Статистическая теория радиотехнических систем

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)

В. И. Тисленко

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Учебное пособие

Томск
2016

УДК
621.37:519.2(075.8)
ББК
32.84я73
Т 446

Рецензенты:
Красненко Н. П., д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Института
мониторинга климатических и экологических систем (ИМКЭС) СО РАН;
Шарыгин Г. С., д-р техн. наук, профессор кафедры радиотехнических систем
ТУСУР

Тисленко В. И.
Т 446
Статистическая теория радиотехнических систем : учебное пособие /
В. И. Тисленко. — Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. — 160 с.

В пособии изложены основы теории статистического синтеза оптимальных систем обнаружения, различения, оценки параметров и разрешения полезных сигналов при наличии помехи в виде белого гауссовского
шума. Показаны свойства радиосигнала как переносчика полезной информации в радиотехнических системах. Достаточно подробно рассмотрены
классические методы оценки параметров сигналов, их взаимосвязь, а также
вопросы рекурсивной оценки параметров линейной регрессии и алгоритм
оптимальной линейной фильтрации Калмана.
Содержание пособия соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по учебной дисциплине «Статистическая теория радиотехнических систем». Для
студентов радиотехнических специальностей.

УДК
621.37:519.2(075.8)
ББК
32.84я73

©
Тисленко В. И., 2016
©
Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
5

1
Сигналы и помехи в радиотехнических системах
8
1.1
Общее описание сигналов и помех . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Классификация сообщений и сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Свойства радиосигнала как переносчика сообщения . . . . . . . . . .
19
1.3.1
Функция различия сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.2
Частотно-временная корреляционная функция сигнала . . . .
23
1.3.3
Ширина функции неопределенности
вдоль осей время — частота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.4
Примеры функций неопределенности импульсных
сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4
Стационарная случайная помеха с гауссовым распределением
вероятностей. Белый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

2
Статистические модели сигналов в радиотехнических системах
45
2.1
Радиоканал и его свойства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2
Полезный сигнал на выходе радиоканала . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.2.1
Модель сигнала в однолучевом канале . . . . . . . . . . . . . .
50
2.2.2
Модель сигнала в многолучевом канале
. . . . . . . . . . . . .
51
2.3
Нормальная (гауссова) модель сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.3.1
Статистические свойства огибающей . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.3.2
Статистические свойства фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.4
Корреляционные и спектральные свойства огибающей и фазы . . . .
56

3
Основы статистической теории обнаружения и различения
сигналов при наличии помех
59
3.1
Краткая характеристика задач статистической теории . . . . . . . . . .
59
3.2
Согласованный линейный фильтр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.3
Примеры построения согласованных фильтров . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3.1
Согласованный фильтр для прямоугольного
радиоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3.2
Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса
с ФКМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.3.3
Согласованный фильтр для пачки M когерентных
радиоимпульсов гауссовой формы . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.4
Обнаружение и различение сигналов при наличии помех . . . . . . .
74
3.5
Другие критерии оптимальности обнаружения и различения . . . . .
78

Оглавление

3.6
Различение двух детерминированных сигналов на фоне белого
гауссова шума. Структура оптимальных устройств . . . . . . . . . . .
79
3.6.1
Статистические характеристики качества различения . . . . .
82
3.6.2
Статистические характеристики качества обнаружения . . . .
84
3.6.3
Общие черты задач сыщика и оптимального
обнаружителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

4
Основы статистической теории оценок неизвестных параметров
сигнала
91
4.1
Оценки параметров сигналов и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.2
Основные способы формирования оценок неизвестных параметров
сигналов при наличии помех . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.2.1
Байесовские оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.2.2
Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . .
98
4.2.3
Оценки неизвестных параметров методом наименьших
квадратов (МНК) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3
Статистические свойства оценок МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4
Пример оценки неизвестного скалярного параметра
. . . . . . . . . . 104
4.5
Общая структурная схема оптимального измерителя параметра
сигнала известной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6
Оптимальная оценка амплитуды детерминированного сигнала при
наличии белого гауссова шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7
Статистические характеристики оценок максимума
правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8
Оптимальная оценка начальной фазы радиоимпульса . . . . . . . . . . 117
4.9
Информация по Фишеру. Неравенство Крамера — Рао
. . . . . . . . . 119

