Элементарная математика для студентов (адаптационный курс)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Томский государственный университет 
систем управления и радиоэлектроники 

 
 
 
 
 
 
 
 

И.Э. Гриншпон,  Я.С. Гриншпон  

 
 
 
 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА  

ДЛЯ СТУДЕНТОВ  
(адаптационный курс) 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 

Издательство ТУСУРа 

2020 

УДК 51(075.8)  
ББК   22.1я73  
 
Г856 

             
 
 
 

Рецензенты: 

Галанова Н.Ю., канд. физ.-мат. наук,  

доцент кафедры общей математики ТГУ 

Забарина А.И., канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математики,  

теории и методики обучения математике ТГПУ  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Гриншпон, Ирина Эдуардовна  

Г856 
Элементарная математика для студентов (адаптационный курс) : учеб. 

пособие / И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. – Томск : Изд-во Томск. гос. ун-та 
систем упр. и радиоэлектроники, 2020. – 154 с. 

ISBN 978-5-86889-897-6 
Приведены основные факты элементарной математики, необходимые для освоения 

курса высшей математики. Все преобразования, уравнения, неравенства рассматриваются 
на множестве действительных чисел. Для комплексных чисел факты, не совпадающие с 
аналогичными фактами для действительных чисел, приведены в сносках. Теоретический 
материал иллюстрируется большим количеством примеров.  

Пособие будет полезно студентам-первокурсникам, а также старшеклассникам при 

подготовке к вступительным экзаменам. 

 
УДК 51(075.8) 

 
ББК 22.1я73  

 
 

ISBN 978-5-86889-897-6 
 Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С., 

 
 2020  

 
 Томск. гос. ун-т систем упр.  

 
 и радиоэлектроники, 2020 

Оглавление 

От авторов ........................................................................................................... 4 
Глава 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 

§ 1 Преобразование алгебраических выражений .......................................... 6 
§ 2 Преобразование тригонометрических выражений ............................... 22 
§ 3 Преобразование логарифмических выражений .................................... 32 

Глава 2 ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 

§ 4 Понятие функции. Свойства функций ................................................... 37 
§ 5 Линейная и квадратичная функции ....................................................... 40 
§ 6 Показательные и логарифмические функции ....................................... 43 
§ 7 Тригонометрические функции ............................................................... 43 
§ 8 Гармонические колебания ...................................................................... 45 

Глава 3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 

§ 9 Общие понятия теории уравнений ......................................................... 49 
§ 10 Линейные, квадратные  и дробно-рациональные уравнения ............. 52 
§ 11 Уравнения, содержащие неизвестную  под знаком модуля ............... 56 
§ 12 Иррациональные уравнения ................................................................. 63 
§ 13 Показательные уравнения .................................................................... 67 
§ 14. Логарифмические уравнения .............................................................. 68 
§ 15. Тригонометрические уравнения.......................................................... 72 
§ 16 Системы и совокупности уравнений ................................................... 75 

Глава 4 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ 

§ 17 Общие понятия теории неравенств ...................................................... 82 
§ 18 Линейные и квадратные неравенства .................................................. 84 
§ 19 Дробно-рациональные неравенства ..................................................... 87 
§ 20 Неравенства с модулем ......................................................................... 93 
§ 21. Системы и совокупности неравенств ................................................. 96 
§ 22. Показательные неравенства .............................................................. 100 
§ 23. Логарифмические неравенства.......................................................... 102 

Глава 5 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ 

§ 24 Элементы теории многочленов .......................................................... 108 

Глава 6 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  ИСЧИСЛЕНИЯ 

§ 25 Понятие производной ......................................................................... 117 
§ 26 Производные высших порядков ......................................................... 123 
§ 27 Приложение первой производной  к исследованию функций ......... 126 

Глава 7 ПРОЦЕНТЫ И ПРОГРЕССИИ 

§ 28 Понятие процента и его приложения ................................................. 135 
§ 29 Арифметическая прогрессия .............................................................. 138 
§ 30 Геометрическая прогрессия................................................................ 141 

Ответы ............................................................................................................. 146 
Литература ...................................................................................................... 152 

От авторов 

Дорогие первокурсники и их преподаватели! 
Основная цель данного пособия — это помощь тем студентам
первокурсникам, которые, посетив первые пары по математическим и 
специальным дисциплинам, отчетливо осознали, что у них имеются 
пробелы в базовой школьной математической подготовке, способные 
помешать их успешному обучению в университете на выбранной 
специальности. 

