Электромагнитная совместимость: численные методы решения задач электростатики

Министерство науки и высшего образования  
Российской Федерации 
 
Томский государственный университет систем 
управления и радиоэлектроники 
 
 
 
 
 
 
 
С. П. Куксенко 
 
 
 
 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ:  
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 
ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 
 
 
Учебное пособие 
для студентов технических направлений подготовки 
и специальностей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство ТУСУРа 
2020 

УДК 621.391.823(075.8) 
ББК 32.841.174я73 
 
К898 
 
 
Рецензенты: 
Костарев И. С., канд. техн. наук, нач. отд. АО «НПЦ «Полюс»; 
Гизатуллин З. М., д-р техн. наук, проф.  
каф. систем автоматизированного проектирования  
Казанского национального исследовательского  
технического университета им. А. Н. Туполева  
 

 
 
 
 
 
 
Куксенко, Сергей Петрович  
К898  
Электромагнитная совместимость: численные методы решения 
задач электростатики: учеб. пособие для студентов техн. направлений подготовки / С. П. Куксенко. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та 
систем упр. и радиоэлектроники, 2020. – 268 с. 
ISBN 978-5-86889-879-2 
Показана актуальность применения математического моделирования при 
решении проблемы обеспечения электромагнитной совместимости различных 
технических средств. Обсуждаются общие вопросы, связанные с интегральными и дифференциальными уравнениями. Рассмотрены особенности использования численных методов конечных разностей, моментов и элементов при решении задач электростатики. Особое внимание уделено способам повышения 
точности вычислений и экономии машинных ресурсов. Изложены методы решения систем линейных алгебраических уравнений и тенденции их развития. 
Приведены примеры решения тестовых задач, в том числе с использованием 
пакета GNU Octave. Для закрепления пройденного материала и самопроверки 
приведены контрольные вопросы и задания. 
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим 
направлениям подготовки и специальностям. 
УДК 621.391.823(075.8) 
ББК  32.841.174я73 
 
 
ISBN 978-5-86889-879-2 
 Куксенко С. П., 2020 
 
 Томск. гос. ун-т систем упр. 
 
    и радиоэлектроники, 2020 

– 3 – 

Предисловие 
 

The world may be utterly crazy 
And life may be labour in vain; 
But I'd rather be silly than lazy, 

And would not quit life for its pain. 
James Clerk Maxwell 
 
Электромагнитное взаимодействие не только объясняет все 
электрические и магнитные явления, но и обеспечивает силы, благодаря которым вещество на атомном и молекулярном уровне  
существует как целое. Изучение электромагнитных явлений рассматривается в теории электромагнитного поля, описывающей 
взаимодействие между электрическими зарядами с помощью 
уравнений Максвелла (в дифференциальной или интегральной 
форме), связывающих источники (заряды и токи) с создаваемыми 
ими электромагнитными полями и потоками. 
Аналитические решения в замкнутом виде известны только в 
ограниченном количестве частных случаев, которые крайне редко 
применимы к решению практических задач. Поэтому для преодоления разрыва между теорией и требованиями практики при решении реальных задач используются различного рода (более или 
менее грубые) упрощения или приближения, например квазистатический подход. 
Появление компьютеров сильно изменило акценты при решении уравнений Максвелла. Так, до появления компьютеров было 
выгодно прикладывать значительные усилия для предотвращения 
громоздких вычислений, часто ценой длительных аналитических 
манипуляций и в итоге значительно уменьшенной применимости. 
Наоборот, с появлением мощных компьютеров привлекательным 
стало использование более простых методов, требующих больших 
вычислений. Такие вычислительные методы применимы при решении различного рода задач без необходимости модификации 
алгоритмов или компьютерных программ.  
Сказанное выше послужило развитию такого направления, 
как вычислительная электродинамика. Это направление важно для 
современных инженеров и ученых, которые решают электромаг

