Теоретические основы электротехники. Ч. 2: Переходные и статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле

 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 

 
 
 
 

В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков, 

Т.В. Ганджа, Е.Б. Шандарова 

 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 

 

Часть 2 

Переходные и статические режимы  
в линейных и нелинейных цепях.  

Электромагнитное поле 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск, 2015 

 

УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.21я73 
 

 

Д 53 Дмитриев В.М., Шутенков А.В., Ганджа Т.В., Шандарова Е.Б. 

Теоретические основы электротехники. Ч. 2: Переходные и 
статические режимы в линейных и нелинейных цепях. Электромагнитное поле: Учебное пособие.– Томск: 2015.– 237 с. 
ISBN  

 

Рассмотрены переходные режимы в линейных и нелинейных элек
трических и электронных цепях как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами, методы анализа и расчета нелинейных электрических и магнитных цепей, анализ цепей с дискретными сигналами, а 
также теория и практические задачи электромагнитного поля. Кроме того, введен расширенный раздел, касающийся методов автоматизированного анализа цепей.  

Приведены примеры расчета электрических и магнитных цепей. 
Книга подготовлена на кафедре Моделирования и системного ана
лиза ТУСУРа и предназначена для студентов электротехнических и электронных направлений, а также направлений и специальностей, связанных 
с автоматизацией технических систем и технологических процессов очной и дистанционной форм обучения. 

УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.21я73 

 
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Б.В. Лукутин, 
  
       д-р техн. наук, проф. А.Г. Горюнов 

 
 

 
 
 
 
ISBN  

© В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков,  

Т.В. Ганджа, Е.Б. Шандарова, 2015 

© ТУСУР, 2015 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие  ............................................................................ 5 
1. Переходные процессы в линейных электрических 

цепях с сосредоточенными параметрами 
1.1. Общие вопросы анализа переходных процессов 

в линейных цепях  ......................................................... 6 

1.2. Классический метод расчета переходных 

процессов  ..................................................................... 10 

1.3. Операторный метод расчета переходных 

процессов  ..................................................................... 36 

1.4. Комбинированный операторно-классический метод 

расчета переходных процессов  ................................. 48 

1.5. Метод интегралов наложения (Дюамеля)  ................ 52 

2. Переходные процессы в электрических цепях 
с распределенными параметрами 

2.1. Возникновение переходных процессов в цепях с 

распределенными параметрами  ................................ 62 

2.2. Прямая и обратная волны в однородной линии. 

Понятие падающей и отраженной волн  ................... 62 

2.3. Прямая волна при подключении к линии 

источника напряжения  ............................................... 64 

2.4. Отраженные волны  ..................................................... 69 
2.5. Расчет волн, возникающих при переключениях  ..... 76 
2.6. Многократные отражения волн  ................................. 80 

3. Анализ и расчет нелинейных цепей 

3.1. Задача анализа нелинейных цепей  ............................ 84 
3.2. Классификация нелинейных цепей  ........................... 85 
3.3. Формирование уравнений модели нелинейной  

цепи  .............................................................................. 86 

3.4. Аппроксимация характеристик нелинейных.  

элементов  ..................................................................... 88 

3.5. Методы анализа нелинейных резистивных цепей  .. 93 
3.6. Примеры использования нелинейных  

резистивных цепей  ................................................... 111 

3.7. Переходные процессы в нелинейных цепях  .......... 124 

4. Анализ и расчет магнитных цепей 

4.1. Магнитные цепи с постоянными 

магнитными потоками  ............................................. 135 

4.2. Магнитные цепи переменного синусоидального 

тока  ............................................................................. 144 

4.3. Использование нелинейных свойств 

электромагнитных элементов в технике  ................ 152 

5. Анализ цепей с дискретными сигналами 

5.1. Линейные разностные уравнения  ........................... 159 
5.2. Прямое z-преобразование и его применение к 

анализу цепей с дискретными сигналами  .............. 165 

5.3. Обратное z-преобразование  ..................................... 169 
5.4. Дискретная свертка  .................................................. 171 
5.5. Соответствие между комплексной частотой p в 

преобразовании Лапласа и параметром z 
дискретного z-преобразования  ................................ 176 

6. Основны теории электромагнитного поля 

6.1. Основные понятия электромагнитной теории  ....... 177 
6.2. Поверхностные явления  ........................................... 194 
6.3. Численные и экспериментальные методы 

