Сборник задач по физике : электростатика. 10-11 классы

СБОРНИК ЗАДАЧ 
ПО ФИЗИКЕ

Л.А. ГОРЛОВА

С.В. ЛЕГОМИНА

10–11 классы

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

МОСКВА 
 2020

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

Р е ц е н з е н т  –  канд. пед. наук, эксперт ГИА‑9 и ГИА‑11,  
лауреат премии Президента РФ, получатель Гранта Москвы 
в сфере образования, учитель ГБОУ «Школа № 171» г. Москвы 
Т.И. Долгая.

Издание допущено к использованию в образовательном процессе 
на основании приказа Министерства образования и науки РФ  
от 09.06.2016 № 699.

6+

© ООО «ВАКО», 2018
ISBN 978-5-408-05263-9

Горлова Л.А.
Сборник задач по физике : электростатика. 
10–11 классы / Л.А. Горлова, С.В. Легомина. – 2‑е изд., 
эл. – 1 файл pdf : 145 с. – Москва : ВАКО, 2020. – Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital 
Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978‑5‑408‑05263‑9

В сборнике представлено более сотни разноуровневых задач 
по гидростатике. Все задачи распределены по трем основным 
разделам. В начале каждого раздела даны подробные решения 
типовых задач, далее приведены задачи для самостоятельного 
решения. В конце задачника ко всем задачам для самостоятельного решения даны ответы в общем и численном виде.
Сборник целесообразно использовать в 7 классах общеобразовательных школ, в профильных классах для углубленного 
изучения физики, в старших классах на факультативах, а также 
для подготовки к государственной аттестации.

Г69

УДК  372.853
ББК  22.3Я72
 
Г69

Электронное издание на основе печатного издания: Сборник задач по 
физике : электростатика. 10–11 классы / Л.А. Горлова, С.В. Легомина. – Москва : ВАКО, 2018. – 144 с. – ISBN 978‑5‑408‑03924‑1. – Текст : 
непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, 
установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков 
или выплаты компенсации.

УДК 372.853
ББК 22.3Я72

Введение

Электростатика – это раздел электродинамики, посвященный изучению покоящихся электрически заряженных тел. В данном сборнике представлены главным 
образом задачи на определение основных характеристик 
электростатического поля с использованием геометрического подохода к их решению.
Все задачи распределены по трем основным разделам:
1.  Закон Кулона. Закон сохранения электрического 
заряда. Поверхностная плотность заряда.
2.  Напряженность электростатического поля. Суперпозиция полей.
3.  Потенциал электростатического поля точечного 
заряда и заряженной сферы.
В начале каждого раздела приводится решение задач, 
так как большинство из них превосходят по трудности 
задачи, обычно предлагаемые учащимся общеобразовательных школ. Решение задач дано в общем виде, т. е. выражается искомая физическая величина через заданные 
в задаче величины в буквенных обозначениях. Отметим, 
что готовое решение не всегда является единственным.
В сборнике кроме решенных задач даны задания для 
самостоятельного решения, а также 12 вариантов тестовых заданий для контроля знаний учащихся. Ко всем 
задачам и тестовым заданиям даны ответы.
Сборник задач рекомендован для самообразования 
учащимся старших классов общеобразовательных школ 
и профильных классов, а также для подготовки к государственной аттестации. Сборник также может быть полезен преподавателям физики средней школы.

Раздел 1   
ЗАКОН КУЛОНА, 
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА , 
ПОВЕРХНОСТНАЯ  
ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА

Примеры решения задач

1. Два одинаковых шарика находятся на расстоянии r 
друг от друга (см. рисунок). Заряд одного из них равен q, 
а заряд другого равен 3q. Шарики привели в соприкосновение и вновь раздвинули на такое же расстояние. 
На сколько изменилась сила их взаимодействия?

