Финансовые вычисления

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)

Ф. А. Красина

ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром
высшего профессионального образования для межвузовского
использования в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлениям подготовки бакалавров
080100.62 «Экономика», 080200.62 «Менеджмент»

Томск
2015

УДК
336:519.6(075.8)
ББК
65.261я73
К780

Рецензенты:
Цибульникова В. Ю., директор Обособленного подразделения автономной
некоммерческой организации «Международная академия биржевой торговли»
в г. Томске;
Земцова Л. В., канд. экон. наук, доцент кафедры экономики ТУСУР

Красина Ф. А.
К780
Финансовые вычисления : учебное пособие / Ф. А. Красина. — Томск:
факультет дистанционного обучения ТУСУРа, 2015. — 190 с.

Учебное пособие содержит последовательное изложение методов количественного анализа финансовых и кредитных операций. Подробно изложены различные методы начисления процентов; обобщающие характеристики потоков платежей; методики определения эффективности финансовых операций; способы учета инфляции и налогообложения в принятии
финансовых решений.
В пособии приведены примеры решения типовых задач и задания на
контрольные работы.
Пособие предназначено студентам экономических специальностей факультета дистанционного обучения ТУСУРа.

УДК
336:519.6(075.8)
ББК
65.261я73

©
Красина Ф. А., 2015
©
Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
5

I
Конспект лекций
7

1
Основы финансовой математики
8
1.1
Логика финансовых операций в рыночной экономике
. . . . . . . . .
8
1.2
Простые ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.1
Простые ссудные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Простые учетные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3
Сложные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.1
Сложные ссудные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2
Сложная учетная ставка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4
Непрерывные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5
Эквивалентные и эффективные ставки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.6
Учет инфляции в принятии финансовых решений . . . . . . . . . . . .
31
1.7
Учет налогообложения в принятии финансовых решений . . . . . . .
35
1.8
Конвертация валюты и наращение процентов . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.8.1
Вариант СКВ ⇒ Руб. ⇒ Руб. ⇒ СКВ. . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.8.2
Вариант Руб. ⇒ СКВ ⇒ СКВ ⇒ Руб. . . . . . . . . . . . . . . .
39

2
Методы оценки денежных потоков
42
2.1
Виды денежных потоков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2
Оценка денежного потока постнумерандо . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3
Оценка денежного потока пренумерандо
. . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.4
Оценка постоянного аннуитета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4.1
Оценка постоянного аннуитета постнумерандо . . . . . . . . .
49
2.4.2
Оценка постоянного аннуитета пренумерандо . . . . . . . . . .
52

3
Особенности постоянных аннуитетов
56
3.1
Прямая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.2
Обратная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.3
Отсроченный аннуитет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.4
Определение параметров аннуитета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.5
Конверсия и замена аннуитетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.1
Выкуп ренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.2
Рассрочка платежей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.3
Замена немедленной ренты на отсроченную . . . . . . . . . . .
65
3.5.4
Объединение (консолидация) рент . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.6
Аннуитеты с начислением и удержанием процентов в начале
базового периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Оглавление

4
Финансовые ренты различных видов
72
4.1
Переменные ренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.1.1
Оценка переменного аннуитета, платежи которого образуют
арифметическую прогрессию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.1.2
Оценка переменного аннуитета, платежи которого образуют
геометрическую прогрессию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.2
Непрерывные ренты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.3
Бессрочный аннуитет
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.4
Аннуитеты с периодом большим, чем базовый . . . . . . . . . . . . . .
85

5
Практическое применение финансовых вычислений
91
5.1
Метод депозитной книжки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2
Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка . . .
94

