Математическое моделирование инвестиционных и финансовых решений

Федеральное государственное образовательное 
бюджетное учреждение высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ 
ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)

1919

А.Ю. Кузьмин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ИНВЕСТИЦИОННЫХ И ФИНАНСОВЫХ 
РЕШЕНИЙ 

Учебное пособие

Москва  
2020

УДК 330.4:51
ББК  65.050
К 89

Рецензенты:
А.З. Бобылева — д-р экон. наук, профессор, зав. кафедрой финансового менеджмента ФГУ МГУ имени М.В. Ломоносова,
И.В. Трегуб — д-р экон. наук, профессор, профессор 
ДАДПРиФТ Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации 

  

К 89    Кузьмин А.Ю.
Математическое моделирование инвестиционных и финансовых решений: Учебное пособие / А.Ю. Кузьмин. — М.: 
Прометей, 2020. — 176 с.

Учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров, обучающихся по экономическим и финансовым специальностям. В нем 
нашли свое отражение методы математического моделирования финансовых рисков, моделирования инвестиционного портфеля, принятия решений, моделирования ценообразования и рисков финансовых 
инструментов, включая долговые инструменты, долевые инструменты, опционы. Отдельная глава посвящена моделированию динамики 
валютных курсов. Определенное внимание уделено инструментальному уровню. Рассмотрены методы множественного регрессионного 
анализа в инвестиционных и финансовых эконометрических исследованиях с реализацией в EXCEL и R-STUDIO. На основе представленного в пособии теоретического материала выполнено математическое 
и эконометрическое моделирование практических ситуаций. Пособие 
может быть использовано как для проведения семинарских занятий, 
так и для организации самостоятельной работы студентов. 
Данное издание также будет полезно широкому кругу практиков инвестиционно-финансовой отрасли: банковским сотрудникам, 
дилерам, трейдерам, финансовым аналитикам, риск-менеджерам 
инвестиционных компаний.

ISBN 978-5-907244-79-5 
© Кузьмин А.Ю., 2020
 
© Издательство «Прометей», 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Методы математического программирования 
в модельных экономических и финансовых 
исследованиях .......................................................... 4
§ 1.1. Математическая формализация экономических 
задач в основных разделах математического 
программирования ..................................................... 5
§ 1.2. Аналитические оптимизационные методы: метод 
множителей Лагранжа и теорема Куна — Таккера .........22
Глава 2. Моделирование финансовых рисков 
и инвестиционного портфеля ......................................31
§ 2.1. Моделирование доходностей и рисков инвестиций .........32
§ 2.2. Моделирование портфельных инвестиций ....................39
§ 2.3. Портфельная теория Г. Марковица и Дж. Тобина ...........46
Глава 3. Моделирование ценообразования и рисков 
финансовых инструментов .........................................66
§ 3.1. Моделирование ценообразования и рисков 
долговых инструментов..............................................67
§ 3.2.  Оценка долевых инструментов: модели  
дисконтирования дивидендов ....................................81
§ 3.3. Моделирование ценообразования опционов...................91
Глава 4. Моделирование динамики валютных курсов ..............106
§ 4.1. Модель динамики валютного курса рубля ...................107
§ 4.2. Многофакторные модели поведения валютных 
курсов: монетаристский подход.................................117
§ 4.3. Современные подходы к моделированию 
валютных курсов: динамические стохастические 
модели общего равновесия ........................................121
Глава 5. Моделирование ценообразования финансовых 
активов и портфельных инвестиций ..........................130
§ 5.1. Модель ценообразования финансовых активов 
(CAPM) и рыночная модель.......................................130
§ 5.2. Модель арбитражного ценообразования .....................142
Глава 6. Методы множественного регрессионного анализа 
в инвестиционных и финансовых эконометрических 
исследованиях (с реализацией в EXCEL и R-STUDIO) ..153
§ 6.1. Множественная линейная регрессия ..........................153
§ 6.2. Решение в R-STUDIO задач множественного 
регрессионного анализа............................................159
§ 6.3. Выбор факторных признаков для построения 
итоговой регрессионной модели.................................168

