Финансовая статистика и финансовые вычисления

ФИНАНСОВАЯ СТАТИСТИКА 
И 
ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2021

Методическое пособие
для студентов, обучающихся
по направлениям подготовки 
«Экономика» и «Товароведение»
очной и заочной форм обучения  

УДК 336(073)
ББК  65.051.526
         Ф59

Рецензенты: 
доктор экономических наук, профессор 
Т.Е. Гварлиани 
ведущий научный сотрудник СНИЦ РАН 
А.А. Сарян 

Составители: 
Е.Е. Синявская, В.А. Янюшкин 

Финансовая статистика и финансовые вычисления: методическое
пособие / сост. Е.Е. Синявская, В.А. Янюшкин. — Москва : ФЛИНТА, 2021. — 85 
с. — ISBN 978-5-9765-4785-8. — Текст : электронный.

Рассматриваются финансовые вычисления, необходимые для анализа сделок. 
Представлено систематизированное изложение основных понятий и методов финансовых 
вычислений, рассматриваются основные понятия, которыми оперируют в финансовых 
вычислениях, методы наращения и дисконтирования платежей, принципы, лежащие в 
основе финансовых вычислений, современная практика расчетов.  
Дается представление об основных концепциях, определениях и показателях 
статистики финансов, статистических системах учета финансовых потоков и активов 
государства для формирования у студентов навыков работы с официальными и 
альтернативными источниками данных статистики финансов.  

Предназначено 
для 
студентов, 
обучающихся 
по 
направлениям 
подготовки 
«Экономика» и «Товароведение» очной и заочной форм обучения. 

УДК 336(073)
ББК  65.051.526 

© ФГБОУ ВО «СГУ», 2020 
© Синявская Е.Е., Янюшкин В.А., 
    составление, 2020

Ф59

ISBN 978-5-9765-4785-8

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………………….…4
1. Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах………………………..6
2. Простые проценты………………………………………………………………………...9
2.1. Простые процентная и учетная ставки............................................................................. 9
2.2. Определение наращенной суммы по простым процентам........................................... 10
2.3. Начисление простых процентов по переменным простым процентным ставкам..... 11
2.4. Определение периода времени начисления простых процентов ................................ 13
2.5. Определение современной стоимости будущих платежей.......................................... 16
2.6. Эквивалентность простых учетной и процентной ставок............................................ 18
2.7. Учет инфляции ................................................................................................................. 19
2.8. Контрольные задания....................................................................................................... 22
3. Сложные проценты……………………………………………………………………...27
3.1. Определение наращенной суммы по сложным процентам.......................................... 27
3.2. Начисление сложных процентов несколько раз в год.................................................. 29
3.3. Начисление сложных процентов по переменным процентным ставкам.................... 30
3.4. Определение уровня ставки процентов ......................................................................... 31
3.5. Дисконтирование по сложной ставке процентов.......................................................... 32
3.6. Начисление непрерывных процентов ............................................................................ 33
3.7. Эквивалентность простых и сложных ставок ............................................................... 35
3.8. Инфляционные процессы................................................................................................ 35
3.9. Формула удвоения суммы задолженности .................................................................... 37
3.10. Контрольные задания..................................................................................................... 38
4. Финансовая статистика................................................................................................... 42
4.1. Предмет и задачи статистики финансов ........................................................................ 42
4.2. Статистика государственного бюджета......................................................................... 48
4.3. Статистика финансовых резервов коммерческих организаций .................................. 58
4.4. Статистика денежного обращения ................................................................................. 64
4.5. Статистика кредита......................................................................................................... 70
4.6. Статистика ценных бумаг ............................................................................................... 73
4.7. Контрольные задания....................................................................................................... 78
5. Основные понятия............................................................................................................ 81
Библиографический список................................................................................................ 84

Введение

Это пособие представляет собой введение в классическую финансовую 

математику. Классическую финансовую математику часто называют 
математикой кредита или, учитывая ту основополагающую роль, которую 
играют процент и процентная ставка в кредитных операциях, теорией 
процентов, теорией процентной ставки и т.п. В отечественной литературе 
прикладные аспекты классической финансовой математики получили 
название финансовые и коммерческие расчеты, финансовые вычисления и т.п.

