счет гранта  
Российского научного фонда (проект 16-11-10013) 

Туганбаев А.А. 
Т81      Арифметические кольца и эндоморфизмы : монография /  

 [Электронный ресурс] А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 
2018. — 180 с. 

     ISBN 978-5-9765-3893-1 

В данной работе приводятся с доказательствами некоторые 
результаты об арифметических кольцах и модулях со свойствами 
продолжения эндоморфизмов или автоморфизмов. Ключевые 
слова: арифметическое кольцо, дистрибутивный модуль, плоский 
модуль, 
локализация 
по 
максимальному 
идеалу, 
кольцо 
Безуэрмитово кольцо, эндоморфизм-продолжаемый модуль, 
автоморфизм-продолжаемый 
модуль, 
автоморфизминвариантный 
модуль, 
квазиинъективный 
модуль, 
строго 
полупервичное кольцо. 

Для студентов и аспирантов математических факультетов 

высших учебных заведений и научных работников. 
УДК 512.5 
ББК 22.144 

ISBN 978-5-9765-3893-1 
  © Туганбаев А.А., 2018 
        © Издательство «ФЛИНТА», 2018 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение .......................................................................................... 5 
 
1. Насыщенные идеалы и локализации .................................. 20 
1.1. Дистрибутивные модули ....................................................... 20 
1.2. Насыщенные подмодули и насыщения ................................ 25 
1.3. Локализуемые кольца ............................................................ 29 
 
2. Конечнопорожденные модули и диагонализируемость ...... 39 
2.1. Аннуляторы и конечнопорожденные модули ..................... 39 
2.2. Диагонализируемые кольца .................................................. 41 
 
3. Кольца с плоскими и квазипроективными идеалами ..... 43 
3.1. Плоские модули ...................................................................... 43 
3.2. Плоские идеалы и подмодули ............................................... 53 
3.3. Модули, близкие к проективным .......................................... 61 
 
4. Эрмитовы кольца и пирсовские слои ................................. 75 
4.1. Эрмитовы кольца ................................................................... 75 
4.2. Пирсовские слои ..................................................................... 80 
 
5. Кольца Безу, размерность Крулля ....................................... 90 
5.1. Кольца и модули Безу ............................................................ 90 
5.2. Кольца с размерностью Крулля ............................................ 95 
 
6. Полуартиновы и несингулярные модули ......................... 102 
6.1. Полуартиновы модули ......................................................... 102 
6.2. Сингулярные и несингулярные модули ............................. 115 
 
7. Модули над сильно первичными  
и сильно полупервичными кольцами ................................... 124 
7.1. Модули над сильно полупервичными кольцами ............... 124 
7.2. Модули над наследственными нётеровыми  
первичными кольцами ................................................................. 129 

8. Эндоморфизм-продолжаемые модули и кольца ............. 139 
8.1. Сильно эндоморфизм-продолжаемые модули .................. 139 
8.2. Эндоморфизм-продолжаемые кольца ................................ 145 
8.3. Кольца с эндоморфизм-продолжаемыми  
циклическими модулями ............................................................ 150 
 
9. Автоморфизм-инвариантные модули и кольца .............. 158 
9.1. Автоморфизм-инвариантные модули ................................. 158 
9.2. Автоморфизм-инвариантные кольца .................................. 166 
 
Список литературы .................................................................. 169 
Предметный указатель ............................................................ 179 
 

!"#$%&$%&'
$&(!)!* +!,!! ! *-' *. */01*2345&A ' M {A \ M}!,!! A &&617849A ' M
AM &!01**745&A &&!' M &AM ,&&)!3 9&$!! 3- 3.:1;34<A = ' A ' B + r(X) = r(X/XB) $&$AX $B A01*>74<A = &' B + r(X) = r(X/XB) $&$&AX $B A)!2 9&&!,! 2-' 2. 2/01**74' 1*3*4' 1*>34&&A ! ?

A = @

$!&&A&@

;

A AA !" !#$!!A%&'(A ) " A !" !!A" !*#*AA+& ,-,#&. &/0!$%&1(A ) 22 3$4 " A ) *0!$%&1(A ) 3" !" A ) !+5 ,3" ,#5." 5/ 560!$%&1(A ) 3$4 " A ) !0!$%&(A ) 3" B + r(X) = r(X/XB) !!!AX !B A0!$%&7(A ) " A $# !" !A 4 $4 84 +9 ,:!,#9." 9/ 960!$%&&(M ) " M !" !M )
0!$%1&(M ) " M !" !M ) ;M 9

 M = T ⊕UT U Hom(T ′, U) = 0 !"T ′ T#M $%" &'U $%" &(%%) *#"'""'+*!), )-./A "'" +" AM $%'M $%M /M " ! A0
M
$%" &1$%" &2 3
M
4$%" &14$%" &2 3
M %M !5M = X ⊕ Y X
Y %$"! QAQ '6 A(%%7 *8$%" &+*!7, 7-9):+A 4$%" &" " 'A = B × CB
" +C 4 ++C "+%" "+" +'6 Q99:+A ;" 12 ++'" 12 !4$%" &'A = A1×. . .×AnAi " ++"+;i = 1, . . . , n(%%. *<$%+*!.,.-.=.>?@A ""'" +/X " A5" B +A'X BAX ?./A +" A)