Самостоятельно или проконсультировавшись с преподавателями 

такой студент должен определить проблемные зоны. Это проще всего 
сделать, ориентируясь на оглавление данного пособия.  

Например, если у вас возникло затруднение при решении нера
венства 2
1
5

4
1

x
x

x
x





 , то вы находите раздел «Решение неравенств»,  

а в ней — подраздел «Дробно-рациональные неравенства». При этом, 
если вы чувствуете, что вам не хватает общих знаний о неравенствах 
и о преобразованиях алгебраических дробей, то вам также стоит изучить начало раздела о неравенствах и подраздел «Преобразование алгебраических выражений». 

Реализуемый таким образом подход к обучению первокурсников 

со слабым уровнем школьной подготовки предоставляет студентам 
шанс успешно адаптироваться к требованиям образовательного процесса в высших учебных заведениях, а также стимулирует их познавательную активность путем одновременного закрепления школьных 
математических навыков и предметно-ориентированного изучения 
специальных дисциплин того профиля, который был выбран сту- 
дентом при поступлении, и значит, вызывает у него неподдельный 
интерес. 

В пособии приведены основные факты элементарной математи
ки, необходимые для освоения курса высшей математики, а именно: 
преобразование алгебраических, логарифмических и тригонометрических выражений; решение уравнений и неравенств из этих классов; 
основы теории многочленов; построение графиков квадратичных 
функций и гармонических колебаний; правила вычисления производной и производные основных элементарных функций; исследование 
дифференцируемой функции на монотонность и экстремум; геомет

рические и физические приложения производной; понятие процента и 
свойства арифметической и геометрической прогрессий.  

Все преобразования, уравнения и неравенства рассматриваются 

на множестве действительных чисел. Для комплексных чисел основные факты, не совпадающие с аналогичными фактами для действительных чисел, приведены в сносках.  

В пособии используются следующие обозначения числовых 

множеств: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, R — множество действительных чисел, C — множество 
комплексных чисел. 

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством 

примеров. Более сложные задания (второго уровня сложности) в тексте отмечены (*). Приведены задачи для самостоятельного решения. 
В упражнениях задачи второго уровня сложности отделены от задач 
первого уровня сложности чертой. 

При написании пособия использовались материалы всех указан
ных в списке литературы учебников и сборников задач. 

Отметим, что кроме адаптационной функции данное пособие од
новременно может служить целям опережающего развивающего обучения, так как оно содержит многочисленные сведения о свойствах 
рассматриваемых математических объектов на множестве комплексных чисел. 

Надеемся, что пособие поможет всем учащимся успешно преодо
леть возникшие трудности и впоследствии стать дипломированными 
квалифицированными специалистами с достаточной для их будущей 
профессиональной деятельности математической базой! 

Авторы благодарят сотрудников кафедры математики, приняв
ших участие в обсуждении рукописи пособия. При этом особую благодарность выражаем доценту Терре А.И. 

 

Желаем успехов! 

Глава 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ 

§ 1 Преобразование алгебраических выражений 

Алгебраическим выражением называется выражение, состав
ленное из чисел и букв с помощью действий: сложения, вычитания, 
умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня 
натуральной степени. Если алгебраическое выражение содержит 
только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень, то его называют многочленом. Если же выражение не содержит букв, то его называют числовым. 