ГЛАВА 1. Методы математического 
программирования в модельных экономических 
и финансовых исследованиях

Математическое программирование как раздел науки 
об исследовании операций является научной дисциплиной, 
занимающейся разработкой и практическим применением 
методов наиболее эффективного (или оптимального) управления различными организационными системами и процессами. Математическое программирование охватывает широкий класс задач управления, и в первую очередь «хорошо 
структурированные проблемы», математическими оптимизационными моделями которых являются так называемые 
экстремальные задачи.
Задачи математического программирования находят 
применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим оптимальный выбор одной их допустимых 
альтернатив образов действий при решении многочисленных проблем управления, проектирования и перспективного планирования сложных систем, в первую очередь экономических и финансовых. Примерами таких задач могут 
служить классические, имеющие важное значение в экономическо-финансовом анализе задачи построения оптимального инвестиционного портфеля, максимизации прибыли, 
максимизации доходности инвестиционных операций, оптимального потребления, использования финансовых и иных 
ресурсов, планирования производства, использования мощностей  и загрузке оборудования, задачи о смесях и о раскрое 
материалов, о количестве транспортных средств при распределениях по линиям и другие задачи транспортного типа. 
Их объединяет то, что требуется найти решение в условиях, 
когда выбранный критерий эффективности, выраженный 
в основном какими-либо интегральными финансовыми показателями — затраты, прибыль, выручка — принимает минимальное или максимальное значение при определенных ограничениях на ресурсы.
Как наука математическое программирование в современном виде сформировалась в 1950–1960-х гг., что главным 
образом обусловлено развитием и широким использованием 

Глава 1. Методы математического программирования 

электронных вычислительных машин. Это сделало возможным проводить обработку больших объемов информации, недоступных для ручного счёта, на основании математических 
методов и формализованных моделей. Однако следует отметить, что базовые принципы решения экстремальных задач 
с ограничениями были разработаны еще на рубеже XVIII–
XIХ столетий Ж.Л. Лагранжем и Ж.Б.Ж. Фурье (последний 
предложил метод направленного перебора смежных вершин 
в направлении возрастания целевой функции — предтечу 
симплекс-метода), а принципы линейного программирования впервые изложены Л.В. Канторовичем 1939 г.
В формирование и развитие современного аппарата математического программирования значительный вклад также внесли другие советские и российские ученые — В.В. Новожилов, Е.С. Вентцель, Н.П. Бусленко, Н.Н. Воробьев, 
Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин, А.Л. Лурье, Е.Г. Гольштейн, и зарубежные ученые — Дж. фон Нейман, Г. Данциг, Б. Эгервари, 
Г. Кун, Р. Акоф, Р. Беллман, Р. Черчмен, П. Вольф, Г. Марковиц, Дж. Деннис, Дж. Розен, Г. Зонтендейк и многие другие.

§ 1.1. Математическая формализация экономических задач 
в основных разделах математического программирования 

Математическое программирование — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения 
задач о нахождении экстремумов функций на конечномерных множествах, определяемых линейными и нелинейными 
ограничениями — равенствами и неравенствами (Математическая энциклопедия).
Само наименование «математическое программирование» связано с тем, что целью решения формализованных 
задач является выбор программы действий (и не только экономическими агентами).
Определение. Конечномерное пространство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис, 
то есть порождающая полная линейно независимая система векторов данного пространства. Таким образом, в таком пространстве существует конечная линейно независимая 
система векторов, линейной комбинацией которых можно 
представить любой вектор этого пространства.