5
Рекурсивная фильтрация сообщений
125
5.1
Среднеквадратичная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2
Линейная среднеквадратичная регрессия
. . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3
Рекурсивная оценка параметров линейной регрессии . . . . . . . . . . 129
5.4
Оптимальная линейная фильтрация. Фильтр Калмана
. . . . . . . . . 132

6
Разрешение сигналов
140
6.1
Разрешение по времени запаздывания. Простые и сложные
сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2
Совместное разрешение сигналов по времени запаздывания
и частоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Заключение
151

Литература
153

Перечень основных обозначений
155

Глоссарий
158

ВВЕДЕНИЕ

Сферы применения радиотехнических систем (РТС) в жизни современного общества весьма обширны. Радиовещание, телевидение, стационарная и мобильная
радиосвязь, системы управления самолетами, ракетами, космическими объектами,
системы космического мониторинга состояния земной поверхности. Это некоторые основные области их использования, без которых прогрессивное развитие промышленности, транспорта, медицины и других отраслей трудно себе представить.
Основой наиболее эффективных средств организации и ведения военных действий
в современной армии также являются РТС. Известно, например, что стоимость радиоэлектронного оборудования современного самолета составляет около половины
стоимости самолета в целом.
Содержание задач, которые решают РТС в процессе выполнения возложенных
на них функций, связано, как правило, с передачей, приемом и преобразованием
информации, переносчиком которой является радиосигнал. По информационному
назначению, независимо от области применения, РТС разделяют на три основных
класса: передачи информации; извлечения информации; противодействия (передаче или извлечению информации). К первому классу относят РТС, предназначенные
для передачи информации (сообщений) из одних пунктов пространства в другие.
Это прежде всего системы радиосвязи, телевидения, а также радиотелеметрии.
Второй класс составляют РТС, основная функция которых состоит лишь в приеме (извлечении) полезной информации. Такая ситуация характерна для радиолокационных и радионавигационных (РЛ и РН) систем, а также для РТС, используемых в радиоастрономии, радиометеорологии. В данном случае, в отличие от
систем, относящихся к первому классу, полезное сообщение появляется не в самой РТС, а как бы вне ее. Характер сообщения в РТС извлечения информации по
существу обусловлен физическими закономерностями распространения радиоволн
в среде (запаздывание, рефракция, рассеяние, отражение, эффект Доплера и др.).
Последний класс образуют системы радиопротиводействия. Это несколько особый
и важный класс систем. Особый, потому что используется обычно в РТС военного назначения, а важный, поскольку применение этих средств дает возможность
парализовать работу других РТС, выполняющих функции передачи и извлечения
информации.
Совершенствование радиолокационных (РЛ) и радионавигационных (РН) систем, систем радиосвязи и управления связано с повышением дальности их действия, точности и оперативности измерения параметров объектов, достоверности

Введение

и скорости передачи информации, надежности. Среди множества проблем, возникающих на пути создания РТС, обладающих (при прочих равных условиях) максимально возможными дальностью, точностью, быстродействием, скоростью и достоверностью передачи информации, существует одна, связанная непосредственно
с предметом изучения в курсе «Статистическая теория радиотехнических систем».
Сущность этой проблемы состоит в том, что основным реально действующим
и принципиально неустранимым фактором, препятствующим реализации желаемых (неограниченно высоких) значений указанных выше показателей РТС, является случайный характер сигналов на входе приемных устройств. Случайность (стохастичность) амплитуды, фазы и частоты входного сигнала обусловлена многими
причинами. Это прежде всего тепловые флуктуации или хаотические движения
носителей электрических зарядов в проводниках, шумы пространства (неба) окружающего антенну приемника, а также шумы, обусловленные дробовым эффектом
в усилительных устройствах. При распространении радиоволн в реальных каналах
также возникают случайные изменения амплитуды фазы и частоты радиосигнала,
обусловленные пространственно — временными вариациями электрических параметров среды.
Проектирование РТС без анализа и грамотного учета влияния указанных факторов не позволяет оценить и при необходимости реализовать предельные возможности радиосистем по основным показателям, определяющим их эффективность.
В курсе «Статистическая теория РТС» изучаются основные методы и способы
оптимального обнаружения, различения, оценки параметров и фильтрации полезных сигналов, а также их разрешения при наличии помехи в виде белого гауссовского шума. По существу это классика, знание которой минимально необходимо
радиоинженеру для понимания принципов построения современных систем радиолокации, радиосвязи, радионавигации и др. Эти результаты составляют лишь
малую часть того, чем располагает современная статистическая теория обработки
сигналов. Ограниченный объем книги не позволил, в частности, в полной мере
представить в ней материал по марковской теории фильтрации сообщений.
Автор выражает уверенность в том, что при самостоятельной работе над контрольными вопросами и выполнении компьютерных работ читатель овладеет основами статистической теории обработки сигналов в современных радиотехнических
системах.
Содержание книги соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по данному курсу. Для его освоения необходимы знания теории вероятностей, теории цепей и сигналов, высшей математики и общей физики в объеме вузовских курсов для студентов радиотехнических специальностей.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

Соглашения, принятые в книге
7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выводы
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает изложенный материал или проводит анализ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 1

СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

1.1 Общее описание сигналов и помех

Радиотехнические системы относятся к классу информационных систем и поэтому все процессы в них целесообразно рассматривать с информационной точки
зрения. Любые возмущения в РТС разделяют на три группы: сообщения, сигналы
и помехи.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
К сообщениям относят процессы λ(t) (функции времени) или поля λ(t, x, y, z) — функции пространственных координат и времени, содержащие полезную для потребителя информацию, которая
подлежит воспроизведению в системах передачи информации или
извлечению в системах извлечения информации.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Например, в системах связи это речь, музыка (функции времени); при передаче
ТВ изображения — распределение яркости отраженного от объекта света (функция
пространственных координат и времени). В РЛ и РН системах сообщениями обычно являются функции, определяющие изменение во времени дальности и угловых
координат подвижного объекта в заданной системе координат. В общем случае
сообщение может иметь векторный характер, т. е. λ(t) = {λ1(t), λ2(t),..., λm(t)}.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Сигналом называется процесс s(t, λ(t), β) или поле e(t, x, y, z,
λ(t), β), которые выполняют функцию переносчика сообщения
λ(t).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Общее описание сигналов и помех
9

