Решение задач школьного курса элементарной физики. Основы электродинамики: учебное пособие для учащихся старших классов общеобразовательных учебных заведений

 

 

К.К. Щегольков 

 

 

 

Решение задач  
школьного курса элементарной физики 
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 

 

 

Учебное пособие  
для учащихся старших классов  
общеобразовательных учебных заведений 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МОСКВА 

2020 
 

 

УДК 53(076.5) 
ББК 22.3я73 
Щ 34 

Щегольков К.К. 

Щ 34 
Решение задач школьного курса элементарной физики. Основы электродинамики: Учебное пособие для учащихся старших классов общеобразовательных учебных заведений / К.К. Щегольков. – 
М.: Прометей, 2020. – 70 с. 

Методическое пособие содержит типовые задачи и их подробные решения.  
Пособие может быть рекомендовано учащимся старших классов 
средних общеобразовательных учебных заведений и абитуриентам 
технических вузов. 

ISBN 978-5-907244-71-9 
© Щегольков К.К., 2020 
© Издательство «Прометей», 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Электростатика ........................................................................................................................................ 4 

2. Постоянный электрический ток. Закон Ома. Сопротивление проводников. .................................. 26 

3. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока ............................................................................. 41 

4. Электролиз ............................................................................................................................................. 46 

5. Магнитное поле. .................................................................................................................................... 50 

6. Электромагнитная индукция ................................................................................................................ 58 

7. Явление самоиндукции. Индуктивность. Переменный ток .............................................................. 62 

8. Электромагнитные колебания и волны ............................................................................................... 67 

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 

Электростатика изучает законы взаимодействия неподвижных электрических зарядов. Основной закон, устанавливающий силу взаимодействия неподвижных точечных 
зарядов−закон Кулона: 

Модуль силы 𝐹⃗ взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в 
пустоте (вакууме) прямо пропорционален произведению абсолютных значений зарядов 
𝑞и 𝑞и обратно пропорционален квадрату расстояния 𝑟 между телами 

                                        𝐹 = к
||||

,    где  к = 9 ∗ 10∗мКл

Часто вместо коэффициента к используют электрическую постоянную 𝜀, связанную с к соотношением 

                                        к =

отсюда        𝜀=
к = 8,85 ∗ 10Кл∗м
Сила 𝐹⃗ направлена вдоль прямой, соединяющей заряженные тела. Она является силой отталкивания при одинаковых знаках зарядов 𝑞и 𝑞и силой притяжения при разных 
знаках. 

За единицу электрического заряда принят кулон (Кл)−это заряд, проходящий за 1с 
через поперечное сечение проводника при силе тока 1А. Это очень крупная для электростатики единица. Носителями заряда являются электроны и протоны. Они имеют заряд 
1,6∗ 10Кл. Это наименьший заряд, существующий в природе. 

С использованием электрической постоянной закон Кулона имеет вид: 

                                         𝐹 =
||||



Электрическое поле 

Взаимодействие электрических зарядов объясняется тем, что вокруг каждого электрического заряда существует электрическое поле, способное действовать на другие электрические заряды. Поэтому взаимодействие зарядов 𝑞и  𝑞есть результат действия поля 
заряда 𝑞на заряд 𝑞и поля заряда 𝑞на заряд 𝑞. Величина воздействия характеризуется 
напряженностью электрического поля Е⃗ 

                                       Е⃗ =
⃗

,     где 𝑞− заряд, на который действует сила 𝐹⃗. 

Напряженность −это сила, действующая на единичный заряд. За направление напряженности поля принимают направление силы, действующей на положительный точечный заряд. 

Используя запись закона Кулона, получим модуль напряженности электрического 
поля точечного заряда 𝑞 

                                       Е = к
||

,    где 𝑟 −расстояние от заряда 𝑞, создающего поле, 
до точки наблюдения. 

Зная напряженность электрического поля в данной точке Е⃗, можно определить модуль и направление силы 𝐹⃗, с которой электрическое поле будет действовать на любой 
электрический заряд в этой точке 

                                       𝐹⃗ = 𝑞Е⃗ ,  

т.е. напряженность является силовой характеристикой электрического поля. Формула применима для полей любого источника. Если поле создаётся не одним зарядом, а 
многими, то вектор напряженности Е⃗ можно найти как векторную сумму напряженностей, 
созданных каждым зарядом 

                                       Е⃗ = Е⃗+ Е⃗+…        (принцип суперпозиции). 

