Эконометрика

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)

Е. Б. Грибанова

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Томск
2014

УДК
330.43(085.8)
ББК
65в6я73
Г 820

Рецензенты:
Мицель А. А., проф. кафедры автоматизированных систем управления ТУСУРа;
Крицкий О. Л., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики
и математической физики Национального исследовательского Томского
политехнического университета.

Грибанова Е. Б.
Г 820
Эконометрика : учебное пособие / Е. Б. Грибанова. — Томск : факультет
дистанционного обучения ТУСУРа, 2014. — 156 с.

В пособии рассматриваются основные понятия эконометрического моделирования, характеристики и виды случайных величин, выборок и оценок. Представлены методы нахождения оценок неизвестных параметров
регрессионной модели. Рассмотрена классическая линейная модель множественной регрессии, а также её модификации: нелинейные модели, модели
с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

УДК
330.43(085.8)
ББК
65в6я73

Грибанова Е. Б., 2014

Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
6

1
Эконометрика и эконометрическое моделирование: основные
понятия и определения
8
1.1
Вероятностно-статистическая (эконометрическая) модель как
частный случай математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Эконометрика и ее место в ряду математико-статистических
и экономических дисциплин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
От простых взаимосвязей между переменными к эконометрической
модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Основные понятия эконометрического моделирования . . . . . . . . .
15
1.5
Этапы эконометрического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

2
Случайные переменные, выборки оценки
21
2.1
Характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3
Генеральная совокупность и выборка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4
Вычисление выборочных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5
Точечные и интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6
Статистическая проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

3
Методы и модели регрессионного анализа
39
3.1
Введение в регрессионный анализ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Основные задачи прикладного регрессионного анализа
. . . . . . . .
43
3.3
Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР)
44
3.4
Оценивание неизвестных параметров КЛММР: метод наименьших
квадратов и метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . .
48
3.5
Статистические свойства оценок параметров КЛММР . . . . . . . . .
55
3.6
Определение доверительных интервалов для коэффициентов
и функции регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.7
Обобщенная линейная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

4
Нелинейные модели регрессии и линеаризация
61
4.1
Нелинейные связи в экономике. Линеаризация модели . . . . . . . . .
61
4.2
Использование априорной информации о содержательной
сущности анализируемой зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.3
Некоторые виды нелинейных зависимостей, поддающиеся
линеаризации. Зависимости гиперболического типа . . . . . . . . . . .
64

Оглавление

4.4
Зависимости показательного (экспоненциального) типа . . . . . . . .
66
4.5
Зависимости степенного типа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.6
Зависимости логарифмического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.7
Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент
детерминации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.8
Подбор линеаризующего преобразования (подход Бокса—Кокса) . . .
78
4.9
Тест Зарембки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

5
Гетероскедастичность
82
5.1
Понятие гетероскедастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.2
Графический анализ остатков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.3
Тесты на гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.3.1
Тест ранговой корреляции Спирмена . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.3.2
Тест Парка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.3.3
Тест Гольдфельда—Квандта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.4
Устранение гетероскедастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

6
Автокорреляция
93
6.1
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.2
Графический метод обнаружения автокорреляции . . . . . . . . . . . .
97
6.3
Метод рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.4
Тест Дарбина—Уотсона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.5
Устранение автокорреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7
Некоторые вопросы практического использования регрессионных
моделей
109
7.1
Расчет эластичностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2
Мультиколлинеарность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3
Отбор наиболее существенных объясняющих переменных
в регрессионной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4
Линейные регрессионные модели с переменной структурой.
Фиктивные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.5
Критерий Г. Чоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.6
Частная корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.7
Построение КЛММР по неоднородным данным в условиях, когда
значения сопутствующих переменных неизвестны
. . . . . . . . . . . 127

Заключение
131

Литература
132

Приложение А Функция стандартного нормального распределения
133

Приложение Б
Квантили распределения χ2

ν 135

Приложение В
Двусторонние квантили распределения Стьюдента
136

Приложение Г
Таблица критерия Фишера для α
0.05
137

Оглавление
5

Приложение Д
Таблица критерия Дарбина—Уотсона для α
0.05
139

Приложение Е
Таблица критических значений количества рядов
141

Приложение Ж Необходимые сведения из матричной алгебры
143

Глоссарий
151

ВВЕДЕНИЕ

Сегодня деятельность в любой области экономики (управлении, финансовокредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения
современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли
и понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях и приемах. Без глубоких знаний эконометрики
научиться использовать их невозможно. Чтение современной экономической литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.
Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов
эконометрики. Центральной проблемой эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания,
анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.
Последние десятилетия эконометрика как научная дисциплина стремительно
развивается. Растет число научных публикаций и исследований с применением
эконометрических методов.
Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение за
наиболее выдающиеся разработки в этой области Нобелевских премий по экономике Р. Фришу и Я. Тинбергу (1969), Л. Клейну (1980), Т. Хаавельмо (1989), Дж. Хекману и Д. Макфаддену (2000), Р. Инглу и К. Грэнджеру (2003).
Достижения современной экономической науки предъявляют новые требования
к высшему профессиональному образованию экономистов. Современное экономическое образование, — утверждает директор ЦЭМИРАН академик В. Л. Макаров, —
держится на трех китах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике [1].
Курс «Эконометрика» разбит на семь частей.
В первой главе определяется понятие эконометрики и эконометрической модели.
Во второй главе Вы познакомитесь с понятием случайной величины, выборки,
закона распределения, оценки, статистической проверки гипотез.
Третья глава посвящена описанию методов и моделей регрессионного анализа.
Глава четвертая посвящена нелинейным моделям регрессии и линеаризации.
Здесь также рассмотрены основные способы выбора типа зависимости между переменными регрессионной модели.