Д а н о:
r
q
3q

r

F1

3q
q

F1

ΔF – ?
Р е ш е н и е:
Сила взаимодействия шариков до соприкосновения 

равна: F
k q
q
r
k q
r
3
3

1
2

2

2
=
⋅
=
.

Когда шарики привели в соприкосновение, то заряды 

на них изменились по величине: q
q
q
q
q
3
2
4
2
2
2 =
+
=
=
. 

Заряд на каждом шарике стал равным 2q.
Когда соприкасающиеся шарики вновь раздвинули 
на прежнее расстояние, то сила их взаимодействия изменилась: F
k q
q

r
k q

r

2
2
4
2
2

2

2
=
⋅
=
.

Чтобы определить, на сколько изменилась сила их 
взаимодействия, надо из F2 вычесть F1, т. е. 

F
F
F
k q
r
k q
r
k q
r
k q
r
4
3
4
3
2
1

2

2

2

2

2

2

2

2
(
)
∆
=
−
=
−
=
−
=
.

Раздел 1. Закон Кулона, закон сохранения электрического заряда 

Отсюда следует, что 
F
k q
r

2

2
∆
=
.

О т в е т: F
k q

r

2

2
∆
=
.

2. Два одинаковых заряда взаимодействуют в воздухе 
так, как показано на рисунке. Во сколько раз надо изменить значение каждого из зарядов, чтобы при погружении их в масло на такое же расстояние сила взаимодействия не изменилась. Диэлектрическая проницаемость 
масла равна ε.

Д а н о:
ε

r

 воздух

q
q
r

масло

q1
q1

F1
F2

q
q

1  – ?

Р е ш е н и е:
Сила взаимодействия двух зарядов в воздухе равна: 

F
k q

r
1

2

2
=
.

Сила взаимодействия двух зарядов в масле равна: 

F
k q

r
2
1
2

2
=
ε ⋅
, где ε – диэлектрическая проницаемость масла.

По условию задачи при погружении зарядов в масло 
сила взаимодействия остается прежней, тогда: F1 = F2, 

т. е. k q

r
k q

r

2

2
1
2

2
=
ε ⋅
.

Сокращая на k и r2, получим: q
q
2
1
2

= ε .

Определим, во сколько раз надо изменить значение 

каждого из зарядов: q
q

1
2

2 = ε.

Отсюда следует, что q
q

1 =
ε .

О т в е т: q

q

1 =
ε.

Сборник задач по физике: электростатика. 10–11 классы

3. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименными зарядами q и 4q, находятся на расстоянии r друг от друга (см. рисунок); F1 = F2. Шарики 
привели в соприкосновение. На какое расстояние их 
надо развести, чтобы сила взаимодействия осталась 
прежней?

Д а н о:
q
4q
r

r

x

4q

4q

q

q
F1

F2

F1

F2
x – ?

Р е ш е н и е:
Сила взаимодействия шариков до соприкосновения 

равна: F
k q
q
r
k q
r
4
4

1
2

2

2
=
⋅
=
.

Когда шарики соприкасаются, то часть заряда переходит с одного шарика на другой, и заряды их выравниваются: q
q
q
q
q
q
4
2
5
2
5
2
2,5
2 =
+
=
=
=
.

Тогда сила их взаимодействия станет равной: 

F
k
q
q
x
k
q
x

2,5
2,5
6,25
2
2

2

2
=
⋅
=
, т. е. F
k
q
x

6,25
2

2

2
=
.

Так как сила взаимодействия осталась прежней, то по 

условию задачи получим: F1 = F2, k q

r
k
q

x

4
6,25
2

2

2

2
=
.

Сокращая на k и q2, получим: r
x
4
6,25
2
2
=
, 4x2 = 6,25r2.

Значит, x
r
6,25

4

2

2

=
, тогда 
=
=
=
x
r
r
r
6,25

4

2,5

2
1,25 .

2

Отсюда следует, что x = 1,25r.
О т в е т: x = 1,25r.