Линия напряженности электрического поля−линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором напряженности Е.⃗  Линии напряженности электрического 
поля (или силовые линии) начинаются на положительных электрических зарядах и заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Они не замкнуты и никогда не 
пересекаются. Густота линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля 
также больше. 

Распределение линий напряженности эл.поля  вокруг точечных зарядов                                    

 

Распределение силовых линий двух разноимённых и одинаковых по абсолютной 
величине зарядов 

 

 Однородное электрическое поле−поле, в котором напряженность одинакова по 
модулю и направлению в любой точке пространства, например, поле внутри параллельных пластин плоского конденсатора 

При равномерном распределении электрического заряда 𝑞 по поверхности площади 𝑆 поверхностная плотность заряда 𝜎 постоянна и равна 

                                     𝜎 =

Напряженность электрического поля бесконечной плоскости с поверхностной 
плотностью заряда 𝜎 одинакова в любой точке пространства и равна 

                                     Е⃗ = 2𝜋к|𝜎| =
||


Формула применима для расчёта напряженности электрического поля вблизи заряженных тел, когда форма равномерно заряженной поверхности близка к плоскости и расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до поверхности тела значительно меньше размеров тела и расстояния до края поверхности. 

Электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса 𝑅, полный заряд которого 𝑞, совпадает вне шара с электрическим полем точечного заряда той же величины 𝑞, 
помещённого в центре шара. 

 Потенциал 

Точно так же, как тело массой 𝑚 в поле силы тяжести обладает потенциальной 
энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией 𝑊р , пропорциональной заряду 𝑞. Работа сил электростатического поля 𝐴 равна изменению потенциальной энергии заряда в электростатическом поле, взятому с противоположным знаком 

                                       𝐴 = −(𝑊р− 𝑊р)                (1) 

Отношение потенциальной энергии электрического заряда в электрическом поле к 
заряду называется потенциалом φ электрического поля 

                                         𝜑 =
р


Это энергетическая характеристика электрического поля. Зная потенциал 𝜑 в данной точке электрического поля, можем определить потенциальную энергию 𝑊р заряда 𝑞 в 
этой точке 

                                         𝑊р = 𝑞𝜑                               (2) 

Потенциал−величина скалярная. Если в некоторой точке пространства двумя зарядами одновременно созданы электрические поля с потенциалами 𝜑и 𝜑, то потенциал 𝜑 
двух электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов 𝜑и 𝜑

𝜑 = 𝜑+ 𝜑
 Разность потенциалов 

 Из выражений (1) и (2) получаем 

                                         A = qφ− qφ= q(φ− φ) 

При перемещении электрического заряда в электростатическом поле работа сил 
поля равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек 
траектории движения заряда. 

Разность потенциалов двух точек не зависит от траектории движения       заряда и 
может служить энергетической характеристикой электростатического поля. 

Если потенциал поля на бесконечно большом расстоянии от точечного электрического заряда 𝑞 принимается равным нулю, то на расстоянии 𝑟 от заряда он определяется 
по формуле 

                                          𝜑 = к
                       (3) 

и его знак определяется знаком заряда 𝑞. 

Так как электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса 𝑅 совпадает вне 
шара с электрическим полем точечного заряда той же величины, помещённого в центре 
шара, то потенциалы точек поля, создаваемого шаром на расстояниях 𝑟 ≥ 𝑅 от его центра, 
можно вычислять по формуле (3). Потенциал точек на поверхности и внутри проводящего 
шара радиуса 𝑅 

                                       𝜑 = к

Эквипотенциальные поверхности 

Поверхность, во всех точках которой потенциал электростатического поля имеет 
одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью. 

Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электростатического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор 
силы 𝐹⃗ в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности 
перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности эл. поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности. 

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного 
электрического заряда являются сферы, в центре которых 
расположен заряд. 