Глава 1. Методы математического программирования 

В общем виде в модельных экономических исследованиях математическая задача математического программирования представляет нахождение экстремума (минимума или 
максимума) скалярной функции f(x) векторного аргумента  
х = (х1, х2, ..., хn) на подмножестве D векторного пространства 
Rn над полем действительных чисел, определяемого ограничениями в виде  равенств и неравенств: 

f x
f x x
x
h x
i   
 m
g
x

n
x

i

i

1
2
0
1
,
,...,
,
,...,
min max
 
0
1
,
,...,
 i  m
 
 k
 
(1.1)

Задача оптимизации в стандартной форме (1.1), таким образом, формулируется через систему элементов:
1. Целевая функция f(x), характеризующая экономическую эффективность управляемой программы действий 
(операций) и количественно выражающаяся в виде критерия 
эффективности. 
2. Критерий поиска эффективности — min или max 
в зависимости экономической постановки задачи.
3. Допустимое множество решений (или планов, 
программ) D = {x: hi(x) = 0, gj(x) ≥ 0, i = 1, …, k}, где hi(x) 
и gj(x) — также скалярные функции системы ограничений. 
В математическом программировании термины «решение», 
«программа», «план» рассматриваются как синонимы. При 
этом первый термин чаще используется, когда говорят о формальном математическом решении задачи оптимизации, 
а два других — когда речь идет о содержательной экономической интерпретации процесса эффективного управления 
различными организационными системами. Если допустимое множество D = Rn, то такая задача называется задачей 
безусловной оптимизации, а в противном случае — задачей 
условной оптимизации.
4. Оптимальное решение (или оптимальный план, программа) задачи математического программирования — это 
вектор-решение х* ∈ D системы ограничений, при котором 
целевая функция f(x) принимает оптимальное (минимальное 
или максимальное) значение в смысле критерия эффективности операции.

Глава 1. Методы математического программирования 

Замечание 1. В случае наличия в рассматриваемой задаче неравенств системы ограничений вида gj(x) ≤ 0 для приведения в стандартную форму (1.1) достаточно умножить 
данные неравенства на «–1». То же верно для изменения критерия оптимизации (например, с максимизации на минимизацию для поиска экономической эффективности).  
Замечание 2. Дополнительно в модельных экономических исследованиях часто является важным условие, что 
все переменные допустимого множества D неотрицательны 
(хi ≥ 0, i = 1, …, n).
Необходимо отметить, что при построении экономико-математической модели управляемой программы действий сама операция в первую очередь упрощается и схематизируется в целях формализации с помощью аппарата 
математического программирования, что требует точной 
формализации целевой функции, систем уравнений и неравенств ограничений. Соответственно все факторы, входящие 
в описание модели, разделяются на две группы:
А) постоянные факторы-параметры, на которые влияния 
нет — условия проведения операции, обозначаемые а1, а2, ...;
Б) зависимые факторы — элементы решения допустимого множества D: х1, х2, ... , хn,  значения  которых в определенных пределах по своему усмотрению может выбирать 
лицо, принимающее решение (ЛПР).
Постановка задачи оптимизации задаёт большое разнообразие классов, от которых зависит выбор метода и его 
эффективность. Саму классификацию задач определяют целевая функция и допустимое множество решений в смысле 
системной взаимосвязи постоянных и зависимых факторов 
экономико-математической модели. 
Методы оптимизации классифицируют в соответствии 
с задачами оптимизации:
• Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В частности, в случае унимодальной целевой функции, этот 
экстремум единственен. Он же и будет глобальным 
экстремумом функции f(x).
• Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном 

Глава 1. Методы математического программирования 

поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции 
f(x) на всем множестве допустимых планов.
Когда целевая функция и функции, определяющие допустимое множество планов D, в задаче оптимизации (1.1) хотя 
бы дважды дифференцируемы — f(x), hi(x), gj(x) ∈ C(2) (D) — 
можно применять классические методы дифференциального 
исчисления. Однако применение этих методов даже в этих случаях исследования операций значительно ограниченно, так как 
задача определения условного экстремума функции n переменных технически в общем виде достаточно трудна. Дифференциальное исчисление дает возможность определить локальный 
экстремум, но из-за многомерности функций f(x), hi(x), gj(x) 
определение глобального экстремума целевой функции f(x) может оказаться очень трудоемким. Более того, этот экстремум 
возможен на границе области решений D, а также классические 
методы дифференциального исчисления фактически не работают, если, например, целевая функция f(x) задана таблично, 
множество допустимых значений аргумента х дискретно или 
факторы-параметры аi имеют стохастическую природу. Тогда 
для решения задачи оптимизации (1.1) применяются специальные методы математического программирования, в котором 
принято выделять следующие основные разделы.
Линейное программирование. Целевая функция f(x) 
и система ограничений hi(x), gj(x) линейны. Тогда задача оптимизации (1.1) формализуется в виде задачи линейного программирования (ЗЛП)