моделирования полей  ............................................... 197 

7. Методы автоматизированного анализа цепей 

7.1. Особенности современных программ 

автоматизированного анализа цепей  ...................... 201 

7.2. Топологические характеристики и 

граф электрической цепи  ......................................... 205 

7.3. Топологические матрицы  ........................................ 206 
7.4. Метод узловых напряжений  .................................... 209 
7.5. Модифицированный метод узловых напряжений  . 214 
7.6. Примеры составления модифицированных  

узловых уравнений  ................................................... 215 

7.7. Метод переменных состояния  ................................. 217 
7.8. Анализ уравнений состояния в частотной 

области  ....................................................................... 227 

7.9. Анализ нелинейных цепей  ....................................... 228 

Литература ........................................................................... 235 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для самостоятельной 

работы студентов, обучающихся по электротехническим 
направлениям и специальностям очной и дистанционной 
форм обучения. Рассмотрены установившиеся и переходные 
режимы в линейных и нелинейных цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами, а также теория электромагнитного поля. 

Основу пособия составляют материалы лекций по курсу 

«Теоретические основы электротехники». В текст пособия 
включен ряд примеров, раскрывающих содержание разделов.  

Подробно рассмотрен расчет переходных процессов в 

электрических цепях с сосредоточенными параметрами классическим, операторным методами и методом интеграла 
Дюамеля (раздел 1). В разделе 2 рассматриваются переходные процессы в электрических цепях с распределенными параметрами. Расчету статических и переходных режимов в 
нелинейных цепях посвящен раздел 3. В разделе 4 представлены основные методы анализа магнитных цепей с постоянными магнитными потоками, магнитных цепей переменного 
синусоидального тока, а также примеры использования нелинейных свойств электромагнитных элементов в технике. 
Анализ цепей с дискретными сигналами приведен в разделе 5. Раздел 6, содержит основы теории электромагнитного 
поля, представленные основными понятиями электромагнитной теории, поверхностными явлениями, а также численными и экспериментальными методами моделирования полей. 
Раздел 7 содержит изложение основных методов автоматизированного анализа цепей. 

Данное учебное пособие представляет собой твердую ко
пию электронного учебника, который в свою очередь является частью автоматизированного учебного практикума, состоящего из электронного учебника, компьютерной лаборатории 
и электронного задачника. 

1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 

В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 

С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 

1.1. Общие вопросы анализа переходных 

процессов в линейных цепях 

Причины возникновения переходных процессов. Пере
ходный процесс (ПП) — процесс перехода электрической цепи (ЭЦ) с накопителями энергии (катушками индуктивности 
и конденсаторами) от одного установившегося режима работы к другому, отличающемуся от предыдущего, например, 
величиной, частотой, формой напряжения (тока) источника, 
действующего в схеме, или конфигурацией цепи, вследствие 
коммутации [1, 2]. 

Коммутация — это процесс замыкания или размыкания 

электронных реле, электромеханических или механических 
переключателей, электронных ключей, коммутаторов и т. п. 
Время срабатывания контактов (коммутации) считается бесконечно малым и при расчетах полагается мгновенным. Отсчет времени ПП выбирают с момента коммутации (t = 0). 
Момент времени непосредственно перед коммутацией обозначают 


0
t
. Время ПП обусловлено временем перераспре
деления энергии электрического и магнитного полей накопителей. В цепях без накопителей энергии ПП отсутствует. 
В них в момент коммутации (t = 0) наступает установившийся 
режим. 

Переходный процесс в ЭЦ может быть вызван и действи
ем импульсных источников.  

Законы коммутации. Переход реальной ЭЦ от одного 

установившегося режима к другому не может происходить 
мгновенно, скачком. Это связано с тем, что любой реальный 
источник энергии может обладать только конечной мощностью, а суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную 
функцию времени. Следовательно, суммарные потокосцеп

ление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени, что может быть представлено равенствами: 

(0) = (0-);  q(0) = q(0-). 

Это положение известно как принцип непрерывности во 

времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда. Из данного принципа непосредственно 
следует вывод о непрерывности токов индуктивных катушек 
и напряжений конденсаторов, который формулируется в виде законов коммутации. 

Первый закон коммутации: ток в индуктивности в мо
мент коммутации сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: 

iL(0) = iL(0-), 

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения. 

Доказательство. Если предположить скачкообразное 

изменение тока, то напряжение на индуктивности uL = L di/dt 
станет бесконечно большим, что приведет к нарушению второго закона Кирхгофа для контура, где находится эта индуктивность. Следовательно, энергия индуктивности постепенно 
увеличивается или уменьшается и мгновенное изменение 
энергии в момент коммутации невозможно. 