Если в выражение с переменной подставить вместо переменной 

число, то получим число, которое называют значением выражения 
при заданном значении переменной. Однако при некоторых значениях переменной невозможно вычислить значение выражения, так как 
возникают невыполнимые операции: 

а) деление числа на ноль; 
б) возведение отрицательного числа в дробную степень; 
в) извлечение корня четной степени из отрицательного числа1. 
При выполнении преобразований алгебраических выражений 

часто требуется раскрывать скобки, придерживаясь при этом следующих правил раскрытия скобок: 

а) если выполняется сложение выражений, то есть перед откры
вающей скобкой стоит знак «+», то скобки можно опустить       
a + (b + c) = a + b + c; 

б) если выполняется вычитание выражений, то есть перед откры
вающей скобкой стоит знак «–», то все слагаемые в скобках меняют 
знак на противоположный, то есть «–» на «+» и «+» на «–»  
a – (b + c) = a – b – c; 
                                                

1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение 

вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, то есть 
символ, квадрат которого равен (–1) ( 2
1
i   ). Сложение, вычитание и умно
жение комплексных чисел выполняются как операции над двучленами  
по правилам раскрытия скобок и приведения подобных, с учетом того,  
что 
2
1
i   . Число z
a bi
 
 называется комплексно сопряженным числу 

z = a + bi. Чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. 
Комплексное число можно возводить и в целую и в дробную степень и извлекать из него корень любой степени. 

в) если выполняется операция умножения некоторого выражения 

на алгебраическую сумму выражений, то есть перед открывающей 
скобкой стоит знак умножения, то каждое слагаемое в скобках умножается на выражение, стоящее перед скобками a (b + c) = a b + a c.  

При преобразованиях алгебраических выражений применяют 

следующие основные методы разложения многочлена на множители: 

– вынесение общего множителя за скобки; 
– группировку слагаемых; 
– формулы сокращенного умножения; 
– нахождение корней квадратного трехчлена и разложение его на 

множители. 

 
Основные формулы сокращенного умножения: 
а) квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; 
б) квадрат разности: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2; 
в) куб суммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3; 
г) куб разности: (a – b)3 = a3 – 3a2b +3ab2 – b3; 
д) разность квадратов: a2 – b2 = (a – b)(a + b); 
е) разность кубов: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); 
ж) сумма кубов: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 
Выражение  a2 + b2 — сумма квадратов чисел на множестве дей
ствительных чисел на линейные множители2 не раскладывается.  
Заметим, что для любого натурального числа n выражение a2n + b2n  
на множестве действительных чисел не имеет линейных множителей3, но может быть разложено в произведение многочленов степе- 
ней выше первой. 

Приведем еще две полезные при различных вычислениях форму
лы — возведение в натуральную степень алгебраической суммы двух 
чисел: 

                                                

2 Во множестве комплексных чисел выражение a2 + b2, где a и b – действи
тельные числа, можно представить в виде разности квадратов a2 – b2i2. Тогда 
a2 + b2 = (a + bi) (a – bi), то есть сумма квадратов двух чисел раскладывается 
в произведение двух комплексно сопряженных чисел. 

3 Например, выражение a4 + b4 на множестве действительных чисел можно 

разложить в произведение многочленов второй степени. Действительно, 




4
4
4
2 2
4
2 2
2
2
2
2
2
2
2
)(
2
a
b
a
a b
b
a b
a
b
ab a
b
ab










. 




0

n
n
k
n k
k

n

k

a
b
C a
b





 
    и    




0

1

n
n
k
k
n k
k

n

k

a
b
C a
b








. 

Выражения 
!

!(
)!

k
n

n
C
k n
k


 называют биномиальными коэффи
циентами4. Первую из приведенных выше формул называют биномом Ньютона.  

При применении формул сокращенного умножения для преобра
зования выражений в них нужно видеть две формулы: при прочтении 
формулы слева-направо и справа-налево. 

Отношение двух чисел называется дробью. По способу запи- 

си дроби делятся на обыкновенные и десятичные. Обыкновенная 

дробь — это запись рационального числа в виде m

n , где m — целое,  

а n — натуральное число. Правильной называется дробь, у которой 
модуль числителя меньше знаменателя (|m| < n), в противном случае 
дробь называется неправильной. Неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (т.е. суммы целой части и правильной дроби), поделив числитель на знаменатель. Тогда неполное частное является целой частью, а остаток – числителем правильной дроби. 