II
Методические указания к практическим занятиям
99

1
Простые ставки
100

2
Сложные ставки
112

3
Эквивалентные и эффективные ставки
124

4
Учет налогов и инфляции в принятии финансовых решений
131

5
Оценка денежных потоков
138

6
Переменный аннуитет
147

7
Непрерывный аннуитет
152

8
Бессрочный аннуитет
155

9
Оценка аннуитета с периодом больше года
159

10 Практическое применение финансовых вычислений
163

Методические указания по выполнению контрольных работ
167

Заключение
179

Литература
180

Приложение А Финансовые таблицы
181

Приложение Б Порядковые номера дней в году
185

Глоссарий
187

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время, в связи с возрождением в России рыночных отношений,
вновь стали необходимыми пособия по количественному анализу различных операций: коммерческих, финансовых и экономических.
Финансы являются одной из основных, базовых составляющих коммерческого
дела. Финансовые вычисления ведут свое начало с момента появления товарноденежных отношений. В отдельную отрасль знаний финансовые вычисления выделились в XIX веке под названием «коммерческая арифметика». До начала XX
века «коммерческая арифметик» включала процентные, вексельные вычисления,
финансовые операции по вкладам и ссудам, операции с ценными бумагами. В процессе развития рыночных отношений коммерческая арифметика преобразовалась
в «финансовую арифметику», а затем и в «финансовую математику».
Финансовая математика базируется на таких основных концепциях, как временная ценность денежных ресурсов и денежные потоки. С точки зрения бизнеса
и прикладных экономических дисциплин решать грамотно финансовые задачи не
так просто и очевидно, поэтому появление отдельной учебной дисциплины «финансовые вычисления» в программе подготовки экономистов и менеджеров целесообразно. О целесообразности учебной дисциплины «финансовые вычисления»
говорит и появление в России так называемых «обманутых вкладчиков». Среди
обманутых вкладчиков были люди с высшим и специальным образованием, кандидаты и доктора наук, руководители предприятий с большим практическим опытом
работы. Но ни высокий образовательный уровень, ни наличие большого жизненного опыта не смогли обезопасить от весьма ощутимых проигрышей в этой специфической сфере фондового рынка. Основной причиной послужила профессиональная
непригодность этой группы людей к работе на финансовом рынке. Таким образом,
в ярко иллюстрированных вариантах была показана необходимость в квалифицированном проведении количественного финансового анализа для обоснованного
принятия решений в операциях на фондовом рынке.
Целью учебного пособия является изложение основополагающих понятий
и моделей финансовых операций, необходимых для решения учебных и практических задач; предоставление экономисту и менеджеру аналитических инструментов
для оценки принимаемых финансовых и управленческих решений, лучшего понимания мотивов поведения фирм и механизмов функционирования рынка капитала.

Введение

Учебное пособие состоит из пяти разделов и содержит материал по основным
разделам финансовых вычислений. В каждом разделе даны необходимые теоретические сведения, используемые при решении задач, и типовые примеры. Решения
более сложных задач по каждой теме и контрольная работа по курсу приведены
в учебно-методическом пособии.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает замечание/положение. Данный блок состоит из Названия замечания/положения (Слова Замечание/Положение и Номера замечания/положения) и Текста замечания/положения.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по лекции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

РАЗДЕЛ I

Конспект лекций

Лекция 1

ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1 Логика финансовых операций в рыночной
экономике

Переход к рыночной экономике сопровождается появлением некоторых видов
деятельности, имеющих для финансового менеджера принципиально новый характер. К их числу относится задача эффективного вложения денежных средств.
В условиях централизованно планируемой экономики на уровне обычного предприятия такой задачи практически не существовало по следующим причинам:

1) отсутствие у юридических лиц крупных свободных денежных средств.
Сумма наличных денег лимитировалась. В течение года предприятие могло
распоряжаться имеющимися на расчетном счете денежными средствами,
но остаток средств изымался в бюджет в конце отчетного периода. Таким
образом, предприятие не могло накапливать денежные средства для дальнейших планируемых расходов;

2) отсутствие возможностей использования свободных средств. Практически
единственным путем использования свободных денег являлось размещение под проценты в Сберегательном банке. При этом обеспечивалась сохранность средств, но их прирост был незначительным.

В последнее время ситуация резко изменилась, а именно:

1) отменено нормативное регулирование размера оборотных средств, что автоматически исключило один из основных регуляторов величины финансовых ресурсов на предприятии;

2) введение новых форм собственности сделало невозможным изъятие остатка денежных средств в бюджет, вследствие чего у предприятий появились
свободные денежные средства;

Лекция 1. Основы финансовой математики
9

3) появились новые возможности приложения капитала (вложение в коммерческие банки, участие в различных проектах, приобретение ценных бумаг
и т. д.) вследствие изменения инвестиционной политики государства;

4) хранение и накопление денежных средств стало невыгодным вследствие
финансовой нестабильности и инфляции.
Таким образом, деньги приобретают еще одну объективную характеристику —
временную ценность. Денежные ресурсы, как и любой другой вид активов, должны обращаться как можно быстрее. Временная ценность рассматривается в двух
аспектах:
1) Обесценивание денежной наличности с течением времени.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Пусть предприятие располагает свободными денежными средствами в размере
1,5 млн руб., а инфляция составляет 20% в год (т. е. цены за год увеличиваются
в 1,2 раза). Это означает, что в следующем году покупательная способность имеющейся суммы денежных средств уменьшится и в ценах текущего дня составит
1,25 млн руб.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) Возможность обращения денежных средств.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Предположим, Вы можете продать участок земли. Вам предлагают два варианта оплаты: 100 тыс. руб. по истечении двух лет или по 50 тыс. руб. в конце
первого и второго года. Очевидно, что второй вариант более выгоден, так как сумма, полученная в конце первого года, может быть пущена в оборот и принесет
дополнительные доходы. При изменении условий задачи (40 тыс. руб. — в конце
первого года и 60 тыс. руб. — в конце второго года) предпочтительность того или
иного варианта становится не столь очевидной.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Сопоставление сегодняшних затрат и будущих доходов — неотъемлемая часть
процесса управления деятельностью предприятия. Необходимо сравнивать затраты
денежных средств, которые нужно сделать сейчас для поддержки производственного процесса, с будущими доходами, являющимися результатом данного процесса. Для сравнения сегодняшних и будущих денежных потоков следует привести
их к одному моменту времени. Процесс движения денежных потоков от настоящего к будущему называется наращением, процесс движения денежных средств от
будущего к настоящему — дисконтированием. При наращении определяется будущая стоимость денежных средств, при дисконтировании — текущая (сегодняшняя,
дисконтированная) стоимость. При расчетах будущей и текущей стоимостей используется понятие процента.

РАЗДЕЛ I. Общая часть

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Процент — плата, взимаемая за заем некоторой суммы денег.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Процентная ставка — плата, выраженная как процент от общей
суммы, кредитуемой на определенный период, обычно на год.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Считается, что ставка процента должна отражать доход, который мог бы быть
получен при инвестировании средств в наилучший из возможных альтернативных
проектов.
На практике при проведении финансовых расчетов с процентами могут использоваться разные способы начисления процентов и разные виды ставок (рис. 1.1).

Рис. 1.1 – Классификация ставок

Ставка характеризует эффективность финансовой операции, заключающейся
в том, что некоторую сумму
дают в долг, с тем чтобы через некоторое время
получить большую сумму F.
Эффективность сделки может быть определена с помощью абсолютного показателя прироста (FP) либо с помощью какого-либо относительного показателя.
В зависимости от выбранной базовой величины получаем следующие показатели:
1) темп прироста — r = (F − P)/P;

2) темп снижени — r = (F − P)/F.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Темп прироста имеет названия:«процентная ставка», «норма прибыли», «доходность»; темп снижения — «учетная ставка», «дисконт».
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Темп прироста и темп снижения связаны между собой следующими соотношениями:

• r =
d

(1 − d);

• d = r(1 + r), причем r > d.