4. Заряды q1 и q2 расположены на расстоянии r друг 
от друга (см. рисунок). Какая сила будет действовать 
на заряд q3, помещенный в точку, удаленную на расстояние d от большего заряда? Заряды расположены в среде 
с диэлектрической проницаемостью ε.

Раздел 1. Закон Кулона, закон сохранения электрического заряда 

Д а н о:
q1
q2
r
q3
d
ε

r

d
(r – d)

q1
q2
q3
F13
F23

Р е ш е н и е:
На заряд q3 действуют две разные по величине силы: F
k q q
d
13

1 3

2
=
ε ⋅
, F
k
q q
r
d

23
2 3
2
(
)

=

ε ⋅
−

, где ε – 

диэлектрическая проницаемость среды.

Fобщ – ?

Чтобы определить результирующую силу, надо из F13 
вычесть F23. Следовательно, 

(
)

=
−
=
ε ⋅
−
ε ⋅
−

=
F
F
F
k q q

d
k
q q
r
d
общ
13
23
1 3
2
2 3
2

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)
(
)

(
)
(
)

=
ε
−
−

=
ε
−
−
−

=
ε ×

×

−
+
−

−
=
ε ⋅
−
+
−
−

=

=
ε ⋅
−
+
−

−

kq
q
d
q
r
d
kq
q r
d
q d
d
r
d
kq

q r
rd
d
q d

d
r
d
kq
q r
rdq
q d
q d
d
r
d

kq
d
q
q
q r r
d

d
r
d

2
2

2
.

3
1
2
2
2
3
1

2

2
2

2
2
3

1
2
2
2
2

2
2
3
1
2
1
1
2
2
2

2
2

3
2
1
2
1
2
2

Отсюда следует, что 

(
)
(
)

(
)
=
ε
⋅
−
+
−

−

F
kq
d
q
q
q r r
d

d
r
d

2
общ
3
2
1
2
1
2
2
.

О т в е т: 
(
)
(
)

(
)
=
ε
⋅
−
+
−

−

F
kq
d
q
q
q r r
d

d
r
d

2
общ
3

2

1
2
1
2
2
.

5. Два заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг 
от друга (см. рисунок). Где между ними надо поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии, если q1 < q2?

Д а н о:
q1
q2
r

r

x

q1
q3
q2
F1
F2

x – ?

Сборник задач по физике: электростатика. 10–11 классы

Р е ш е н и е:
Так как q1 < q2 по условию задачи, то третий заряд 
должен находиться ближе к меньшему заряду, чтобы вся 
система была в равновесии.
При условии равновесия F1 = F2, где F1 – сила взаимодействия между зарядами q1 и q3; F2 – сила взаимодействия между зарядами q2 и q3; F
k q q
x
1

1 3

2
=
, 
(
)
=
−
F
k
q q
r
x
.
2
2 3
2

Приравнивая силы F1 и F2, получим: 
(
)
=
−
k q q

x
k
q q
r
x
.
1 3
2
2 3
2

Сокращая на k и q3, получим: q

x

q
r
x

1
2
2
2
(
)
=
−
, отсюда 

q1(r - x)2 = q2x2, q1(r2 - 2rx + x2) = q2x2, q2x2 - q1x2 + 2q1rx - 

- q1r2 = 0, x2(q2 - q1) + 2q1rx - q1r2 = 0.

Значит, 
(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
±
−
−
⋅ −

−
=
x

q r
q r
q
q
q r

q
q

2
2
4

2

1
1
2
2
1
1
2

2
1

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

=
+
−
−

−
=
+
−
−

−
=

=
−
−
=
−
−

q r
q
q q r
q r

q
q

q r
q
q
q
q r

q
q

r q q
q r
q
q

r
q q
q
q
q

4
4
2

2

4
2

2

2
2
2
.

