Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 11 класс

класс

ГЕОМЕТРИЯ

МОСКВА 
 2021

5-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

Р е ц е н з е н т  – Соросовский учитель, учитель высшей категории  
ГБОУ СОШ № 192 г. Москвы М.Я. Гаиашвили.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ  
от 09.06.2016 № 699.

ISBN 978-5-408-05608-8

Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 
11 класс / сост. А.Н. Рурукин. – 5-е изд., эл. – 1 файл pdf : 
97 с. – Москва : ВАКО, 2021. – (Контрольно-измерительные 
материалы). – Систем. требования: Adobe Reader XI либо 
Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05608-8

В пособии представлены контрольно-измерительные материалы 
(КИМы) по геометрии для 11 класса – тесты в формате заданий ЕГЭ, 
а также самостоятельные и контрольные работы по всем изучаемым 
темам. Ко всем заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал 
позволяет проводить проверку знаний, используя различные формы 
контроля.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.

К65

УДК 372.851
ББК 74.262.21
 
К65

Электронное издание на основе печатного издания: Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 11 класс / сост. А.Н. Рурукин. – 4-е изд. – 
Москва : ВАКО, 2019. – 96 с. – (Контрольно-измерительные материалы). – 
ISBN 978-5-408-04380-4. – Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

УДК 372.851
ББК 74.262.21

©  ООО «ВАКО», 2016

От составителя

Пособие «Контрольно-измерительные материалы 
по геометрии для 11 класса» предназначено, прежде всего, 
для УМК Л.С. Атанасяна и др. При некотором изменении порядка следования КИМы могут быть использованы 
и для УМК А.В. Погорелова и др.
В пособии представлены 19 тематических тестов, 3 теста на обобщение пройденного материала, итоговый тест 
по программе 11 класса, итоговый тест по курсу геометрии 
за 7–11 классы, 15 самостоятельных работ, 7 контрольных 
работ. Знаком * помечены задания, необязательные для 
базового уровня.
Предлагаемые КИМы могут быть использованы 
на любом этапе обучения – повторения и закрепления 
изученного, актуализации опорных знаний и т. д. Приведенные материалы избыточны и могут быть использованы при работе как в классе, так и дома. Рекомендуем 
задействовать различные формы контроля знаний, так 
как каждая из них имеет свои преимущества и недостатки. 
Все работы даны в двух равноценных вариантах. В конце 
пособия представлены ответы ко всем тестам и проверочным работам.
Преподавательская практика показывает, что предлагаемый подбор КИМов позволяет эффективно освоить 
материал 11 класса и подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ 
по изученным темам.
Надеемся, что пособие поможет учителям при подготовке и проведении уроков, а также школьникам при изучении материала, закреплении и систематизации знаний.

Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
 
• уравнения плоскости и сферы;
 
• понятие тела вращения: цилиндр, конус и шар;
 
• понятие объема тела;
уметь:
 
• решать простейшие задачи в координатах;
 
• использовать уравнения плоскости и сферы при решении задач;
 
• вычислять площади поверхности цилиндра, конуса 
и шара;
 
• решать задачи, связанные с комбинацией тел;
 
• вычислять объемы многогранников: прямой и наклонной призмы и пирамиды;
 
• находить объемы тел вращения: цилиндра и конуса;
 
• вычислять объемы шара и его элементов: шарового 
сегмента, шарового слоя и шарового сектора;
 
• находить площадь сферы.

Основные темы курса геометрии в 11 классе
«Метод координат в пространстве», «Движения», «Цилиндр, конус, шар», «Объемы тел».

Рекомендации по оцениванию работ
Тесты
Задания тестов разделены на три уровня сложности: 
A, B и C.
Уровень A (простейший) предполагает выбор ответа 
из четырех предложенных. Уровень B (базовый) подразумевает краткий ответ. Для уровня C (повышенной сложности) необходимо привести обоснованное решение.
Тематический тест содержит три задания уровня А (каждое оценивается в 1 балл), два задания уровня В (каждое 
оценивается в 2 балла) и одно задание уровня С (оценивается в 3 балла). На выполнение теста отводится 15–20 мин. 
Рекомендуем следующее соответствие количества баллов 
и оценки: 3 балла – «3», 5 баллов – «4», 7 баллов – «5».
Итоговый тест содержит вдвое больше заданий, чем 
тематический. Соответственно, вдвое увеличивается 

время на выполнение (40–45 мин) и количество баллов 
(6 баллов – «3», 10 баллов – «4», 14 баллов – «5»).
Самостоятельные работы
Формулировка задания теста (А) предполагает простой вопрос, который далеко не всегда позволяет понять 
степень усвоения изучаемого материала. Поэтому целесообразно некоторые тесты заменить самостоятельными работами, которые включают три задания уровня В (каждое 
задание оценивается в 2 балла). На выполнение работы 
отводится 15–20 мин. Критерии оценки: 2 балла – «3», 
3 балла – «4», 5 баллов – «5».
Контрольные работы
По изучении крупной темы (главы УМК) для контроля знаний рекомендуется использовать контрольные 
работы, которые содержат четыре задания уровня B 
(каждое задание оценивается в 2 балла) и одно задание 
уровня C (оценивается в 3 балла). На работу отводится 
40–45 мин. Рекомендуемые критерии оценки: 2–3 балла – 
«3», 4–5 баллов – «4», 6–10 баллов – «5».
Проведение самостоятельных и контрольных работ 
допускает более гибкие формулировки заданий и форму 
ответов (по сравнению с тестами). Это позволяет более 
объективно контролировать знания учащихся, выявить 
недочеты при изучении материала и т. д. Поэтому рекомендуем использовать разнообразные формы аттестации 
учащихся.

Тест 1. Координаты точки  
и координаты вектора

Вариант 1

A1. Найдите координаты точки A, если B(3; −5; −7)  
и AB
1
2 4
;
;
.
−
{
}

 1)  (−2; 3; 11) 
 3)  (4; −7; −3)
 2)  (2; −3; −11) 
 4)  (−4; 7; 3)
A2. Дана точка M(1; −3; −2). Определите координаты точки M1 – проекции точки M на плоскость xOz и координаты 
точки M2 – проекции точки M на ось Oz.
 1)  M1(1; 0; −2); M2(0; 0; −2)
 2)  M1(−1; 0; 2); M2(0; 0; 2)
 3)  M1(1; 0; −2); M2(0; 0; 2)
 4)  M1(−1; 0; 2); M2(0; 0; −2)
A3. Будут ли коллинеарны векторы m
a
b
=
−  и p
, если 

a


2
1 3
;
;
;
−
{
}  b

−
{
}
3 2 1
; ;
; p
−
−
{
}
10 6
4
; ;
? Установите связь ме
жду векторами m
 и p
.

 1)  p
m
= 2

 2)  m
p
= −2

 3)  неколлинеарны
 4)  p
m
= −2

B1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 1; AD
i
= , 

AB
j
=
, AA
k
1
=
. Укажите координаты вектора CA1
.

О т в е т:  

B2. Координаты вершин треугольника A(−2; −3; 8), 
B(2; 1; 7), C(1; 4; 5). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

О т в е т:  

C1. Лежат ли точки A(3; −2; −4), B(−1; −2; 7), C(0; −1; 0),  
D(5; −4; −1) в одной плоскости? (Ответ необходимо обосновать.)

О т в е т:  

Тест 1. Координаты точки  
и координаты вектора

Вариант 2

A1. Найдите координаты точки B, если A(−3; 2; −1)  
и AB
2
3 5
;
;
.
−
{
}

 1)  (5; −5; 6) 
 3)  (−1; −1; 4)
 2)  (1; 1; −4) 
 4)  (−5; 5; −6)
A2. Дана точка N(2; −1; 3). Определите координаты точки 
N1 – проекции точки N на плоскость Oyz и координаты 
точки N2 – проекции точки N на ось Oy.
 1)  N1(0; 1; −3); N2(0; −1; 0)
 2)  N1(0; −1; 3); N2(0; 1; 0)
 3)  N1(0; 1; −3); N2(0; 1; 0)
 4)  N1(0; −1; 3); N2(0; −1; 0)
A3. Будут ли коллинеарны векторы m
a
b
=
+ 2  и p
, если 

a

−
−
{
}
1 3
2
; ;
; b


2
1 3
;
;
;
−
{
}  p

−
−
−
{
}
3
1
4
;
;
? Установите связь 

между векторами m
 и p
.

 1)  p
m
= −

 2)  неколлинеарны
 3)  p
m
= 2

 4)  p
m
= −2

B1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным 1; AD
i
= , 

AB
j
=
, AA
k
1
=
. Укажите координаты вектора B D
1
.

О т в е т:  

B2. Координаты вершин треугольника A(1; −3; 4),  
B(5; 3; 5), C(1; 3; 2). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

О т в е т:  

C1. Лежат ли точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),  
D(2; 1; 3) в одной плоскости? (Ответ необходимо обосновать.)