Обратно, смешанное число можно перевести в неправильную 

дробь: 
b
ac
b
a c
c


. 

Целое число также можно считать обыкновенной дробью, знаме
натель которой равен единице, т. е. 

1
a
a 
. 

Дробь, знаменатель которой степень числа 10, называют деся
тичной. Десятичную дробь записывают в виде a1a2…an,b1b2…bm, 
где a1, a2, …, an, b1, b2, …, bm — цифры, т.е. целые неотрицательные 
числа, не большие девяти. 

Сформулируем основное свойство дроби: дробь не изменится, 

если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно  

и то же неравное нулю число: a
a c

b
b c




 или ac
a

bc
b

, где 
0
c 
. 

                                                

4 n! (n-факториал) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n, 

то есть  n! = 123…n. Принято считать, что 0! = 1. 

Основное свойство дроби используется для приведения дробей  

к общему знаменателю и сокращения дроби. 

Чтобы привести две дроби a

b  и c

d  к общему знаменателю, нужно 

числитель a первой дроби умножить на знаменатель d второй, чис- 
литель второй дроби c умножить на знаменатель первой дроби b  
и знаменатели обеих дробей заменить на их произведение bd. После 

приведения к общему знаменателю дроби примут вид ad

bd  и cb

db .  

Две дроби имеют бесконечно много общих знаменателей, поэто
му для упрощения вычислений можно искать наименьший общий 
знаменатель. Для этого знаменатели дробей предварительно раскладывают на множители и находят наименьшее общее кратное знаменателей. 

Рассмотрим операции над дробями: 
а) чтобы сложить или вычесть дроби, необходимо сначала при
вести их к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть их числители, записав полученное выражение в числитель, а в знаменатель 

записать их общий знаменатель a
c
a d
b c
a d
b c

b
d
b d
b d
b d




 







; 

б) чтобы умножить дроби, необходимо перемножить соответст
венно их числители и знаменатели  a
c
a c

b d
b d





; 

в) чтобы разделить дробь на дробь, необходимо делимое умно
жить на дробь, обратную делителю, то есть на дробь, в которой чис
литель и знаменатель поменялись местами 
:
a
c
a d
a d

b
d
b c
b c






; 

г) чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби 

умножить на это число, а числитель дроби оставить без изменения 

1
:
a
a
a
c
b
b c
b c



 ; 

д) чтобы разделить число на дробь, нужно дробь перевернуть, 

числитель перевернутой дроби умножить на это число, а знаменатель 

оставить без изменения 
:
1

b
a c
ac
a c
b
b



. 

Свойства пп. «г» и «д» позволяют преобразовывать трехэтажные 

дроби по формулам: 
:
,
:
1

a

a
a
a
a b
ac
b
c
b
c
b
bc
c
b

c






 










.  

Аналогично, для четырехэтажной дроби по свойству п. «в»: 

:

a

a
c
ad
b
c
b d
bc

d






 








.  

Отношение 
двух 
многочленов 
называется 
алгебраической  

дробью.  

Сформулируем основное свойство дроби: дробь не изменится, 

если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно  

и то же выражение, неравное нулю ни в одной точке: 
( )
( )
f x
g x  

( )
( )

( )
( )

f x
h x

g x
h x



 или 
( )
( )
( )

( )
( )
( )

f x
h x
f x

g x
h x
g x




, где для всех значений х много
член h(x)  0. 

Операции над алгебраическими дробями выполняют по тем же 

правилам, что и операции над числовыми дробями. 

Правильной называют алгебраическую дробь, у которой степень 

числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь 
называется неправильной. Поделив числитель на знаменатель, неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби5. 

Пример 1. Найдите значение выражения 
3
1
11
3
2
1
: 1
1
4
3
12
16


 




 


 

. 

Решение. Сначала выполним действия в скобках:  

1) 

\3
\4
3
1
11
4
33
16
49
2
1
4
3
4
3
12
12
12






; 

                                                

5 Деление многочленов будет рассмотрено в пятой главе.