1
2 2
2
1
1
2
1

2
1

1
2
1
2
1
1

2
1

1 2
1

2
1

1 2
1

2
1

Отсюда следует, что x
r
q q
q

q
q

1 2
1

2
1

(
)
=
−
−
.

О т в е т: x

r
q q
q

q
q

1 2
1

2
1
(
)
=

−
−
.

6. Два точечных тела, находящихся в вакууме, имеют 
заряды q1 и q2 (см. рисунок). Масса одного тела равна m1. 
Какой должна быть масса другого тела, чтобы электрическая сила взаимодействия уравновесила гравитационную 
силу притяжения?

Д а н о:
q1
q2
m1
r

F12
F21

q1
q2

m2
m1
Fгр
Fгр

m2 – ?

Раздел 1. Закон Кулона, закон сохранения электрического заряда 

Р е ш е н и е:
Между заряженными телами существует сила кулоновского отталкивания: F
k q q
r
21

1 2

2
=
.

Так как тела имеют массы, то между ними возникает 

гравитационное притяжение 
=
F
G m m
r
гр

1
2

2
, где G – гравитационная постоянная.
По условию задачи F21 = Fгр, тогда k q q
r
G m m
r

1 2
2

1
2

2
=
.

Сокращая на r, получим: kq1q2 = Gm1m2.

Отсюда следует, что m
kq q
Gm
2

1 2

1
=
.

О т в е т: m
kq q
Gm
2

1 2

1

=
.

7. Две бусинки массой m каждая висят на тонких 
шелковых нитях длиной l, закрепленных в одной точке 
(см. рисунок). После электризации бусинки разошлись 
на расстояние R. Определить силу отталкивания бусинок.

Д а н о:
m
l
R
l
h

R

Fтяж

Fк

Fупр

Fк – ?

Р е ш е н и е:
Бусинки будут находиться в равновесии, если равнодействующая всех сил, действующая на бусинку, будет равна нулю, т. е. равнодействующая силы тяжести 
и силы кулоновского отталкивания уравновешиваются 
силой упругости нити.

По закону Кулона 
=
F
k q
R
к

2

2 , отсюда kq2 = FкR2, 

=
q
F R

k

2
к

2

, 
=
=
q
F R

k
R
F
k

к
2
к .

Сборник задач по физике: электростатика. 10–11 классы

Из подобия заштрихованных треугольников следует, 

что 
=
F
F

R
h
2

к

тяж

, значит, 
=
⋅
F
F
R
h
2
к
тяж
.

Как видно из чертежа, h
l
R
l
R
2

1
2
4
2
2

2
2
( )
=
−
=
−
.

Так как Fтяж = mg, то 
=
⋅
⋅
−
=
−

F
mgR

l
R

mgR

l
R
2 1

2
4
4

.
к
2
2
2
2

Отсюда следует, что 
=
−
F
mgR

l
R
4
к
2
2 .

О т в е т: 
=

−
F
mgR

l
R
4

к
2
2 .

8. Шар радиусом R заряжен зарядом с поверхностной плотностью σ. На расстоянии l от поверхности шара 
находится точечный заряд q0 (см. рисунок). Определить 
силу, действующую со стороны поля на заряд q0.

Д а н о:
R
σ
l
q0

q0

R

σ
l

A

Fк

Fк – ?

Р е ш е н и е:
Для того чтобы найти напряженность поля в точке А, 
необходимо знать заряд шара. Зная поверхностную плотность заряда на шаре и величину поверхности шара, найдем его заряд: 
q
S
σ =
. Так как S = 4πR2, то q = σS = 

= σ4πR2, значит, q = σ4πR2.
На расстоянии r от центра шара напряженность электростатического поля равна: E
k q
r2
=
. Так как r = R + l, 

то получим: E
k
q
R
l 2
(
)

=
+

.

Сила, действующая в точке А на точечный заряд q0, 

равна: Fк = q0E. Значит, 
(
)

=
+

F
q k
q
R
l

к
0
2.