GAXAA/G 
!"#$%& 'A (G A/G ()*+, , , A*+)*+, , , A
!"#$-& 
.A
*+A = S × TS T
/, 

'+, 0#1%2 ++ , )
3)4)+567+6+)67+6 

!"!"(8 ++, *, 
#90L ∩ + +)/,$X ∩ (Y + Z) = X ∩ Y + X ∩ Z , X, Y, Z ∈ L$$(X + Y ) ∩ (X + Z) = X + Y ∩ Z) , X, Y, Z ∈ L 

%.0+:A *X ∩(Y +Z) = X ∩Y +X ∩Z , #,
X, Y, Z A 

&;M X +<,= Xα(M) ⊆ M !"#$ %&'((%)*>

α XM L !A "#
AA AAA AAAA"!$#
"$"%&!&#
$%!!$Z ' !Z#
Z/2Z ⊕ Z/2Z ' $Z#A ' !"(A '
!2 × 2 ! )A ' $!"(M #
M%!#
"A #
A#%!A $AA AA' *$!$$#
+!"!,!-A ' A A[[x]] ' !, $!"&"
. !$&#
! $/
$!"!!"#
!!0123.
!A #
"$A ' $$!01234$!&"5

!!"!#!!$%#%""$##$&!!$'( ) *+
,-*,( ))) .-(,,/ ,(,.-*(,.A +
01 2*,+
A+( *0+(,(,A / +
(,.3( (X = X ∩ Y + X ∩ Z ) 4X, Y, Z (,A X ⊆ Y + Z5AA / ( .Y + Z / ,( +
(,A627B AX = (Y + Z)B = Y B + ZB ⊆ X ∩ Y + X ∩ Z ⊆ X.

8(( ) (+
$+*62+
( ) .(*,( 97**+
( .M (,A ))) +
1 )(+
0, ::) *(+
)(4) (,);08< (,=(+
,)(,:, ;>?;@< >??;AB< *<62( 0(+
,C2+
) 8*( 0+
(,(()+
*) , )7(
,(74)
4, ))4) *:,#

A A !"! !#$ %!Z & ' (Q & ' (Q[i] & (' ' )!' (Z[i] #i2 = −1$*+((ϕ
,q1 + q2i → q1 − q2i Q[i]%!R1 R2 & !- +)' Z[i] 2+i 2−i .)R1 R2 &
!+)' *+(R ≡ R1 ∩R2%!X Y & R2 + i 2 − i /!+)' R ' X Y RX = R1RY
= R2ϕ(RX) = RY X + Y
= RJ(R) = X ∩ Y = (2 + i)(2 − i)R = 5R ,R/J(R) ,! 0 - A/X A/Y /R ' ' ' )!' +-' 2 + i2 − i*+((M - R!Q[i]/RX.)+!MR (+!0+(!0 (!0 )01!0 0 = s0R ⊂ s1R ⊂ s2R ⊂ . . .)- !s1R ,!0 R/Y = R/(2 − i)R rR(sn) = (2 − i)nR ' n ∈ N2 M - R!! rm = mϕ(r) ' r ∈ R m ∈ M3(M & RR+!01-() R!*+((A RR+!M 10
R3(A & 4!+' )!R M !((r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + m1r2) = (r1r2, m2ϕ(r1) + m1r2)

0+ ' r1, r2 ∈ R m1, m2 ∈ M%(1, 0) & A2 
+!MX Y (0, M)(X, 0) (Y, 0) A /R (R, 0) A%() A1M0R!M5(mA = Am 0+)m ∈ M,A/J(A) ,! 0 - A/X A/Y M 2 = 0,A/M ,!- +)'
RM & - - - (-) A!"!- - (-) A!s1A = As1 & 4- !

() ArA(s1) = Y ℓA(s1) = XAX = (2 + i)A = ℓA(s1) = Nℓ Y = (2 − i)A = rA(s1) = Nr(2 + i) + (2 − i) = 4 = 5 − 1 A5 ∈ J(A)x = (2 + i)/4 ∈ X1 − x = (2 − i)/4 ∈ Y (2 + i)s1 = s1ϕ(2 + i) = s1(2 − i) = 0xs1 = s1(1 − x) = 0x ∈ X \ J(A) =
X \ Y
⊆ Nℓ1 − x ∈ Y \ X = Y \ J(A) ⊆ Nrs1 ∈ r(x) ∩ ℓ(1 − x)r(s1) ∩ (A \ Y ) = Y ∩ (A \ Y ) = ∅ℓ(s1) ∩ (A \ X) = X ∩ (A \ X) = ∅A ! X A ! Y J(A) "() # A$M %% %AA & A & #"'(#%# (%(M & R(%) *+ A/M & ', M & A', mA = Am # "m ∈ M, s1A &
-() A(... /! "'## )  ))! # ! ##! *-) *) -, 012301130456304553
0451304523A %) ) ) & 7A !"*A *!A & *8X = X ∩ Y + X ∩ Z # %) ) X, Y, Z X ⊆ Y + Z% X ∩ Y ∩ Z ̸= 0h: A → A/(X ∩ Y ∩ Z) & *9h(A) *h(X) = h(X) ∩ h(Y ) + h(X) ∩ h(Z)7X + X ∩ Y ∩ Z = X ∩ Y + X ∩ Z + X ∩ Y ∩ Z9X = X ∩ Y + X ∩ Z4: