Введение в кинетическую геометрию

Москва
ИНФРА-М
2022

ВВЕДЕНИЕ
В КИНЕТИЧЕСКУЮ
ГЕОМЕТРИЮ

Í.À. ÑÀËÜÊÎÂ

МОНОГРАФИЯ

 

Сальков Н.А.
С16 
 
Введение в кинетическую геометрию : монография / Н.А. Сальков. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 160 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/monography_5c456679c12131.33801043.

ISBN 978-5-16-014614-0 (print)
ISBN 978-5-16-107111-3 (online)

В монографии рассматриваются основы кинетической геометрии о независимо друг от друга перемещающихся пространствах для случая их вращения. Два независимых пространства вращаются каждое вокруг своей 
оси, при этом геометрические фигуры одного из пространств непрерывно 
отображаются на другое. Получаемые результаты этого отображения и являются объектами исследования данной монографии.
Монография адресована профессионалам в области инженерной геометрии (специальность 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная 
графика»), аспирантам, преподавателям, а также всем интересующимся 
геометрией и ее приложениями.

УДК 514.1(075.8)
ББК 22.151 

УДК 514.1(075.4)
ББК 22.151
 
C16

©  Сальков Н.А., 2019 
ISBN 978-5-16-014614-0 (print)
ISBN 978-5-16-107111-3 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 
Иванов Г.С., доктор технических наук, профессор Национального исследовательского Московского государственного строительного университета;
Шипков О.И., кандидат технических наук, профессор Московского 
государственного академического художественного института имени 
В.И. Сурикова при Российской академии художеств

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Очарование, сопровождающее науку, может победить 
свойственное людям отвращение к напряжению ума и  
заставить находить удовольствие в упражнении своего 
разума, что большинству людей представляется 
утомительным и скучным занятием. 
Гаспар Монж 
 
Многие механизмы совершают вращательное движение, при этом 
вращающиеся части одного механизма «вторгаются» в зону вращения 
частей другого вращающегося механизма. Задача состоит в том, чтобы 
не допустить столкновения вращающихся частей двух, а то и более деталей друг с другом. В космической навигации, где в принципе отсутствуют объекты, находящиеся в покое, также актуальна проблема 
столкновения искусственных космических аппаратов с астрономическими телами, вращающимися вокруг своих осей. Поэтому представляется актуальной задача рассмотрения отображения одного точечного 
пространства на другое при их независимом друг от друга движении. 
Сначала условимся о принятых в работе понятиях. 
Под кинетическим соответствием двух пространств будем понимать 
такое соответствие, когда оба пространства находятся в движении, имеющем для каждого из них свою закономерность, и взятая в первом пространстве точка постоянно отображается на второе пространство, образуя в нем ∞1 (однопараметрическое множество) точек (линию). Если же 
в первом пространстве берется ∞1 точек (линия), то во втором пространстве оно отображается как ∞1 линий, то есть поверхность. Взятая же в 
первом пространстве поверхность во втором пространстве образует геометрическое тело. Такая интерпретация имеет некоторую связь с кинетическим формированием геометрических фигур в начертательной геометрии, но только в случае именно формирования, а не взаимного вторжения одного пространства в другое. Более того, в начертательной геометрии мы имеем дело с единственным пространством, которое и рассматриваем, именно в нем движется геометрическая фигура, являющаяся образующей для формируемой фигуры. В отличие от этого, в кинетической геометрии мы имеем дело минимум с двумя пространствами, а 
геометрические фигуры, взятые в одном из них, отображаются во втором. 
Каждое из рассматриваемых пространств может иметь равномерное 
или неравномерное движение в заданном направлении, криволинейное 

движение или движение вращения вокруг заданной для каждого пространства оси. 
В настоящей работе предлагаются теоретические выкладки, полученные для случаев вращения точечных пространств вокруг своих осей 
для различных вариантов положения этих осей. Рассмотрены случаи 
получения отображения точки (взятой в неподвижном состоянии в R3
1 и 
перемещающейся), прямой линии, винтовой и пространственной кривой. Рассмотрены получившиеся результаты. 
Суть преобразования в следующем. 
Даны два множества точек (два точечных пространства) R3
1 и R3
2, 
причем первоначально R3
1 ≡ R3
2, то есть каждая точка общего пространства является по сути двойной: одна принадлежит R3
1, вторая — R3
2. 
Оба множества вращаются вокруг своих осей, при этом каждая точка 
первого множества при вращении совпадает с некоторой точкой второго 
множества. Эти точки второго множества в совокупности представляют 
некоторую линию. Рассмотрены возможные варианты перемещения 
одного пространства по отношению к другому и взаимная связь их точек. 
В монографии рассмотрены в основном геометрические фигуры, закрепленные в первом пространстве. 
Это можно интерпретировать следующим образом.  
Земной шар с его системой координат возьмем в качестве первого 
пространства. Вы сидите на диване и смотрите телевизор. Вы не двигаетесь и по отношению к Земному шару неподвижны, то есть в первой 
системе вы закреплены и не производите никаких траекторий. Однако 
Земной шар вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца, наша Солнечная система перемещается в нашей галактике, галактика, в свою очередь, перемещается во Вселенной. И вы вместе с Земным шаром, Солнечной системой и галактикой производите в космосе довольно сложную траекторию, просто сидя на диване и, в принципе, не двигаясь с 
места. 
Если же вы начнете движение, то ваша траектория в космосе усложнится. 
Вот в этих случаях и интересно с геометрической точки зрения определить вашу траекторию движения во Вселенной. 
В монографии, кроме случаев статического пребывания геометрической фигуры в R3
1, рассмотрены некоторые случаи перемещения геометрических фигур в R3
1 по направляющим: по прямой, по пространственной кривой, по окружности, но только в случаях, когда оси вращающихся пространств параллельны. То есть рассматривается вопрос и о 
возможном перемещении пространств относительно друг друга. 

Не рассматриваются случаи более сложного перемещения и отображение на R3
2 поверхностей.  
Показано применение кинетической геометрии в различных направлениях производства: в горнодобывающей, металлургической, пищевой, 
химической промышленностях, в станкостроении и др. 
Монография предназначена для профессионалов в области инженерной геометрии (специальность 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика»), аспирантов, преподавателей, а также для всех, 
интересующихся геометрией и ее приложениями в технике и производстве. 
Автор выражает глубокую благодарность д-ру техн. наук, профессору Геннадию Сергеевичу Иванову за высказанные критические замечания и пожелания, которые позволили улучшить предлагаемую работу. 

1. ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ  
КИНЕТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 
 
Выдвинем гипотезу: в изобретениях технической направленности 
определяющей является геометрическая составляющая [154]. 
Эту гипотезу именно для технических изобретений может подтвердить любое авторское свидетельство СССР, любой патент как России, 
так и зарубежных стран. 
Рассмотрим на примере, как готовится и формируется техническое 
изобретение.  
Техническое изобретение невозможно составить без чертежей, рисунков, то есть геометрии. Покажем это на уже созданных и признанных 
изобретениях. 
 
1.1. ГРОХОТ–ПИТАТЕЛЬ ДЛЯ ЛИПКИХ МАСС 
 
В свое время автору было предложено разработать одно изобретение 
для горной и горнообрабатывающей промышленности, а также для металлургии. 
Была сформулирована следующая задача: создать самоочищающийся грохот-питатель для липких сыпучих материалов наподобие марганцевых руд [1; 154]. 
Существующие в Советском Союзе, а затем в России колосники грохота представляют собой цилиндры вращения с параллельными осями 
вращения и расположенные с зазором между поверхностями, куда и 
должны ссыпаться фракции руды, размеры которой не превышают 
определенную величину. По задумке фракции, достигшие необходимой 
величины при дроблении, должны просеиваться сквозь отверстия между 
валками (колосниками) грохота и тем самым упрощать (минимизировать стоимость) дальнейшее дробление. Просыпавшийся между колосниками материал, достигший нужных размеров, идет в последующую 
обработку. А оставшийся материал перемещается в дробилку. Это эффективно при работе с сухими, нелипкими материалами. 
Другая картина возникает при работе с липким материалом. При работе грохота частицы липких фракций, таких как марганцевая руда, 
налипают на колосники до полного уничтожения зазора. Этот нежелательный эффект и надо было устранить. Удаление налипшего материала 
производилось вручную, с помощью ломов. Это был каторжный труд, 
как утверждали участники таких работ. 
При геометрическом конструировании (применяя, как впоследствии 
было установлено, теорию кинетического соответствия вращающихся 
пространств) было принято следующее решение: колосники должны 

стыковаться по длине попарно, поперечное сечение каждого колосника 
(рис. 1.1) составляет две соединенные в концах дуг четверти окружности 
одинакового радиуса. Таким образом, каждую пару колосников a и b 
составляет одна труба, разрезанная вдоль на четыре одинаковых отсека. 
При этом в местах стыковки этих двух четвертей могут устанавливаться 
ребра — стержни квадратного сечения из высших сортов стали для 
меньшего их стирания. 

 

Рис. 1.1 
 
В соответствии с созданной теорией кинематического соответствия 
вращающихся пространств при синхронном вращении пары колосников 
их ребра скользят по поверхности друг друга и тем самым очищают поверхности. Для отделения фракций пары колосников отстоят друг от 
друга на необходимое для этого расстояние δ (см. рис. 1.1), в эти зазоры 
при вращении колосников и ссыпается материал нужной фракции. При 
этом зазор остается постоянной величиной: вследствие найденной поперечной формы колосников налипший на них материал срезается ребрами. И уменьшиться он не может, так как идет постоянное очищение поверхностей колосников. 
Определение формы сечения колосника грохота-питателя — чисто 
геометрическая задача, решение которой и дает изобретение [1]. 
Рассмотрим теоретические выкладки. 
Два одинаковых колосника (на рис. 1.2 даны их поперечные сечения) 
вращаются в одном направлении и с одинаковой угловой скоростью. 
Одноименные оси поперечных сечений колосников взаимно перпендикулярны. Поперечное сечение каждого колосника (рис. 1.2, а) представляет собой два сопряженных по хорде А1А0А2 сегмента. Полуосями сечения являются половина хорды О1А1 и стрела дуги О1А0. 
Пусть нормали О3А1 и О3А2, проведенные к дуге А1А0А2 в точках А1 
и А2, пересекаются под углом 90о, а длина большой полуоси равна  

О1А1 = R1. 
 
 
    (1.1) 
 

 

а) 
 
 
 
 
б) 
Рис. 1.2 
 
Тогда величина радиуса дуг, ограничивающих сечение колосника, 
находится по формуле  
R=
2 R1. 
 
 
     (1.2) 

 
Величина малой полуоси сечения колосника 
 
О1А0 = О3А0 О3О1 = R R1 или О1А0 = R1(
2  1).  (1.3) 

 
Расстояние между осями О1 и О2 двух смежных (соединенных) колосников 
О1О2 = О1А0  + В0О2 = R1(
2  — 1)  + R, 

или  
 
 
   О1О2= 
2 R1.  
 
 
 (1.4) 

 
Сравнивая (1.4) и (1.2), приходим к выводу: 
 
О1О2 = R. 
 
 
 
(1.5) 
 
Теперь рассмотрим возможность сохранения постоянного нулевого 
для данных сопряженных колосников зазора при данных параметрах 
сечений. Для этого одновременно повернем каждый из колосников (см. 
рис. 1.2, а) на угол α (см. рис. 1.2, б). При этом радиусы О1О3 и О2В0 сохранят параллельность, а точки О1, О3, В0 и О2 можно считать вершинами параллелограмма. С другой стороны, радиус О3А4 дуги А1А4А0А2 параллелен межцентровому расстоянию О1О2, а на основании (1.2) и (1.5) 
О3А4 = О1О2. В результате имеем параллелограмм О1О3А4О2. В параллелограммах О1О3В0О2 и О1О3А4О2 точки В0 и А4 тождественно совпадают. 

Отметим, что при вращении колосников величины сторон параллелограмма не меняются. 
Таким образом, во время синхронного вращения колосников точка В0 
правого колосника скользит по поверхности левого до предельного положения Аn
1 ≡ Вn
0, при котором прямые О1 Аn
1 и О2Вn
0 пересекутся под 
углом 90о. При дальнейшем вращении колосников точка А1 левого колосника скользит по поверхности правого. Такое постоянное соприкосновение колосников обеспечивает срезание налипшего слоя материала. 
Увеличение расстояния О1О2 до величины 
 
О1О2 = R  + δ  
 
 
(1.6) 
 
обеспечивает образование неизменяемого зазора шириной δ (см. рис. 
1.1) между кромкой В0 правого колосника и поверхностью левого. Длина зазора соответствует длине колосников. Независимо от угла поворота 
колосников α зазор все время располагается в горизонтальной плоскости 
и является поперечным сечением вертикального канала, в который проваливаются частицы перемещаемого материала. Размеры этих частиц 
 
0 <d ≤ δ. 
 
 
 
(1.7) 
 
Последовательная установка пар соприкасающихся колосников с зазором δ между этими парами (см. рис. 1.1) в грохоте-питателе [1] обеспечивает его надежную работу с любым материалами, что особенно 
важно при липких и вязких материалах.  
Изобретение 
предназначено 
для 
использования 
в 
горнообогатительной индустрии. 
Таким образом, нужды горного, металлургического и других производств приводят к созданию новых геометрических теорий, а новые теории развивают производство. 
Общая схема грохота-питателя представлена на рис. 1.3. Здесь 1 — 
двигатель, 2 — муфта, 3 — общий продольный вал, 4 — ведущие шестерни, 5 — ведомые шестерни, 6 — колосники, 7 — оси колосников, 
9 — хорда сегментов 8, образованных дугами окружностей, равными 
90о. Каждые два колосника сопряжены друг с другом для полной механической очистки смежных колосников. 
Нож 10 (см. рис. 1.3) одного колосника скользит по цилиндрической 
поверхности сопряженного колосника, срезая при этом слой налипшего 
материала, затем нож второго колосника скользит по цилиндрической 
поверхности первого, продолжая механическую очистку. За поворот на 
угол 360о происходит полная механическая самоочистка всех поверхностей колосников грохота-питателя, подающего липкий материал. 

Предлагаемое выполнение грохота-питателя позволяет обеспечить 
его надежную работу в тяжелых эксплуатационных условия, устраняет 
возможность залипания рабочей поверхности кусками материала и 
обеспечивает постоянный зазор для отсева заданных фракций. 
На рис. 1.4 показано выполненное в графической системе КОМПАС 
изображение колосников грохота-питателя. 
 

 

 
Рис. 1.3 
 
 

 

 
Рис. 1.4