Высшая математика. Основы математического анализа. Задачи с решениями и теория

Национальный исследовательский университет МЭИ
Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
А.А. Туганбаев 
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
Задачи с решениями и теория 
Учебник 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА»  
2018 

УДК 517.5(076.2) 
ББК 22.161я73 
     Т81 
      Туганбаев А.А. 
Т81     Высшая математика. Основы математического анализа.  
Задачи с решениями и теория [Электронный ресурс]: 
учебник / А.А. Туганбаев. —  М. : ФЛИНТА , 2018. — 
316 с. 
ISBN 978-5-9765-3503-9 
Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, производные, 
графики, интегралы и ряды. 
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений. 
УДК 517.5(076.2) 
ББК 22.161я73 
ISBN 978-5-9765-3503-9                     © Туганбаев А.А., 2018 
   © Издательство «ФЛИНТА», 2018 

Оглавление 
1. Пределы и непрерывность функций ..................................... 6 
1.1. Простейшие множества ...................................................... 6 
1.2. Элементарные и неэлементарные функции ..................... 9 
1.3. Различные определения пределов ................................... 16 
1.4. Бесконечно малые функции ............................................. 23 
1.5. Свойства пределов ............................................................ 24 
1.6. Общие свойства непрерывных функций ........................ 30 
1.7. Непрерывность элементарных функций ........................ 33 
1.8. Свойства функций, непрерывных на отрезке ................ 35 
1.9. Два замечательных предела ............................................. 37 
2. Задачи по пределам ................................................................. 43 
2.1. Задачи по пределам с краткими решениями ................... 43 
2.2. Задачи по пределам для самостоятельного  
       решения . ............................................................................. 46 
2.3. Контрольные задания по пределам .................................. 51 
3. Производные ............................................................................ 74 
3.1. Свойства производных ..................................................... 74 
3.2. Производные элементарных функций ............................. 83 
3.3. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя  
       и Тейлора . ........................................................................... 86 
4. Задачи по производным ....................................................... 101 
4.1. Задачи с краткими решениями ....................................... 101 
4.2. Задачи для самостоятельного решения .......................... 105 
4.3. Контрольные задания по производным ........................ 107 
5. Исследование функций и их графиков ............................. 122 
5.1. Асимптоты . ...................................................................... 122 
5.2. Возрастание, убывание и экстремумы функции .......... 123 
5.3. Точки экстремума . ........................................................... 124 
5.4. Направления вогнутости графика .................................. 130 
3

6. Задачи по исследованию функций ..................................... 135 
6.1. Задачи с краткими решениями по исследованию  
       функций . ........................................................................... 135 
6.2. Задачи по исследованию функций  
       для самостоятельного решения ...................................... 154 
6.3. Контрольные задания по исследованию функций ........ 158 
7. Неопределенный интеграл .................................................. 166 
7.1. Общие свойства неопределенного интеграла ................ 166 
7.2. Интегрирование рациональных дробей ......................... 175 
7.3. Интегрирование тригонометрических  
       выражений . ....................................................................... 179 
7.4. Интегрирование иррациональных выражений .............. 182 
8. Определенный интеграл ...................................................... 189 
8.1. Общие свойства определенного интеграла .................... 189 
8.2. Теоремы об определенных интегралах .......................... 196 
8.3. Геометрические приложения интегралов ...................... 203 
9. Несобственные интегралы .................................................. 213 
9.1. Интегралы с бесконечными пределами ......................... 213 
9.2. Интегралы от неограниченных функций ....................... 221 
10. Задачи по интегралам ........................................................ 227 
10.1. Задачи для самостоятельного решения ....................... 227 
10.2. Контрольные задания .................................................... 245 
11. Числовые ряды .................................................................... 258 
11.1. Общие свойства числовых рядов .................................. 258 
11.2. Признаки сравнения и интегральный признак ............ 262 
11.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница ..................... 268 
12. Функциональные ряды ...................................................... 272 
12.1. Общие свойства функциональных рядов ..................... 272 
12.2. Степенные ряды . ............................................................ 277 
12.3. Ряды Фурье . .................................................................... 288 
4