Финансовая математика изучает
методы и методики определения 

стоимостных и временных параметров финансовых и инвестиционных 
операций, процессов и сделок, а также модели управления инвестициями, 
капиталом и его составляющими. Объект финансовой математики –
финансовые операции и сделки и их технико-экономическое обоснование, 
направленное на извлечение прибыли. Предмет – финансовые и актуарные 
оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов 
отдельно взятых участников этих сделок, определяемых в виде процентных 
ставок, норм и коэффициентов, скидок, доходов и дивидендов, ренты и маржи, 
котировок ценных бумаг, курсов валют, курсовых разниц и пр.

Финансовая математика охватывает определенный круг методов 

вычислений, необходимость в которых возникает всякий раз, когда в 
условиях сделки или финансово-банковской операции оговариваются 
конкретные значения трех видов параметров:

1) 
стоимостные 
характеристики 
(размеры 
платежей, 
долговых 

обязательств, кредитов и т. д.);

2) временные данные (даты и сроки выплат, продолжительность 

льготных периодов, отсрочки платежей и т. д.);

3) процентные ставки (последние иногда задаются в открытой форме).
Методы финансовой математики используются в расчетах параметров, 

характеристик 
и свойств инвестиционных операций и стратегий, 

параметров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, 
в расчетах амортизации, страховых взносов и премий, пенсионных 
начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке 
прибыльности финансовых сделок. Методы финансовой математики чаще 
всего применяются при решении следующих практических задач: 

1) исчисление конечных сумм денежных средств, находящихся во 

вкладах, займах, ценных бумагах путем начисления процентов; 

2) учет ценных бумаг;
3) установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и 

определение параметров сделки, исходя из заданных условий;

4) определение эквивалентности параметров сделки для получения 

равной отдачи от затрат, произведенных различными способами; 

5) анализ последствий изменения условий финансовой операции; 
6) исчисление обобщающих характеристик и отдельных параметров 

денежных средств, рассматриваемых как финансовые потоки; 

7) разработка планов выполнения финансовых операций; 
8) расчет показателей доходности финансовых операций и др.
На практике методы финансовой математики применяют в работе 

финансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, 
фондовых и валютных бирж.

В пособии также рассматривается система статистических показателей 

государственных финансов, денежного обращения, цен и инфляции, 
ценных 
бумаг, 
банковской 
деятельности, 
страхования 
и 

макроэкономические показатели. Студентам дается представление об 
основных концепциях, определениях и показателях статистики финансов, 
статистических системах учета финансовых потоков и активов государства, 
информационных потребностях сектора государственного управления в 
достоверных 
статистических 
данных, 
знакомит 
с 
практическими 

возможностями статистического анализа государственных финансов в 
народнохозяйственном контексте, позволяет сформировать навыки работы 
с официальными и альтернативными источниками данных статистики 
финансов.

Настоящее пособие может быть использовано для изучения дисциплин 

«Финансы, деньги и кредит», «Финансовая математика», «Математическое 
обеспечение финансовых решений», «Статистика финансов». Материал 
пособия имеет общий характер и может быть применен в расчетах часто 
встречающихся на практике финансовых операций: расчете кредитных и 
коммерческих 
операций, 
эффективности 
предпринимательской 

деятельности.

В пособии приводятся подробные примеры решений типовых задач, а 

также задачи для самостоятельной работы.

1. Время как фактор 

в финансовых и коммерческих расчетах

Любая 
финансовая, 
кредитная 
или 
коммерческая 
операция 

предполагает совокупность условий, согласованных ее участниками. 
К таким условиям относятся: сумма кредита, займа или инвестиций, цена 
товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т.д. 
Совместное влияние на финансовую операцию многих факторов делает 
конечный ее результат неочевидным.

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег 

обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или 
интервалами 
времени. 
Для 
этого 
в 
контрактах 
фиксируются 

соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных 
средств или их выплат. Фактор времени играет не меньшую роль, чем 
размеры денежных сумм.

Необходимость учета фактора времени определяется принципом 

неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. 
«Золотое» правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, 
больше той же суммы, полученной завтра». Дело в том, что даже в 
условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученных через год, 
не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность 
определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть 
инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь 
могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в 
этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем 
современные. 
Очевидным 
следствием 
принципа 
«неравноценности» 

является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся 
к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо 
лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете 
для получения итогов по периодам и в финансовом контроле. 
В финансовых вычислениях фактор времени обязательно рассматривается 
в качестве одного из важнейших элементов, а его учет осуществляется с 
помощью начисления процентов.

Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых 

расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег 
в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, 
помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка 
сберегательного сертификата или облигаций и т.д. В какой бы форме не 
выступали 
проценты, 
это 
всегда 
конкретное 
проявление 
такой 

экономической категории, как ссудный процент.

Ссудный 
процент
(процентный 
доход) 
—
это 
денежное 

вознаграждение, которое получают кредиторы, предоставляя кредит. 
Ссудный процент является ценой кредита, или платой, которую заемщик 
денег должен кредитору за пользование кредитом. Ссудный процент 
представляет собой доход на ссудный капитал.

Ссудный процент выражает взаимоотношения кредиторов и заемщиков 

и характеризует: 1) распределение доходов; 2) риски, которые несут 
кредиторы и заемщики в процессе кредитования.

При 
распределении 
доходов, 
полученных 
на 
инвестированные 

средства, доля заемщика составляет предпринимательский доход, доля 
кредитора — ссудный процент.

Одним из основополагающих принципов финансовых расчетов

является признание временной ценности денег, то есть зависимости их 
реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их 
получения или расходования. Наряду с инфляционным обесцениванием 
денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного 
экономического феномена. 

Во-первых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” 

из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем 
больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого 
“завтра”. 

Во-вторых, 
располагая 
денежными 
средствами 
“сегодня”, 

экономический субъект может вложить их в какое—нибудь доходное 
предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих 
денег лишен этой возможности. 

В-третьих, 
снижается 
платежеспособность, 
так 
как 
любые 

обязательства, 
получаемые 
взамен 
денег, 
имеют 
более 
низкую 

ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск 
потери ликвидности.

В практике существуют различные способы начисления процентов, 

зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные 
виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором 
исходной базы (суммы) для начисления процентов.

Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной 

сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в 
предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются 
простыми, а во втором - сложными процентными ставками. 

При начислении простых процентов наращение первоначальной 

суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении 
сложных процентов – в геометрической. 

Процентные 
ставки, 
указываемые 
в 
контрактах, 
могут 
быть 

постоянными или переменными («плавающими»). Плавающие ставки 
часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом случае 
значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой 
величины и надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может 
служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London
interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. 
Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.).

Наращение и дисконтирование

Процесс, в котором по заданной исходной сумме и процентной ставке 

необходимо найти ожидаемую в будущем к получению сумму, в 
финансовых вычислениях называется процессом наращения. Процесс, в 
котором по заданной ожидаемой в будущем к получению сумме и 
процентной ставке необходимо найти исходную сумму долга называется 
процессом дисконтирования.

Экономический смысл метода наращения состоит в определении 

величины, которая будет или может быть получена из некоторой 
первоначальной (текущей) суммы в результате проведения операции. 
Другими словами, метод наращения позволяет определить будущую 
величину (future value - FV или S) текущей суммы (present value - PV или Р) 
через некоторый промежуток времени, исходя из заданной процентной 
ставки. 

Дисконтирование 
представляет 
собой 
процесс 
нахождения 

современной на заданный момент времени суммы по ее известному или 
предполагаемому значению в будущем, исходя из заданной процентной 
ставки. В экономическом смысле величина PV, найденная в процессе 
дисконтирования, показывает современное (с позиции текущего момента 
времени) 
значение 
будущей 
величины 
FV. 
Таким 
образом 
–

дисконтирование – это по сути дела зеркальное отражение наращения. 
Используемую при этом процентную ставку называют нормой дисконта.

2. Простые проценты

2.1. Простые процентная и учетная ставки

Количественной 
мерой 
величины 
этого 
возмещения 
является 

процентная ставка. С ее помощью может быть определена как будущая 
стоимость “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), 
так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость 
“завтрашних” денег – например, тех, которыми обещают расплатиться 
через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае 
говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто 
называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование
или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему 
моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая 
стоимость. 

Ставка 
процента 
(процентная 
ставка)
—
это 
отношение 

процентного дохода к величине ссуды.

Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения 

стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения 
называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, 
рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую (наращенную) сумму 
S, а современную (или первоначальную) P, то:

𝑰 =  𝑺 –  𝑷 

Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в 

десятичных дробях или %, и определяется делением процентов, 
полученных за определенное время T, на первоначальную сумму P: 

𝒊 = 
𝑰

𝑷 ∗ 𝑻 = 𝑺 − 𝑷

𝑷 ∗ 𝑻

Формула 
расчета 
процентной 
ставки 
идентична 
расчету 

статистического показателя “темп 
прироста”. Действительно, если 

абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной 
величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и 
будет темпом прироста первоначальной суммы. 

Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется 

декурсивным методом начисления процентов. 
Кроме процентной существует учетная ставка.

Учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), является 

относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и 
определяется делением суммы дисконта, полученного за определенное 
время T, на ожидаемую сумму погашения долга или будущую 
(наращенную) сумму S. 

Величина учетной ставки определяется по формуле: 

𝒅 = 
𝑫

𝑺 ∗ 𝑻 = 𝑺 − 𝑷

𝑺 ∗ 𝑻  

где D – сумма дисконта. 

Сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым 

образом – как разница между будущей и современной стоимостями. 
Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом 
случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то 
во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее 
величины. (Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). 

Основной 
областью 
применения 
учетной 
ставки 
является 

дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению 
процентов, но иногда она используется и для наращения. В этом случае
говорят об антисипативных процентах. 

2.2. Определение наращенной суммы 

по простым процентам

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов 

производится по различным формулам: 

Простые декурсивные проценты :

𝑺𝒊  =  𝑷 ∗ (𝟏 + 𝑻 ∗ 𝒊) 

Простые антисипативные проценты: 

𝑺𝒅  =
𝑷

𝟏 − 𝑻 ∗ 𝒅

где T – продолжительность ссуды, измеренная в годах. 
Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах 

называются множителями наращения простых процентов:

𝑲н = (𝟏 +  𝑻 ∗ 𝒊)
–
множитель наращения
простых декурсивных 

процентов;

𝑲н = 

𝑷

𝟏−𝑻∗𝒅
–
множитель 
наращения 
простых 
антисипативных 

процентов.

Задача. Ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 

30 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение.

1) Декурсивные проценты:

наращенная сумма

𝑺𝒊  =  𝑷 ∗ (𝟏 + 𝒏 ∗ 𝒊)

𝑺𝒊  =  𝟏 ∗ (𝟏 +  𝟎, 𝟓 ∗  𝟎, 𝟑) = 𝟏, 𝟏𝟓 млн. рублей,

сумма начисленных процентов (I) 

𝑰 =  𝑺 –  𝑷 =  𝟏, 𝟏𝟓 –  𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟓

Ответ. Наращенная сумма 1 150 000 рублей.

2) Антисипативные проценты:

наращенная сумма

𝑺𝒅  =
𝑷

𝟏 − 𝑻 ∗ 𝒅

𝑺𝒅  =

𝟏

𝟏−𝟎,𝟓∗𝟎,𝟑 = 1,176471

 𝑫 =  𝑺 –  𝑷 =  𝟏, 𝟏𝟕𝟔 –  𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟔471

Ответ. Наращенная сумма 1 176 471 рублей.

Наращение по антисипативному методу всегда происходит более 

быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому 
банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым 
ими ссудам в периоды высокой инфляции.

У антисипативного метода есть существенный недостаток: при 𝒏 = 

𝟏

𝒅

знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

2.3. Начисление простых процентов по переменным 

простым процентным ставкам

В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с 

целью 
снижения 
своего 
процентного 
риска 
могут 
устанавливать 

переменные ставки процентов для различных финансовых операций. 

Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой 

из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные 
суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что 
аналогом процентной ставки в статистике является показатель “темп 
прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о 
базисных темпах прироста, т.к. первоначальная сумма P
остается 

неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть 
интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим 
умножением на первоначальную сумму займа. Погашаемая в конце срока 
ссуды сумма составит:

𝑺𝒊  =  𝑷 ∗ (𝟏 + 𝑻𝟏 ∗ 𝒊𝟏  + 𝑻𝟐 ∗ 𝒊𝟐  + 𝑻𝟑 ∗ 𝒊𝟑  + ⋯ + 𝑻𝒋 ∗ 𝒊𝒋  + ⋯ )

𝑺𝒊  =  𝑷 ∗ (𝟏 + ∑ 𝑻𝒋 ∗ 𝒊𝒋

𝑱

𝒋=𝟏

)