Соглашения, принятые в книге
7

В пятой главе рассказывается о природе гетероскедастичности. Описаны способы определения и устранения гетероскедастичности.
Шестая глава посвящена автокорреляции. Рассматриваются способы определения автокорреляции и её устранения.
В седьмой главе описаны некоторые вопросы практического использования регрессионных моделей. Приводится расчет эластичности, рассматриваются способы
определения и устранения мультиколлинеарности, описывается тест на возможность объединения выборки и т. д.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Этот блок означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь
читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 1

ЭКОНОМЕТРИКА
И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ: ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Вероятностно-статистическая
(эконометрическая) модель как частный случай
математической модели

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Математическая модель — это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений или неравенств
между переменными, характеризующими функционирование моделируемой системы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вероятностно-статистическая модель — это вероятностная
модель, значения отдельных характеристик (параметров) которой оцениваются по результатам наблюдений, характеризующих
функционирование моделируемого конкретного явления.

1.1 Вероятностно-статистическая (эконометрическая) модель
9

Вероятностно-статистическая модель, описывающая механизм
функционирования экономической или социально-экономической
системы, называется эконометрической.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если же речь идет о любой математической модели, описывающей механизм
функционирования гипотетической экономической или социально-экономической
системы, то такую модель называют экономической [2].
В качестве примера экономической модели рассмотрим простейший (идеализированный) вариант так называемой «паутинной модели», которая описывает процесс формирования спроса и предложения определенного товара на рынке. Речь
идет о формализации экономического закона спроса и предложения, гласящего:
количество товара, которое можно продать на рынке (то есть спрос), изменяется
в направлении, противоположном изменению его цены; количество товара, которое продавцы доставляют на рынок (то есть предложение), изменяется в том же
направлении, что и цена; реальная рыночная цена складывается на уровне, при
котором спрос и предложение равны друг другу.
Займемся математической формализацией этих положений. Пусть xt (ден. ед.) —
цена в «момент времени» t. И пусть y

nt
и y

ct
— количество товара, соответственно
предложенного и купленного («спрошенного») на рынке в тот же момент времени t.
Тогда, с учетом одного такта времени, необходимого продавцам на то, чтобы «среагировать» на цену x, можно математически сформулировать приведенные выше
закономерности в виде:



y

nt

f
xt 1

,
y

ct

g
xt

,
lim
t f
xt 1

lim
t g
xt

,

lim
t xt

x,

где f
x— некоторая монотонно возрастающая, а g
x— монотонно убывающая
функция от аргумента x (от цены).
Математические соотношения, отражающие закон спроса-предложения, могут
быть проиллюстрированы рисунком 1.1.
Из рисунка 1.1 видно, что процесс формирования цены начался с назначения
в 1-й (начальный) момент времени цены на уровне x1. Продавец отреагировал на это
в следующий (2-й) момент времени величиной предложения, равной y

n2

f
x1

,
в то время как спрос на этот товар сформировался всего на уровне y

c1

g
x1

. Заметное превышение предложения над спросом привело к понижению цены в следующий (2-й) момент времени до уровня x2. Это сразу отразилось на предложении
в следующий (3-й) момент времени: оно снизилось до y

n3

f
x2

. Зато спрос резко
подскочил и составил во второй момент времени величину y

c2

g
x2

и т. д. В результате этого процесса траектория сходится паутинообразно к точке равновесия,
к точке пересечения кривых g
xи f
x.
Реалистическая модель закона спроса-предложения, конечно, сложнее. В частности, y

nи y

cзависят не только от цены x, поскольку связь между y

nи y

c,

Глава 1. Эконометрика и эконометрическое моделирование

с одной стороны, и ценой x — с другой, носит не детерминированный, а стохастический характер.

Рис. 1.1 – График процесса формирования спроса-предложения («паутинная»
модель)

Для того, чтобы эта модель превратилась из экономической в эконометрическую, следует говорить не вообще о законе спроса-предложения, а о конкретном его
действии в данном месте, данное время и применительно к данному конкретному
товару.

1.2 Эконометрика и ее место в ряду
математико-статистических и экономических
дисциплин

Название «эконометрика» было введена в 1926 г. норвежским экономистом
и статистиком Р. Фришем. В буквальном переводе этот термин означает «измерения
в экономике».
Эконометрика — самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математикостатистического инструментария придавать конкретное количественное выражение
общим закономерностям, обусловленным экономической теорией.
В соответствии с этим определением суть эконометрики — именно в синтезе
экономики, экономической статистики и математики. На рисунке 1.2 приведена
диаграмма, иллюстрирующая место эконометрики в сопредельных научных областях.
Говоря об экономической теории в рамках эконометрики, будем интересоваться не просто выявлением экономических законов и связей между экономическими
показателями, но и подходами к их формализации, включающими в себя методы
спецификации соответствующих моделей с учетом проблемы их идентифицируемости. Под математико-статистическим инструментарием эконометрики подразумевается не вся математическая статистика, а лишь отдельные ее разделы (такие