Второй закон коммутации: напряжение на емкости в 

момент коммутации сохраняет такое же значение, как и 
непосредственно перед коммутацией: 

uC(0) = uC(0-), 

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения. 

Доказательство. Если предположить скачкообразное 

изменение напряжения, то ток в емкости iС = C duC/dt станет 
бесконечно большим, что приведет к нарушению первого закона Кирхгофа для узла, к которому подключена эта емкость. 
Следовательно, энергия емкости постепенно увеличивается 
или уменьшается и мгновенное изменение энергии в момент 
коммутации невозможно. 

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Вывод: в цепях, содержащих накопители энергии, возни
кают ПП изменения токов или напряжений от начальных 
значений к конечным. Изменение величин требует определенного времени. Рис.1.1. дает представление об изменениях 
токов и напряжений при коммутациях в RL и RС-цепях. 

t

0
tпп

uC 

 

а) 

t

0
tпп

iL 

 

б) 

Рис. 1.1 

Порядок определения граничных условий. Рассмотрен
ные выше величины iL(0) и uC(0) называют независимыми 
начальными условиями (ННУ). Их значения не зависят от 
коммутации, то есть не меняются в момент коммутации. 

Величины, зависящие от коммутации (в момент комму
тации изменяются скачком), — iR(0), uR(0), uL(0), iC (0) — 
называют зависимыми начальными условиями (ЗНУ). 

Все величины при t — iL(), uL(), uC() и т. д. — 

называют конечными условиями (КУ). Здесь момент времени 
t() соответствует окончанию ПП. 

В совокупности ННУ, ЗНУ и КУ называют граничными 

условиями (ГУ). 

Пример 1.1. Для схемы (рис. 1.2) дано [1]: U = 150 B;     

R1 = 25 Oм, R2 = 45 Oм, R3 = 25 Oм. Определить ГУ. На схеме 
указано докоммутационное положение ключа (замкнутое). 

1

1’

U

R1
L

i1

iL

R2
UR 2

S
R3
UR 3

i2
i3 = iC

UC
UC

UL

C

 

Рис. 1.2 

Решение. 
1) Размечаем цепь (размечаются токи и напряжения с 

указанием их направлений). 

2) Анализируем цепь до коммутации (t = 0-) и определя
ем ННУ: 

i1(0-) = iL(0-) = u/R1 = 150/25 = 6 A; 

uC(0-) = uR2 = 0. 

3) Записываем законы Кирхгофа в момент коммутации 

(t = 0), ключ разомкнут (КР): 

;
0
3
2
1



i
i
i
 

;
2
2
1
1
U
R
i
u
R
i
L



  
.0
2
2
3
3



R
i
u
R
i
C
 

4) Определяем ЗНУ. Для этого решаем систему уравне
ний с учетом законов коммутации: 

А;
 6
)
0
(
)
0
(
1
1


 i
i
        
0,
)
0
(
)
0
(



C
C
u
u
 

тогда 

А;
 
14
,2
)
0
(
)
0
(

3
2

3

1
2



R
R

R
i
i
 

;
А
 
86
,3
)
0
(
)
0
(
)
0
(
2
1
3



i
i
i
 

В.
 4,
96
1
1
2
2





R
i
R
i
U
uL
 

5) Для конечных условий (КУ) при t =  (КР) получим: 

.0
  
В;
 4,
96
)
(
)
(

А;
 
14
,2
)
(
)
(
;0

2
2

2
1

2
1
3















L
C
u
R
i
u

R
R

U
i
i
i

 

Методы анализа переходных процессов. В зависимости 

от вида внешних источников энергии и сигналов, проходящих через ЭЦ, используют следующие методы: 

 классический метод; 
 операторный метод; 
 метод интегралов наложения (Дюамеля); 
 метод переменных состояния. 

1.2. Классический метод расчета переходных 

процессов 

Свободные и принужденные составляющие токов и 

напряжений. Классический метод анализа ПП в линейных 
цепях основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого по какомулибо методу составляется исходная система неоднородных 
интегро-дифференциальных уравнений относительно мгновенных значений напряжений и токов и затем разрешается 
относительно одной переменной тока или напряжения. Полученная форма может быть представлена в виде 

)
(
0

1

t
f
y
a

dt

y
d
a

n

i

i

i

i






. 

Общее решение линейного неоднородного дифференци
ального уравнения вида (1.4), где n равно числу необъединяемых накопителей энергии, как известно, равно сумме частного решения и общего решения однородного дифференциального уравнения 

0
0

1







y
a

dt

y
d
a

n

i

i

i

i
. 

(1.4)

(1.5)