F
f x
c x

a x
b
i = , ..., m

a x

j
j

n

j
x

ij
j

n

j
i

ij
j

n

1

1

1

1

min

 ,

j
ib
i = m
, ..., k
, 
1

 
(1.2)

В случае наличия в рассматриваемой задаче только неравенств системы ограничений, используя методы матричной алгебры, задача (1.2) представляется как:

Глава 1. Методы математического программирования 

c x

A
x
b

A
R
c
R
x
R

x

k n
n
n





min

,

,
,
 
 
1
1

 
(1.3)

где целевая функция f(x) представляет скалярное произведение векторов с и х, А — элемент кольца матриц (размером 
r × n) над полем действительных чисел. Элементы матрицы А, векторов с и b являются постоянными параметрами за- 
дачи (1.3).
Замечание 3. К такой форме (1.3) от (1.2) можно привести всегда, так как равенство gj(x) = 0 эквивалентно системе 
двух неравенств {gj(x) ≤ 0, gj(x) ≥ 0}. При этом последнее верно 
и для задачи математического программирования (1.1) в общем виде.
Если все переменные допустимого множества D неотрицательны хi ≥ 0, i = 1,…,n и система ограничений (1.3) состоит лишь 
из одних неравенств — то такая задача линейного программирования называется стандартной (или симметричной).  
При условии, что система ограничений hj(x) состоит 
только из одних уравнений, то задача линейного программирования называется канонической (или основной). 
Как известно, любая задача линейного программирования может быть сведена к канонической, для чего в каждое 
из k неравенств системы ограничений задачи (1.3) введем дополнительные отрицательные переменные хп+1, ..., хп+i, ..., 
хп+k, выполняющие в данном случае чисто техническую роль, 
со знаком «–». В этом случае задача линейного программирования (1.3) примет соответствующий вид:

F
f x
c x

a x
x
b
i   
 k

x

j
j

n

j
x

ij
j

n

j
n i
i

j

1

1
1

0

min

,
,...,
 

,
,...,
 j   
n
k
1

Аналогичный канонический матричный вид (с коррекцией вектора с путем добавления нулевых элементов для введен

Глава 1. Методы математического программирования 

ных дополнительных переменных хп+1, ..., хп+i, ..., хп+k и матрицы 
А путем приписывания единичной матрицы размером k×k справа):

            

c x

A
x
b
x

A
R
c
R
x
R

x

k
n k
n k
n k





min

 
 

,
,

,
,

0

1
1

 
(1.4)

Замечание 4. В случае неравенств системы ограничений 
задачи (1.3) вида «≤», соответствующие дополнительные технические переменные хп+i вводятся со знаком «+». 
Пример 1.1. Задача планирования производства (задача об использовании ресурсов). Компания «Свет» производит 
3 типа комплектов окон для продажи. В таблице приведены 
временные затраты и прибыль от продажи одного комплекта 
каждого типа:

Типы окон
Первый этап, ч.
Второй этап, ч.
Прибыль, тыс. руб.

«эконом»
1
0,5
3,5

«стандарт» 
2
0,5
7,5

«элит»
2
2
11,0

В компании «Свет» 5 дней в неделю работают 15 рабочих  
(в одну смену) по 8 рабочих часов, рабочее время которых поделено между двумя различными этапами технологического 
процесса. Первый этап связан с производством комплектующих и полуфабрикатов для конечного этапа и занимает 55% 
всего рабочего времени технологического процесса производства.  Собственно сборка и доработка окон (второй этап) занимает 45% времени. 
Составить план производства продукции, который 
был бы наиболее прибыльным. Положим, что репутация компании позволяет продавать всю производимую продукцию 
на рынке. 
Решение: составим экономико-математическую модель 
задачи оптимизации (здесь, как убедимся в дальнейшем, — 
задачи линейного программирования).