Функции комплексной переменной

ФУНКЦИИ  
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 

Методические указания  
по выполнению самостоятельных работ 
для студентов-бакалавров по направлениям подготовки 
«Строительство» и «Бизнес-информатика» 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2021

УДК 51
ББК  22.16
         Ф94

Рецензент 
к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики и  информатики СГУ 
Е.И. Улитина 

Составители:
О.Ю. Горлова 
В.И. Самарин 

Функции комплексной переменной: методическе указания по выполнению
самостоятельных работ / сост.: О.Ю. Горлова, В.И. Самарин. — Москва :
ФЛИНТА, 2021. — 78 с. — ISBN 978-5-9765-4720-9. — Текст : электронный.

Содержат 
основные 
определения, 
правила, 
теоремы 
и 
формулы, 
необходимые для выполнения самостоятельных работ по разделу «Функции 
комплексной переменной», а также варианты заданий самостоятельных работ. 
Приведены примеры решения типовых задач. 
Для студентов-бакалавров по направлениям подготовки «Строительство» и 
«Бизнес-информатика». 

УДК 51
ББК  22.16 

© ФГБОУ ВО «СГУ», 2018 
© Горлова О.Ю., Самарин В.И., 
    составелние, 2018

Ф94

 ISBN 978-5-9765-4720-9

Справочный материал

по теме «Комплексные числа»


Мнимая единица – число i, квадрат которого равен –1, т.е. i = 
1


и – i = –
1

(более корректно: 
1

представляет собой множество, 

состоящее из двух чисел: i и – i).


Комплексное число – число вида а + bi, где а, b 
, т.е. а, b –

действительные числа. Совокупность всех значений z = а + bi образует 
множество комплексных чисел 
. Поскольку при b = 0 комплексные 

числа становятся обычными действительными числами, то 

1).


Действительная часть комплексного числа z = а + bi: Re(z) = 

Re(а + bi) = а.


Мнимая часть комплексного числа z = а + bi: Im(z) = Im(а + bi) = b.


Мнимое число – комплексное число вида z = bi, где b ≠ 0, т.е. 

мнимое число – это отличное от нуля комплексное число с нулевой 
действительной частью.


Модуль комплексного числа z = а + bi: |z| = 
2
2
b
а 
.


Нулевое значение комплексного числа
(комплексный нуль):

комплексное число z = а + bi = 0, у которого одновременно а = 0 и b = 0, 
т.е.  z = 0 + 0i = 0.


Равенство комплексных чисел: комплексные числа z1 = а1 + b1i и 

z2 = а2 + b2i равны, если одновременно а1 = а2 и b1 = b2, т.е. равенство двух 
комплексных чисел 
z1
= z2
означает 
совместное 
равенство их 

действительных мнимых частей.


Комплексно сопряженные числа – два комплексных числа z и z*, 

отличающиеся только знаком мнимой части, т.е. комплексно сопряженным 
для z = а + bi является число z* = а – bi.


Геометрическое 
представление 
комплексного 
числа 
на 

комплексной плоскости: на комплексной плоскости ось абсцисс
называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью, 
точка 
пересечения 
этих 
осей 
называется 
полюсом
комплексной 

плоскости. Комплексное число z = а + bi на комплексной плоскости 
изображается точкой с абсциссой a и ординатой b (т.е. множество всех 
действительных чисел на этой плоскости –
точки оси абсцисс, а 

комплексному числу z = а + bi соответствует точка на комплексной 
плоскости с координатами (а; b)). Поскольку каждая точка на 
координатной плоскости может определяться радиус-вектором этой точки, 
то каждому комплексному числу z = а + bi соответствует определенный 

1) Во избежание ошибок при выполнении операций с действительными числами следует 

считать, что 
2)
2
(
= |(– 2)| = 2, а при выполнении операций с комплексными числами 

следует записывать 
2


2

= (i 2 )(i 2 ) = i 2( 2 )2 = – 2.