                   Напряжение 

   Отношение работы, совершаемой любым эл.полем 
при перемещении положительного заряда из одной точки в 
другую, к величине заряда называется напряжением между 
этими точками 

                              𝑈 =

Отсюда               𝐴 = 𝑞𝑈 

В электростатическом поле напряжение между двумя любыми точками равно разности потенциалов этих точек 

                             𝑈= 𝜑− 𝜑

Это равенство выполняется только в случае потенциального эл.поля. 

Единицей напряжения и разности потенциалов является вольт (В) 

                              𝑈 =
        В=
Дж

Кл 

В однородном электростатическом поле напряжение 𝑈 тесно связано с напряженностью поля Е⃗. При перемещении положительного заряда 𝑞 по линии напряженности однородного эл.поля на расстояние 𝑑 кулоновская сила 𝐹⃗ совершает работу 

                                  𝐴 = 𝐹𝑑 = 𝑞Е𝑑                           (Е⃗ = со𝑛𝑠𝑡
⃗) 

С другой стороны, работа эл.поля может быть найдена по известному напряжению 
𝑈 между начальной и конечной точками пути 

                                  𝐴 = 𝑞𝑈 

Отсюда                   𝑈 = Е𝑑 

и для однородного эл.поля получаем 

                                  Е =

Единицей напряженности эл.поля является вольт на метр   [Е]=
В

м 

Проводники в электростатическом поле 

При помещении проводника в эл.поле в проводнике происходит разделение разноимённых по знаку зарядов, называемое электростатической индукцией. Его свободные 
заряды (электроны) уходят из объёма проводника и распределяются по его поверхности 
так, чтобы поле внутри оказалось равным нулю. 

Свободные заряды перестают перемещаться вдоль поверхности проводящего тела 
при достижении такого распределения, при котором вектор напряженности эл.поля в любой точке перпендикулярен поверхности тела. Поэтому в эл.поле поверхность проводящего тела любой формы является эквипотенциальной поверхностью. 

Итак, внутри проводника, помещённого в эл.поле, нет не только поля, но нет и зарядов. Заряды располагаются только на его поверхности (как у заряженных, так и не у заряженных проводников). Все точки проводника (как внутри его, так и на поверхности) 
имеют один и тот же потенциал. Постоянство потенциала во всех точках проводника позволяет говорить о потенциале проводника, как тела. 

Диэлектрики в электростатическом поле 

В них нет свободных носителей заряда, и они не могут полностью компенсировать 
внешнее поле внутри своего объёма. Молекулы диэлектрика, оставаясь электрически нейтральными, деформируются во внешнем поле, происходит поляризация диэлектрика, и 
на его границе возникает заряд, уменьшающий поле в его объёме, хотя и не до нуля, как в 
металле. 

Отношение напряженности поля в вакууме Ек напряженности поля в однородном 
диэлектрике Е называется диэлектрической проницаемостью данного вещества 𝜀 

𝜀 =
ЕЕ  

При решении задач с эл.полем в диэлектрической среде следует в знаменатель выражений для  𝐹,
⃗   Е⃗  и  𝜑  подставлять значение   диэлектрической проницаемости данного 
вещества 𝜀. 

Электроёмкость 

Электроёмкостью (или просто ёмкостью) уединённого проводника называется величина 

С =
, где 𝑞 −его заряд,  𝜑 −потенциал проводника (относительно бесконечности). 

В частности, ёмкость уединённого шара радиуса 𝑅, помещённого в безграничную 
среду с диэлектрической проницаемостью 𝜀, вычисляется по формуле 

                                   С = 4𝜋𝜀𝜀𝑅 

Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равными по величине и 
противоположными по знаку зарядами, образуют конденсатор. Емкостью конденсатора 
называется положительная величина 

                                   С =
=
,       где 𝑞 −заряд на одной из его обкладок, 

     𝜑− 𝜑= 𝑈 −разность потенциалов между ними. 

Емкость конденсатора с диэлектриком между обкладками 

                                   С = 𝜀С,        где С−ёмкость этого конденсатора без диэлектрика. 

Емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных пластин с площадью 𝑆 каждая, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 𝜀, вычисляется по формуле 

                                    С =
,     где 𝑑 −расстояние между пластинами. 