Важно отметить, что термин «сигнал» предполагает существование временного процесса, а термин «поле» определяет пространственно-временной процесс, т. е.
x, y, z — пространственные координаты.
Наряду с полезным сообщением сигнал в ряде случаев содержит совокупность
неинформативных параметров β. Эти параметры называют мешающими, все или
часть из них могут быть неизвестны. В общем случае они также изменяются во
времени и в пространстве. Сигналы (иногда используют термин радиосигналы) существуют в цепях приемника и передатчика РТС в виде высокочастотных токов
и напряжений, например, на выходе приемной антенны. Когда используют термин поле, то имеют в виду электромагнитную волну, распространяющуюся в пространстве. Волна характеризуется векторами электрического и магнитного полей.
Таким образом, скалярная функция e(⊙) соответствует одной из проекций вектора электрической напряженности поля. Приемная антенна осуществляет преобразование электромагнитной волны в радиосигнал s(t, λ(t), β). С информационной
точки зрения волна и радиосигнал выполняют функцию переносчика информации.
В большинстве своем ТТХ РТС зависят как от способа модуляции радиосигнала
s(t, λ(t), β) сообщением λ(t), так и от характера самого сообщения λ(t).
Следует отметить, что в системах передачи информации модуляция высокочастотного сигнала сообщением λ(t) реализуется в передатчике РТС. Поэтому эти
системы называют также системами с внутренней модуляцией. В радиолокационных, радионавигационных, а также других РТС, относящихся к классу систем извлечения информации, полезное сообщение λ(t) не содержится в сигнале, который
излучает передатчик. Этот сигнал принято называть зондирующим.
В РЛ и РН системах электромагнитная волна (переносчик информации) как бы
приобретает сообщение в процессе распространения на трассе «излучатель —
объект» и отражения волны от объекта. Действительно, сообщение о дальности
до объекта в РЛ системах формируется вследствие задержки по времени сигнала
на входе приемника по отношению к зондирующему. Сообщение о направлении
на объект «вводится» в переносчик информации при приеме волны на пространственно протяженную антенную систему и, таким образом, зависит от способа построения самой антенны. В связи с отмеченными особенностями РТС извлечения
информации называют также системами с внешней модуляцией.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Помехами называют процессы или поля, мешающие достоверному воспроизведению (извлечению) сообщения λ(t).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Характер взаимодействия сигнала s(t, λ(t), β) и помехи n(t) может быть различным. Он зависит от физической природы помехи. В общем виде результат их
взаимодействия можно представить в виде сигнала y(t, λ(t), β) = F[s(t, λ(t), β);
n(t)], где F[⋅,⋅] — оператор, определяющий способ комбинирования сигнала и помехи. Например, собственный шум приемно-усилительных устройств аддитивно
взаимодействует с сигналом, т. е. суммируется с ним. Такая помеха называется аддитивной (от английского слова addition — сложение). Например, если сигналом
является прямоугольный радиоимпульс, который находится на интервале [0, T], то
с учетом собственного шума колебание на входе приемника

Глава 1. Сигналы и помехи в радиотехнических системах

y(t) = s(t, λ, β) + n(t),

гдe

s(t, λ, β) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Acos[ω(t − τ) + ],
0 ⩽ τ ⩽ t ⩽ τ + τи ⩽ T,
0,
t < τ, (τ + τи) ⩽ t.

В данном примере полезный сигнал зависит от пяти параметров: амплитуды A,
частоты ω, начальной фазы , длительности импульса τи и момента его появления τ. В практических задачах часто информативными и неизвестными заранее
могут быть: λ1 = ω; λ2 = τ; λ3 = τи, а мешающими — β1 = A и β2 = .
При радиолокационном наблюдении объекта, находящегося в пространстве,
содержащем случайные неоднородности, например самолет и дождевые облака
на трассе распространения радиоволн или корабль и взволнованная поверхность
моря, также возникает помеха в виде радиосигналов, отраженных от капель дождя
или от случайно ориентированных участков поверхности моря. Однако в этом случае помеха не суммируется с сигналом от объекта, она модулирует полезный сигнал, т. е. влияет на него нелинейно. Такие помехи называют мультипликативными (от англ. слова multiply — умножать). Действительно, простое увеличение мощности излученного сигнала приведет к ослаблению влияния собственного шума,
и оно не приведет к желаемому результату во втором случае, так как наряду с увеличением уровня сигнала, отраженного от объекта, возрастет и уровень помехи
в виде отражений от облаков или моря.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Математическое описание помехи предполагает задание ее в виде случайной функции времени. В противном случае (при детерминированном описании) она оказывается полностью известной,
и ее влияние можно было бы полностью исключить. Вопрос о том,
является ли отдельно взятый процесс сигналом или помехой, решается в зависимости от того, что требуется получателю.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

В этом плане математические способы описания сообщений, сигналов или помех одинаковы. Поэтому далее везде, где это удобно, будет использоваться единый
термин «сигнал».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Важно отметить, что на вход приемника поступает результирующий сигнал y(t, λ(t), β) и по своей физической природе в подавляющем большинстве практических задач это случайный процесс.
Таким образом, амплитуда, фаза и частота высокочастотного (ВЧ)
сигнала y(t, λ(t), β) в любой момент времени являются случайными величинами.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Напомним, что определение случайной величины или случайного процесса
как совокупности случайных величин предполагает задание некоторого множества
возможных значений (выборочного пространства), из которого производится случайный выбор конкретных (наблюдаемых) реализаций. На этом множестве должны