вектор, исходящий из полюса в соответствующую точку комплексной 
плоскости (рис. 1). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа 

|z| = 
2
2
b
а 
, 0  |z| < .
Т.о., число z* = а – bi, которое является 

комплексно сопряженным для числа z = а + bi, строится на комплексной 
плоскости 
как 
точка
z*, 
симметричная 
точке 
z
относительно 

действительной оси системы координат комплексных чисел
(осевая 

симметрия точек z и z*).


Аргумент комплексного числа z = а + bi – угол  в радианах 

между радиус-вектором комплексного числа и положительной полуосью
действительной оси на комплексной плоскости. Угол  для комплексного 
числа z = а + bi имеет бесконечное множество значений, отличающихся 
друг от друга на 2k, где k – целое число, как отрицательное, так и 
неотрицательное (k 
). Угол , заданный в интервале –  <    или 0 

arg z < 2 называется главным значением аргумента комплексного числа 
z и обозначатся как  = arg z. Значение аргумента комплексного числа z = а 
+ bi для любых значений k обозначается как Arg z. Т.о., Arg z = arg z + 2k.
Т.о., sin  = b/|z|, cos  = a/|z|, tg  = b/a. 2)

Рис. 1. Геометрическое представление комплексных чисел


Комплексное число z = : для однозначной определенности 

комплексного числа z =  используется отображение комплексной 
плоскости на сферу Римана, которая касается с комплексной плоскостью
(xy), в полюсе z = 0 (где ось x – действительная ось, а y – мнимая ось 
комплексной плоскости, рис. 2). Точке z =  соответствует второй полюс 
сферы Римана (диаметрально противоположный полюсу z = 0), из которого 
проводится луч, соединяющий точку Z на сфере с некоторой точкой z на 
комплексной плоскости. При этом устанавливается взаимно однозначное 
соответствие между точками комплексной плоскости и точками на сфере 

2)
При записи Arg
z
сначала следует вычислить главное значение аргумента 

комплексного числа –  < arg z  , и только после этого к нему прибавить 2k.

– b

– 

– z = – а – bi
z* = а – bi

– а

| z |


Im

Re

b

0
а

z = а + bi

Римана. У комплексных чисел z = 0 и z =  аргументы не определены.

Рис. 2. Геометрическая модель комплексного числа z = 


Алгебраическая форма комплексного числа: z = а + bi.


Тригонометрическая форма комплексного числа: z = | z |∙(cos  +

i∙sin ), где учтено, что а = | z |∙cos  и b = | z |∙ sin .


Показательная форма комплексного числа: 

z = | z |∙еi = | z |∙е
k
i
z
i



2
arg
, k 
.
(1)


Формула Эйлера: еi = cos  + i∙sin .
(2)


Логарифм комплексного числа: логарифм комплексного числа z = 

|z|e
k
i
z
i



2
arg
 0 называется число A, такое, что справедливо равенство 

eA = z; логарифм комплексного числа обозначается A = Ln z = u + iv. Т.о., 
справедливо равенство e u + iv = |z|e
k
i
z
i



2
arg
, или e ue iv = |z|e
k
i
z
i



2
arg
, 

откуда e u = |z|, u = ln |z| и v = arg z + 2k, т.е. Ln z = u + iv = ln |z| + i(arg z + 
2k), k 
. Следовательно, для каждого фиксированного k получаем 

определенное значение логарифма числа z. Из этого следует, что логарифм 
комплексного числа определяется неоднозначно, и Ln z = u + iv = ln |z| + 
i(arg z + 2k), k 
, – множество значений логарифма данного числа z. 

Если k = 0, то получаемая величина Ln zk=0 = ln z = ln |z| + iarg z
(– < 

arg z   или 0  arg z < 2) называется главным значением логарифма.

Примеры решения задач

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа z = 8 –

6i. определить модуль этого числа.

Решение. 
Комплексное число задано в алгебраической форме: z = 8 – 6i.
Находим действительную часть числа z = 8 – 6i – действительное 

число в z без множителя, равного мнимой единице: Re(z) = Re(8 – bi) = 8.