О т в е т:  

Тест 2. Простейшие задачи 
в координатах

Вариант 1

A1. Найдите длину вектора n
a
b



=
+
2
3 , если a
i
j
k
=
−
+ 2  
и b
i
j



=
+
2
2 .

 1)  4 6 
 3)  2 6

 2)  4 3 
 4)  8 3

A2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины B(−4; 2; 3) 
и D1(2; −8; 1). Определите координаты точки пересечения 
его диагоналей.
 1)  (1; 3; −2) 
 3)  (−1; −3; 2)
 2)  (3; −5; −1) 
 4)  (−3; 5; 1)

A3. Дан вектор n


2 3
6
; ;
.
−
{
}  Определите координаты еди
ничного вектора e

, противоположно направленного вектору n

.

 1)  −
−
1
3

1
2 1
;
;
 
 3)  2

7

3
7

6
7
;
; −
 2)  −
−
2
7

3
7

6
7
;
;
 
 4)  1

3

1
2
1
;
; −
B1. На оси Ox найдите точку, равноудаленную от точек 
A(3; −2; 4) и B(0; 5; −1).

О т в е т:  

B2. Определите значение n, при котором вектор 
a


12 3
7
; ; −
{
} можно разложить по векторам b
n


3
2
; ; −
{
} 

и c

−
{
}
2 3 1
; ;
. Найдите это разложение.

О т в е т:  

C1. При каких действительных значениях m и n векторы 

a
n
m
n
m


2
2
2
2
2
2
−
−
{
}
;
;
 и b
n
n
n



1
2
1
2

1
2

2
+
−
;
;
 коллинеарны? 

О т в е т:  

Тест 2. Простейшие задачи 
в координатах

Вариант 2

A1. Найдите длину вектора n
a
b



=
−
2
3 , если a
i
j
k
=
−
+ 2  
и b
i
j



=
+
2
2 .

 1)  8 3 
 3)  6 3

 2)  2 6 
 4)  4 6

A2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершины A(1; −4; 2) 
и C1(3; −2; 8). Определите координаты точки пересечения 
его диагоналей.
 1)  (2; −3; 5) 
 3)  (−1; −1; −3)
 2)  (1; 1; 3) 
 4)  (−2; 3; −5)

A3. Дан вектор n

−
{
}
1 2 2
; ;
. Определите координаты еди
ничного вектора e

, противоположно направленного вектору n

.

 1)  −
1
3

2
3

2
3
;
;
 
 3)  1

3

2
3

2
3
;
;
−
−
 2)  −
1
2 1 1
; ;
 
 4)  1

2
1
1
;
;
−
−
B1. На оси Oy найдите точку, равноудаленную от точек 
A(4; 2; −1) и B(−1; 3; 2).

О т в е т:  

B2. Определите значение m, при котором вектор 
c m


; ;0
2
−
{
} можно разложить по векторам a


1 3 4
; ;
{
} 

и b

−
{
}
2 5 6
; ;
. Найдите это разложение.

О т в е т:  

C1. При каких действительных значениях m и n векторы 

a
n
n
m
m


2
2
2
2
2
2
;
;
−
−
{
} и b
n
n
n


−
+
{
}
2 4
2
;
;
 коллинеарны?

О т в е т:  

Тест 3. Скалярное  
произведение векторов

Вариант 1

A1. Вычислите скалярное произведение векторов 
a


3
4 2
;
;
−
{
} и b


2 3 5
; ;
.
{
}

 1)  8
 2)  2

 3)  6

 4)  4

A2. Даны вершины треугольника A(7; −8; 2), B(10; −8; −1) 
и C(11; −4; 2). Найдите величину угла BAC этого треугольника.
 1)  45°
 2)  90°
 3)  60°
 4)  30°
A3. В кубе ABCDA1B1C1D1 определите угол между скрещивающимися прямыми A1B и B1D.
 1)  45°
 2)  30°
 3)  60°
 4)  90°

B1. Найдите вектор m
, образующий тупой угол с осью Oz 
и перпендикулярный векторам a


6
2 0
;
;
,
−
{
}  b


2 3 11
; ;
,
{
}  если 

длина вектора m
 равна 11.

О т в е т:  

B2. Векторы a

, b

, c

 удовлетворяют условиям: a
b
c



+
+
= 0, 

a


= 10, b



= 12, c



= 14. Вычислите сумму ab
bc
ac



+
+
.

О т в е т:  

C1. В основании правильной пирамиды DABC лежит треугольник ABC со стороной, равной a. Точка K – середина 
BC. Боковое ребро пирамиды равно b. Найдите скалярное 
произведение векторов DA
 и AK
.

О т в е т: