Введение в численные методы в задачах и упражнениях

Моcква
ИНФРА-М
2022

ВВЕДЕНИЕ
В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
В ЗАДАЧАХ
И УПРАЖНЕНИЯХ

А.В. ГУЛИН, О.С. МАЖОРОВА,
В.А. МОРОЗОВА

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям «Прикладная математика 
и информатика» и «Фундаментальная информатика
и  информационные технологии»

УДК  51(075.8)
ББК  22.1я73
 
Г94

©  Гулин А.В., Мажорова О.С., 
Морозова В.А.,  2014

Печатается по решению Редакционно-издательского совета
факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ 
имени М.В. Ломоносова

Рецензенты:
Д.П. Костомаров, академик РАН, профессор;
Ю.П. Попов, член-корреспондент РАН, профессор

ISBN 978-5-16-012876-4 (print)
ISBN 978-5-16-101108-9 (online)

Гулин А.В.
Г94 
 
Введение в численные методы в задачах и упражнениях : учебное 
пособие / А.В. Гулин, О.С. Мажорова, В.А. Морозова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2022. — 368 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). 
ISBN 978-5-16-012876-4 (print)
ISBN 978-5-16-101108-9 (online)
Пособие отражает опыт преподавания курса «Введение в численные 
методы» на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ 
имени М.В. Ломоносова. Наряду с конспективным изложением теоретического материала пособие содержит значительное число примеров, задач 
и упражнений иллюстративного характера. Приведено решение большинства предлагаемых задач. 
Пособие рассчитано на студентов младших курсов, специализирующихся в области вычислительной математики, и начинающих преподавателей. 
Оно может оказаться полезным студентам старших курсов, магистрантам 
и аспирантам, желающим самостоятельно закрепить свои навыки в области численных методов. Отдельные задачи и примеры можно использовать 
на семинарских занятиях и при подготовке заданий математического практикума.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие отражает опыт преподавания курса «Введение в

численные методы» на факультете вычислительной математики и кибернетики (ВМК) Московского государственного университета имени М. В.
Ломоносова. Пособие предназначено в первую очередь начинающим преподавателям и лекторам, однако может оказаться полезным и для любознательных студентов. Отдельные задачи и примеры можно использовать
на семинарских занятиях и при подготовке математического практикума
для студентов младших курсов. Пособие отнюдь не заменяет уже известных учебников и задачников, но при этом содержит дополнительный материал иллюстративного типа.

Цикл дисциплин «Численные методы», преподаваемый на факульте
те ВМК, содержит следующие разделы. Обязательным для всех студентов 2 курса является предмет «Введение в численные методы», лекции
по которому читаются в течение одного семестра (36 часов). К сожалению, учебным планом не предусмотрены семинарские занятия. Основными разделами курса являются: решение систем линейных алгебраических
уравнений, приближение функций, численное интегрирование, численное
решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Начиная с 3 курса, студенты распределяются по кафедрам и делятся,

в соответствии с выбранной специальностью, на три потока. Дальше речь
пойдет только о первом потоке, в который входят студенты кафедр общей
математики, вычислительных технологий и моделирования, математической физики, вычислительных методов, автоматизации научных исследований, функционального анализа и его приложений. Обязательными для
студентов первого потока 3 курса являются лекции по общему курсу численных методов, который состоит из двух разделов: «Численные методы
алгебры» (лекции в 5 семестре, два часа в неделю) и « Численные методы
решения дифференциальных уравнений» (лекции в 6 семестре, два часа
в неделю).

Наконец, обязательным для студентов 4 курса первого потока явля
ется семестровый курс лекций (72 часа) «Численные методы математической физики», который содержит изложение теории разностных схем
для уравнений в частных производных, а также начальные сведения из

3

Настоящее пособие отражает опыт преподавания курса  «Введение в чис
ленные методы» на факультете вычислительной математики и кибернетики 
(ВМК) Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Пособие предназначено в основном для студентов-бакалавров физикоматематических специальностей. Оно может оказаться полезным также студентам магистратуры и аспирантам. Отдельные задачи и примеры можно 
использовать на семинарских занятиях и при проведении математического 
практикума на младших курсах. Пособие отнюдь не заменяет уже известных 
учебников и задачников, но при этом содержит дополнительный материал иллюстративного типа.

ПРЕДИСЛОВИЕ

метода конечных элементов.

Студентам магистратуры предлагаются подробные курсы метода ко
нечных элементов и методов, предназначенных для реализации на многопроцессорных вычислительных системах.

Разумеется, помимо упомянутых обязательных курсов, читаются мно
гочисленные специальные курсы, рассчитанные на более узкий круг студентов. Подробные программы всех курсов можно найти в сборниках [80]
— [82], издаваемых факультетом ВМК. Приведем программу курса «Введение в численные методы».

Содержание курса «Введение в численные методы»

Глава 1. Математическое моделирование и вычислительный экспери
мент

§ 1. Схема вычислительного эксперимента: модель, алгоритм, програм
ма

§ 2. Вычислительный алгоритм
§ 3. Требования к вычислительным методам
Глава 2. Численное решение систем линейных алгебраических уравне
ний

§ 1. Исходная задача
1. Существование и единственность решения. Условие диагонального

преобладания

2. Норма вектора и подчиненная ей норма матрицы
3. Непрерывная зависимость решения от правой части
§ 2. Число обусловленности. Оценка относительной погрешности
§ 3. Метод Гаусса численного решения систем линейных

алгебраических уравнений

1. Основная идея метода и расчетные формулы
2. Подсчет числа действий
3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
4. Вычисление определителя
§ 4. Метод прогонки
1. Исходная система уравнений
2. Вывод формул прогонки

4

3. Расчетные формулы и подсчет числа действий
4. Устойчивость метода прогонки
§ 5. Примеры и канонический вид итерационных методов решения си
стем линейных алгебраических уравнений

1. Итерационные методы Якоби и Зейделя. Матричная запись методов
2. Каноническая форма одношаговых итерационных методов
§ 6. Исследование сходимости итерационных методов
1. Необходимое условие сходимости
2. Теорема о достаточном условии сходимости итерационного метода
3. Примеры исследования сходимости итерационных методов
Глава 3. Интерполирование
§ 1. Интерполирование алгебраическими многочленами
1. Постановка задачи интерполирования
2. Интерполяционная формула Лагранжа
3. Интерполяционная формула Ньютона
§ 2. Погрешность интерполирования
1. Остаточный член интерполяционной формулы
2. Экстраполирование
3. Понятие сходимости интерполяционного процесса. Пример расходи
мости

4. Интерполирование с кратными узлами
§ 3. Интерполирование сплайнами
1. Введение: кусочно полиномиальное интерполирование
2. Построение кубического сплайна. Существование и единственность

кубического сплайна

3. Сходимость процесса интерполирования кубическими

сплайнами (без доказательства)

Глава 4. Численное интегрирование
§ 1. Примеры формул численного интегрирования
1. Введение: постановка задачи, понятия квадратурной формулы и

квадратурной суммы Квадратурные формулы на частичном отрезке, составные квадратурные формулы. Погрешность квадратурной формулы

2. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона: построение и оцен
ки погрешности

5

§ 2. Апостериорная оценка погрешности. Автоматический выбор шага

интегрирования

§ 3. Квадратурные формулы Гаусса
1. Квадратурные формулы интерполяционного типа
2. Постановка задачи о построении квадратурных формул наивысшей

алгебраической степени точности

3. Существование и единственность квадратурных формул наивысшей

алгебраической степени точности

4. Свойства квадратурных формул Гаусса
5. Частные случаи квадратурных формул Гаусса
Глава 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных урав
нений

§ 1. Примеры численных методов решения задачи Коши
1. Задача Коши для обыкновенного нелинейного дифференциального

уравнения первого порядка. Теоремы существования и единственности
(без доказательства)

2. Явный метод Эйлера
3. Симметричная схема
§ 2. Методы Рунге-Кутта
1. Пример метода Рунге-Кутта второго порядка точности: построение,

исследование сходимости

2. Общая формулировка методов Рунге-Кутта (без доказательства схо
димости)

§ 3. Линейные m-шаговые методы (методы Адамса)
1. Формулировка методов
2. Погрешность аппроксимации. Построение явных m-шаговых
методов наивысшего порядка аппроксимации
§ 4. Разностная аппроксимация краевой задачи
1. Постановка краевой задачи для линейного обыкновенного диффе
ренциального уравнения второго порядка.

2. Сетки и сеточные функции
3. Разностная краевая задача. Погрешность аппроксимации
3. Cходимость и точность разностной схемы

6

Обязательная литература

1. Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский. Вводные лекции по численным

методам. М.: Логос, 2004.

2. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука, 1989.

Дополнительная литература

1. А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова . Вычислительные

методы для инженеров.—М.: Высшая школа, 1994.

2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы.

М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2011.

3. Е.А. Волков. Численные методы.—М.: Наука, 1987.
4. М.П. Галанин, Е.Б. Савенков. Методы численного анализа матема
тических моделей: М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.

5. Н.Н. Калиткин. Численные методы. Изд. 2, СПб.: БХВ-Петербург,

2011.

6. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. Вычислительные

методы.— Т. I. — М.: Наука, 1976. То же.Т. II. — М.: Наука, 1977.

7. А.А. Самарский. Введение в численные методы. – 3-е изд. — СПб.:

Издательство "Лань“, 2005.

Основу настоящей книги составляют примеры, задачи и упражнения

из области численных методов. Предполагается, что читатель знаком с
основами математического анализа и линейной алгебры (см., например,
[35, 36, 37, 54]) и с элементами программирования на алгоритмических
языках (см., например, [9, 106, 119]).

Большинство задач предполагает выполнение серии численных рас
четов. При проведении вычислительной работы можно воспользоваться
такими средствами как микрокалькулятор и персональный компьютер,
снабженный системами MathCad, MathLab, Maple и другими. Авторы исходили из того, что перечисленная техника доступна студентам, и с ее
помощью они могут проводить, например, вычисление значений элементарных функций и построение графиков. Большинство из предложенных
задач допускает многочисленные варианты исходных данных и может
быть использовано при подготовке лабораторных работ вычислительного практикума. Мы сочли полезным привести подробные решения всех

7

задач и будем благодарны всем читателям, проверившим и, может быть,
упростившим эти решения. При изложении развернутых примеров авторы опирались на свой опыт вычислительной практики и, вероятно, уделили недостаточно внимания многим аспектам конструирования и использования численных методов. Авторы не претендуют на оригинальность
предложенных задач и обращают внимание читателя на такие сборники
задач как [8], [28], [31], [43], [44], [56], [59], [96], [104].

Авторы выражают благодарность академику РАН профессору Д.П.

Костомарову и члену-корреспонденту РАН профессору Ю.П. Попову за
полезные замечания, высказанные в процессе рецензирования. Авторы хотят поблагодарить также своих коллег М.В. Абакумова, Б.И. Березина,
Н.Н. Попову и М.М. Хапаева за помощь в работе.

Гулин А.В., Мажорова О.С., Морозова В.А.

8

Глава 1

Введение. Математическое
моделирование и вычислительный
эксперимент

Настоящее Введение было написано академиком Александром Андреевичем Самарским1 для книги [98].

А.А. Самарский

Эффективное решение естественнонаучных задач сей
час невозможно без применения быстродействующих вычислительных машин (ЭВМ, компьютеров). В настоящее
время выработалась технология исследования сложных
проблем, основанная на построении и анализе с помощью
ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой
метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Пусть, например, требуется исследовать какой-то фи
зический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента выглядит так, как показано на
рис. 1.

Формулируются основные законы, управляющие данным объектом ис
следования (1) и строится соответствующая математическая модель (2),
представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений
(алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. д.). При выборе
физической и, следовательно, математической модели мы пренебрегаем

1А.А. Самарский (1919 – 2008) — российский математик, академик РАН, крупнейший специалист

в области вычислительной математики и математической физики.

9

Рис. 1.1: Cхема вычислительного эксперимента

факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого
процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров,
малых отклонениях от равновесия и др.) эти уравнения можно заменить
линейными.

После того как задача сформулирована в математической форме, необ
ходимо найти ее решение. Но что значит решить математическую задачу?
Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например в виде ряда. Иногда утверждение "задача решена"означает,
что доказано существование и единственность решения. Ясно, что этого недостаточно для практических приложений. Необходимо еще изучить
качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики. Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как
следствие, развитие численных методов (см. 3 на рис. 1). Под численным
методом здесь понимается такая интерпретация математической модели
("дискретная модель"), которая доступна для реализации ЭВМ. Например, если математическая модель представляет собой дифференциальное
уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его
разностное уравнение совместно с алгоритмом, позволяющим отыскать
решение этого разностного уравнения. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел. Отметим, что в
настоящее время помимо собственно численных методов имеются также

10