Находим мнимую часть числа z = 8 – 6i – множитель при мнимой 

единице i: Im(z) = Im(8 – 6i) = – 6.

Находим модуль числа z = 8 – 6i: |z| =
2
2
))
(Im(
))
(Re(
z
z

= 

Х

y

0

x
z

Z = 

Z – стереографическая проекция комп
лексного числа z на сферу Римана

Y

2
2
)
6
(
8


= 100 = 10.

Ответ: Re(8 – bi) = 8, Im(8 – 6i) = – 6, |z| = |8 – 6i | =10.

2. Определить, при каких p и q два комплексных числа z1 и z2

являются равными: а) z1 = p – 5i, z2 = 3 + qi; б) z1 = p∙(cos 7

4

+ i∙sin 7

4

); z2 =

2∙(cos q + i∙sin q).

Решение.

а) Согласно определению два комплексных числа являются равными, 

если равны их действительные и мнимые части, т.е. z1 = z2 только при 
условии, что p = 3 и q = – 5.

б) Два комплексных числа в тригонометрической форме z1 = p∙(cos 7

4

+ 

i∙sin 7

4

); z2 = 2∙(cos q + i∙sin q) будут равными, если равны модули этих 

чисел и arg z1 – arg z2 = 2k, k 
. Т.о., z1 = z2 только при условии, что p = 

2 и q = 7

4

+ 2k.

3. Записать комплексное число z = 
3 + i в тригонометрической и 

показательной формах.

Решение.
Комплексное число задано в алгебраической форме: z = 3 + i, Re(z) = 

3, Im(z) = 1.

Находим модуль числа z = 3 + i: |z| = 
2
2
1
)
3
(

= 4 = 2.

Находим аргумент числа z = 3 + i. Для этого воспользуемся системой 

равенств: sin  = Im(z)/|z| = 3/2, cos  = Re(z)/|z| = 1/2, т.е. угол  в первой 
четверти комплексной плоскости. Следовательно, arg z = /3,  = Arg z = 
arg z + 2k = /3 + 2k, k 
.

Записываем комплексное число z = 
3 + i в тригонометрической 

форме: z=|z|∙(cos+i∙sin) = 2(cos(/3 + 2k) + i∙sin(/3 + 2k)).

Записываем комплексное число z = 
3 + i в показательной форме: z = 

|z|∙еi = 2
k
i
i



2
3
/
e
.

Ответ: z = 3 + i = 2(cos(/3 + 2k) + i∙sin(/3 + 2k)) = 2
k
i
i



2
3
/
e
.

4. Записать в показательной форме числа а) z = i; б) z = – i; в) z = 1; 

г) z = – 1.

Решение.
Строим радиус-векторы чисел z = i;  z = – i;  z = 1;  z = – 1 на 

комплексной плоскости (рис. 3)

Рис. 3. Графическое представление чисел z = i;  z = – i;  z = 1;  z = – 1

а) Находим модуль числа z = i = 0 + 1i: |z| = 
2
2
1
0 
= 1. Главное 

значение аргумента числа z = i (см. рис. 3) arg i = /2. Следовательно, 
i =
k
i
i



2
2
/
e
.

б) Находим модуль числа z = – i = 0 + (– 1)i: |z| = 
2
2
)1
(
0


= 1. 

Главное значение аргумента числа z = – i (см. рис. 3) arg (– i) = – /2. 
Следовательно, – i =
k
i
i




2
2
/
e
.

в) Находим модуль числа z = 1 = 1 + 0i: |z| = 
2
2
0
1 
= 1. Главное 

значение аргумента числа z = 1 (см. рис. 3) arg 1 = 0. Следовательно, 
1 =
k
i
i



2
0
e
= 
k
i
2
e
.

г) Находим модуль числа z = – 1 = – 1 + 0i: |z| = 
2
2
0
)1
(


= 1. 

Главное значение аргумента числа z = – 1 (см. рис. 3) arg (– 1) = . 
Следовательно,  –1 =
k
i
i




2
e
.