13. Задачи по рядам .................................................................. 292 
13.1. Задачи для самостоятельного решения ....................... 292 
13.2. Контрольные задания ................................................... 300 
 
14. Справочный материал ...................................................... 165 
 

Ïðåäåëû è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé
1.1
Ïðîñòåéøèå ìíîæåñòâà
1.1.1. Ìíîæåñòâà è ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü X, Y, . . . , Z 
ìíîæåñòâà, x, y, . . . , z  èõ ýëåìåíòû.1 Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûå
îáîçíà÷åíèÿ. Çàïèñü x ∈X îçíà÷àåò, ÷òî x  ýëåìåíò ìíîæåñòâà X. Îáîçíà÷åíèÿ Y ⊆X è X ⊇Y îçíà÷àþò, ÷òî Y 
ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà X, ò.å. ìíîæåñòâî Y ñîäåðæèòñÿ â
X; ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ýëåìåíòû èç Y ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè
èç X. Çàïèñè Y ⊊X è X ⊋Y îçíà÷àþò, ÷òî Y  ïîäìíîæåñòâî â X è X ̸= Y . Çàïèñü X = {x1, . . . , xn, . . .} îçíà÷àåò, ÷òî
ìíîæåñòâî X ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ x1, . . . , xn, . . ..
Âìåñòî ñëîâ äëÿ âñåõ, ñóùåñòâóåò, òàêîå, ÷òî â ôîðìóëàõ
èíîãäà èñïîëüçóþòñÿ ñèìâîëû ∀, ∃è : ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç ∅
îáîçíà÷àåòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íèêàêèõ ýëåìåíòîâ.
1.1.2. Îïåðàöèè ñ ìíîæåñòâàìè. ×åðåç X ∩Y è X ∪Y îáîçíà÷àþòñÿ ïåðåñå÷åíèå è îáúåäèíåíèå äâóõ ìíîæåñòâ X è Y ,
÷åðåç X \ Y  ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ èç X, íå ëåæàùèõ â
Y . ßñíî, ÷òî X \ X = ∅.
'$
'$
'$



A + B

&%
&%
&%
A · B

A \ B

1.1.3. ×èñëîâûå ìíîæåñòâà. ×åðåç N, Z, Q, R îáîçíà÷àþòñÿ
ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë n = 1, 2, . . ., âñåõ öåëûõ ÷èñåë z = 0, ±1, ±2, . . ., âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë m/n, ãäå m ∈Z
è n ∈N, âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîäìíîæåñòâà â R íàçûâàþòñÿ ÷èñëîâûìè ìíîæåñòâàìè. ×åðåç R>0, R<0, R≥0 è R≤0
1Ìû íå ïðèâîäèì îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà è åãî ýëåìåíòîâ.
6

îáîçíà÷àþòñÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ, îòðèöàòåëüíûõ,
íåîòðèöàòåëüíûõ è íåïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. Åñëè n ∈N, òî
ïðîèçâåäåíèå 1 · 2 · . . . · n íàçûâàåòñÿ ôàêòîðèàëîì ÷èñëà n è
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç n!; êðîìå òîãî, ñ÷èòàåì, ÷òî 0! = 1.
×åðåç (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] îáîçíà÷àþòñÿ èíòåðâàë, îòðåçîê,
ëåâûé ïîëóèíòåðâàë è ïðàâûé ïîëóèíòåðâàë ñ êîíöàìè òî÷êàõ
a è b, ò.å. ìíîæåñòâî òàêèõ âñåõ ÷èñåë x, ÷òî a < x < b, a ≤x ≤
b, a ≤x < b, a < x ≤b. Ìû òàêæå ðàññìàòðèâàåì áåñêîíå÷íûå
èíòåðâàëû è ïîëóèíòåðâàëû (−∞, +∞) = R, (−∞, b), (−∞, b],
(a, +∞), [a, +∞). Âñå èíòåðâàëû, îòðåçêè è ïîëóèíòåðâàëû (â
òîì ÷èñëå, è áåñêîíå÷íûå) íàçûâàþòñÿ ïðîìåæóòêàìè.
×åðåç ε è δ âñåãäà îáîçíà÷àþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ÷åðåç x0  ÷èñëà (èëè òî÷êè íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé). Èíòåðâàë
(x0 −δ, x0 + δ), çàäàâàåìûé íåðàâåíñòâîì |x −x0| < δ, íàçûâàåòñÿ δ-îêðåñòíîñòüþ èëè îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 è îáîçíà÷àåòñÿ δ(x0). Åñëè óäàëèòü èç îêðåñòíîñòè δ(x0) åå öåíòð x0,
òî ïîëó÷èòñÿ ïðîêîëîòàÿ δ-îêðåñòíîñòü (x0 −δ, x0 + δ) \ x0 =
(x0 −δ, x0) ∪(x0, x0 + δ) òî÷êè x0, îáîçíà÷àåìàÿ ÷åðåç ˙
δ(x0).
1.1.4. Îãðàíè÷åííûå ìíîæåñòâà è òî÷íûå ãðàíè.
×èñëîâîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì ñíèçó (ñîîòâ., ñâåðõó), åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M1 (ñîîòâ., M2), ÷òî
M1 ≤x (ñîîòâ., x ≤M2) äëÿ âñåõ x ∈X.  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî
M1 (ñîîòâ., M2) íàçûâàåòñÿ íèæíåé (ñîîòâ., âåðõíåé) ãðàíüþ
ìíîæåñòâà X. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè X
îãðàíè÷åíî ñíèçó è ñâåðõó, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà M1 è
M2, ÷òî M1 ≤x ≤M2 äëÿ âñåõ x ∈X. ßñíî, ÷òî
ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî â òî÷íîñòè òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî −M ≤x ≤M äëÿ âñåõ
x ∈X, ò.å. |x| ≤M äëÿ âñåõ x ∈X.
×èñëî m (ñîîòâ., M) íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåé (ñîîòâ., âåðõíåé) ãðàíüþ äëÿ ìíîæåñòâà X, åñëè m  íèæíÿÿ ãðàíü (ñîîòâ.,
M  âåðõíÿÿ ãðàíü) äëÿ X è íèêàêîå ÷èñëî, á

îëüøåå m (ñîîòâ.,ì

åíüøåå M), íå ÿâëÿåòñÿ íèæíåé (ñîîòâ., âåðõíåé) ãðàíüþ äëÿ X.  ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî m (ñîîòâ., M) îáîçíà÷àåòñÿ
7

через inf X (соотв., sup X) и может как принадлежать, так и
не принадлежать множеству X. Например, число 0 является
точной нижней гранью множеств X = {1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .} и
Y = {0, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .}, причем 0 /
∈X и 0 ∈Y .
Мы принимаем за аксиому следующее свойство чисел, называемое аксиомой точной нижней грани:
каждое ограниченное снизу непустое числовое множество
обладает точной нижней гранью.
Можно проверить, что из аксиомы точной нижней грани вытекает следующее свойство чисел:
каждое ограниченное сверху непустое числовое множество обладает точной верхней гранью.
Итак, каждое ограниченное непустое числовое множество обладает точной верхней гранью и точной нижней гранью.
1.1.5. Лемма о вложенных отрезках.
Для любого бесконечного набора вложенных отрезков [a1, b1] ⊃
[a2, b2] ⊃· · · [an, bn] ⊃· · · существует хотя бы одна точка c,
общая для всех отрезков [an, bn].
▹Обозначим через X и Y множества всех точек an и bn соответственно. Эти множества непусты и ограничены. По 1.1.4
существуют точная верхняя грань sup X и точная нижняя
грань inf Y . Если sup X ≤inf Y , то существует такое число
c, что sup X ≤c ≤inf Y , откуда an ≤c ≤bn для всех n
и c  общая точка для всех отрезков [an, bn]. Допустим теперь, что sup X > inf Y . Тогда существует такое число M, что
sup X > M > inf Y . Поэтому существуют такие an и bk, что
bk < M < an. Тогда ak < bk < an < bn. Так как ak < an и
bk < bn, то n < k и k < n, чего быть не может. ◃
1.1.6. Математическая индукция.
Мы принимаем как аксиому приведенное ниже утверждение,
называемое принципом математической индукции.
Пусть имеются утверждения P1, . . . , Pk, Pk+1, . . . Допустим, что установлено, что P1 верно и для любого на8

турального k доказано, что если верны все P1, . . . , Pk, то
верно и Pk+1. Тогда все утверждения P1, P2, P3, . . . верны.
1.2
Элементарные и неэлементарные функции
1.2.1. Отображения и функции.
Если X и Y  два непустых множества и каждому элементу x ∈X по какому-то правилу сопоставлен в точности один
элемент y = f(x) ∈Y , то говорят, что на X задано отображение f, принимающее значение в множестве Y ; при этом
пишем f : X →Y , а множество X называется областью определения отображения f и обозначается D(f). Через Im (f) обозначается подмножество в Y , состоящее из всех элементов вида
f(x), ∀x ∈X. Множество Im (f) называется областью значений отображения f и может как совпадать с Y , так и не совпадать с ним.
Если есть два отображения f : X →Y и g: Y →Z, то правило
gf(x) = g(f(x)) задает отображение f : X →Z, называемое
композицией отображений f и g или сложным отображением.
Если X и Y  два числовых непустых множества, то отображения X →Y называются функциями (одной переменной).
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек
на декартовой плоскости Oxy с координатами (x; f(x)).
1.2.2. Ограниченные, нечетные, четные, периодические
и монотонные функции.
Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X,
если множество ее значений при x ∈X ограничено, т.е. существуют такие числа M1 и M2, что M1 ≤f(x) ≤M2 для всех
x ∈X. Аналогично определяются ограниченные сверху (снизу)
функции. Если область определения D(f) функции y = f(x)
вместе с каждой своей точкой x содержит также точку −x
и f(−x) = −f(x) (соотв., f(−x) = f(x)) для всех x ∈D(f),
то функция y = f(x) называется нечетной (соотв., четной).
Функция y = f(x) называется периодической, если существует
такое число T > 0, что x + T ∈D(f) для всех x ∈D(f) и
9

f(x + T) = f(x) для всех x ∈D(f). Наименьшее такое число
T называется периодом функции f(x). Говорят, что функция
f(x) строго возрастает (соотв., нестрого возрастает) на числовом множестве X, если f(x1) < f(x2) (соотв., f(x1) ≤f(x2))
для всех чисел x1 < x2 из X. Говорят, что функция f(x) строго
убывает (соотв., нестрого убывает) на X, если f(x1) > f(x2)
(соотв. f(x1) ≥f(x2)) для всех чисел x1 < x2 из X. Если f(x)
строго возрастает на X или строго убывает на X, то говорят,
что f(x) строго монотонна на X. Аналогично определяются
нестрого монотонные функции.
1.2.3.
Простейшие
элементарные
функции.
Такими
функциями называются тригонометрические функции sin x,
cos x, tg x, ctg x, степенные функции xa, показательные функции ax, логарифмические функции loga x, обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
Тригонометрические функции.
y
y
6
y=cos x
y=sin x
6
1
1
3π
-
-
2
0
x
0
x
2
π
2
π
3π
−π
2
2π
π
2
π
−1
−1
На промежутке (−∞, +∞) функции y = sin x и y = cos x ограничены и имеют период 2π, причем sin x  нечетная функция,
а cos x  четная функция.
10