При параллельном соединении конденсаторов их ёмкости суммируются 

                      С = С+ С+ ⋯ + С
При последовательном соединении их общая ёмкость находится из соотношения  

                       
С =
С+
С+ ⋯ +
С

Конденсатор, ёмкость которого С, заряженный зарядом 𝑞 до разности потенциалов 
𝑈, обладает энергией 

                       𝑊 =
=
=


За единицу ёмкости принимается 

                        1 фарада=
кулон

вольт 

Это очень крупная единица, поэтому употребляются более мелкие единицы ёмкости:      1мкФ = 10Ф –микрофарада;   1пФ = 10Ф −пикофарада 

В заключение отметим виды эл.полей, которые встречаются в задачах, и выпишем 
основные формулы для решения задач. 

1.Однородное поле (напряженность поля одинакова во всех точках) 

   Е⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
⃗).     Е⃗(𝑟⃗)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
⃗       и        𝜑А − 𝜑Б = Е 𝑟АБ , 

где 𝑟АБ −проекция вектора перемещения от т.А к т.Б на направление напряженности поля. 

2.Поле точечного заряда 𝑞 

                          Е⃗(𝑟⃗)= к
𝑛⃗        и          𝜑(𝑟⃗)= к
, 

где 𝑟⃗ – радиус вектор из заряда в точку наблюдения, 𝑛⃗ − единичный вектор; 𝑛⃗ =
⃗


3.Поле системы из нескольких точечных зарядов 

                          Е⃗ = Е⃗+ Е⃗+ ⋯ + Е⃗
                          𝜑 = 𝜑+ 𝜑+ ⋯ + 𝜑
Несколько полезных формул: 

поверхностная плотность заряда  𝜎 

                           𝜎 =
, 

поле заряженной плоскости  Епл 

                           Епл =
, 

поле внутри плоского конденсатора Екон 

                            Екон =
            Екон = 2Епл 

                            𝜀= 8,85 ∗ 10Ф

м    (
Клм) 

Примеры и задачи 

1.Два одинаковых по величине и противоположных по знаку заряда на расстоянии 
друг от друга. Нарисовать картину силовых линий, созданного ими эл.поля, и сечения эквипотенциальных поверхностей. 

Ответ 

Работа по перемещению заряда вдоль линий эквипотенциальности должна быть равна нулю, т.е. 

𝐴 = Е𝑞∆𝑙 cos 𝛼 = 0;    cos 𝛼 = 0 ;    𝛼 = 90
𝛼 −угол между вектором Е⃗  и направлением перемещения. Силовые линии эл.поля и линии эквипотенциальности пересекаются под прямым углом. 

 

 

2. Нарисовать картину силовых линий поля плоского конденсатора, внутри которого находится металлический шарик. 

Ответ 

Проводник в электростатическом поле−эквипотенциальное тело и его поверхность тоже эквипотенциальна. 
Силовые линии должны подходить к пластинам конденсатора и к поверхности шарика под прямым углом. Внутри 
шарика поля нет. 

 

 

 

3. На расстоянии 𝑟 от поверхности Земли находится точечный заряд +𝑞. По индукции он будет наводить заряд противоположного знака в Земле. В результате появится сила 
электрического притяжения заряда к Земле. Найти эту силу. 

Решение 

Поверхность Земли — это эквипотенциальная поверхность. 

Вблизи Земли эквипотенциальные поверхности поля  

близки к плоскостям, а вблизи заряда должны иметь  

форму сфер. 

Это позволяет нарисовать качественную картину сечений эквипотенциальных поверхностей, а затем провести и силовые линии. Получим картину схожую с картиной   силовых 
линий двух одинаковых зарядов с разными знаками. В обоих 
случаях вид поля вблизи заряда +𝑞 один и тот же. Следовательно, на заряд +𝑞 должна 
действовать такая же сила 

                                            𝐹 = к

Заряд -𝑞, наведённый в Земле, не сосредоточен в одной точке поверхности Земли, а 
распределён по поверхности. 

3. Два точечных заряда 6,7нКл и  −13,3нКл находятся на расстоянии 5см друг от 
друга. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 
3см от положительного заряда и 4см от отрицательного.