5. Найти множество значений логарифма и
главные значения 

логарифма для следующих чисел: а) z = 1; б) z = 3 – i; в) z = 5i.

Решение.
a) Находим модуль и главное значение аргумента числа z = 1: |z| = 1; arg

z = 0. Множество значений логарифма в комплексной плоскости числа z
задается формулой Ln z = ln |z| + i(arg z + 2k), k 
, т.е. для числа z = 1 

имеем: Ln 1 = ln 1 + i(0 + 2k), или Ln 1 =2i k), где k 
. Главное 

значение логарифма ln z = = ln 1 + i0 = 0.

б) Находим модуль и главное значение аргумента числа z = 3 – i: |z| = 

2; arg z = – /6. Множество значений логарифма в комплексной плоскости 
числа z = 3 – i определяется как Ln ( 3 – i) = ln 2 + i(– /6 + 2k), где k 

. Главное значение логарифма ln z = = ln 2 – i/6.

в) Находим модуль и главное значение аргумента числа z = 5i: |z| = 5; 

arg z = /2. Множество значений логарифма в комплексной плоскости 
числа z = 5i определяется как Ln (5i) = ln 5 + i(/2 + 2k), где k 
. 

Главное значение логарифма ln z = = ln 5 + i/2.

– 1

– i

/2


– /2

y

x

1

i

0

6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, для 

которых выполняется Re(z) ≤ – 1.

Решение.
Имеем: z = х + yi. Тогда условие примет вид Re(х + yi) ≤ – 1, или х ≤  – 1. 

График функции х = – 1 на комплексной плоскости z является прямой, 
параллельной мнимой оси y и пересекающей действительную ось х в точке х
= – 1. Условию х < – 1 удовлетворяют все точки координатной плоскости, 
находящиеся слева от прямой х = – 1. Т.о., условию Re(х + yi) ≤ – 1 будут 
удовлетворять все точки левой полуплоскости, граница которой – прямая х
= – 1 (рис. 4).

Рис. 4. Изображение множества точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих 

условию Re(z) ≤ – 1

7. Изобразить на комплексной плоскости числа z=– 2 +i 2 ,z*,–z,1/z.
Решение.
Комплексное число задано в алгебраической форме: z = – 2 + i 2 , 

Re(z) = – 2 , Im(z) = 2 , |z| = 
2
2
)
2
(
)
2
(


= 4 = 2.

Находим аргумент числа z = 3 + i. Для этого воспользуемся системой 

равенств: sin  = Im(z)/|z| = 
2 /2, cos  = Re(z)/|z| = – 2 /2, т.е. угол  во 

второй четверти комплексной плоскости. Следовательно, 
главным 

значением аргумента комплексного числа z = – 2 + i 2 является arg z = 
3/4. Т.о., в показательной форме z = 2
k
i
i



2
4
/
3
e
.

Комплексно сопряженное число z* = – 2 – i 2 , Re(z*) = – 2 , Im(z*)

= – 2 , |z*| = 
2
2
)
2
(
)
2
(



= 
4 = 2. arg z* = – 3/4. Следовательно, 

z* = (2
k
i
i



2
4
/
3
e
)* = 2
k
i
i




2
4
/
3
e
.

Число – z = 
2 – i 2 , Re(z) = 
2 , Im(z) = – 2 , |z| = 
2
2
)
2
(
)
2
(



= 
4 = 2, arg (–z) = – /4. Следовательно, – z = (2
k
i
i




2
4
/
e
)* = 

2
k
i
i




2
4
/
e
.

Обратное число 1/z = 1/(– 2 + i 2 ) = 1/(2
k
i
i



2
4
/
3
e
) = 2

1
k
i
i




2
4
/
3
e
= 

2
1 (cos(– 3/4 + 2k) + isin(– 3/4 + 2k)) = 2

1 (–
2 /2 – i 2 /2) = –
2 /4 –

i 2 /4, где учтено, что k – принимает целочисленные значения, как 
отрицательные, так и неотрицательное, поэтому ставить знак (–) перед 2ik
нет необходимости.

x

y

– 1
0