– 4 – 

нитные задачи с помощью специализированных инструментальных средств. Такие средства позволяют ускорить и удешевить 
процесс проектирования, где использование дорогостоящих и 
трудоемких прототипов (физическое моделирование) сведено к 
минимуму. Эти инструменты могут дать важную информацию об 
электромагнитных процессах, протекающих в проектируемом 
устройстве, получение которой осложнено или даже невозможно 
посредством экспериментов или аналитических расчетов. Автоматизация вычислений позволяет провести обширные структурные и 
параметрические исследования, а при необходимости быстрой 
разработки, анализа и оптимизации проектируемых устройств решающее значение для поддержания их конкурентоспособности 
может иметь использование инструментария вычислительной 
электродинамики. Таким образом, средства вычислительной электродинамики являются базовым инструментарием, который необходим современным техническим специалистам в повседневной 
трудовой деятельности при решении задач электромагнитной совместимости в целом и электростатики в частности. 
Автор благодарен аспирантам Иванову А. А. и Квасникову А. А. за помощь в подготовке материалов пособия, а заведующему кафедрой телевидения и управления Газизову Т. Р. за ряд 
ценных замечаний при обсуждении материалов. 
 

– 5 – 

Список сокращений 
 
КЛБФ – кусочно-линейная базисная функция 
КПБФ – кусочно-постоянная базисная функция 
КСБФ – кусочно-синусоидальная базисная функция 
КЭ – конечный элемент 
МВН – метод взвешенных невязок 
МКР – метод конечных разностей 
МКЭ – метод конечных элементов 
МоМ – метод моментов 
МПЛ – микрополосковая линия 
МПЛП – многопроводная линия передачи 
РЭС – радиоэлектронное средство 
САПР – система автоматизированного проектирования 
СВЧ – сверхвысокие частоты 
СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений 
ЭМС – электромагнитная совместимость 
ACA – adaptive cross approximation, адаптивная перекрестная 
аппроксимация 
AINV – approximate inverses, приближенный обратный 
BiCG – biconjugate gradient method, метод бисопряженных 
градиентов 
BiCGStab – biconjugate gradient stabilized method, метод стабилизированных бисопряженных градиентов 
CGS – conjugate gradient squared method, метод сопряженных 
квадратичных градиентов  
CSC – compressed column storage, разреженный столбцовый 
формат 
CSR – compressed row storage, разреженный строчный формат 
FDM – finite difference method, метод конечных разностей 
FEM – finite element method, метод конечных элементов 
GMRES – generalized minimal residual method, метод обобщенной минимальной невязки 
ILU – incomplete LU factorization, неполное LU-разложение 
ILUT – incomplete LU factorization with treshold, неполное LUразложение с порогом 

– 6 – 

MoM – method of moments, метод моментов 
SAINV – sparse approximate inverse, разреженный приближенно обратный 
SPAI – sparse approximate inverse, разреженный приближенный обратный   
ТЕМ – transverse electromagmetic, поперечная электромагнитная 
 

– 7 – 

1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ 
И ЭЛЕКТРОСТАТИКА: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 
 
1.1 Электромагнитная совместимость 
 
Открытие электромагнитных явлений и последующее изобре
тение электромагнитного телеграфа (П. Л. Шиллинг, 1832) и радио (А. С. Попов, 1895) фактически стало началом создания  
радиоэлектронных средств (РЭС) и тем самым глобального процесса информатизации, а также борьбы с радиопомехами, сначала 
с непреднамеренными (атмосферными и индустриальными), а затем и с преднамеренными. Достижения в области радиотехники и 
электроники, а также в вычислительных, информационных, телекоммуникационных и других технологиях послужили широкому 
внедрению во все сферы современного общества различных РЭС.  
Под РЭС понимают техническое средство, состоящее из одного или нескольких радиоприемных и (или) радиопередающих устройств и вспомогательного оборудования. В более общем смысле 
под РЭС подразумевается изделие и его составные части, в основу 
функционирования которых положены принципы радиотехники и 
электроники. Структура и состав этих средств могут сильно варьировать в зависимости от их функционального назначения.  
Конкуренция производителей РЭС требует регулярного и быстрого появления с минимальными затратами все более совершенных их видов. Однако выполнение этого требования с ростом 
сложности РЭС становится невозможным без применения автоматизированного проектирования, в основе которого лежит компьютерное моделирование. Поэтому наличие эффективной системы 
автоматизированного проектирования (САПР) с возможностью 
моделирования особенно важно для плодотворной работы современного специалиста, а ее использование позволяет существенно 
снизить затраты времени на разработку и повысить качество  
конечного изделия, сделав его более рентабельным. Помимо прочего, использование САПР позволяет экономить временные и  
финансовые ресурсы, требуемые для разработки, оценить правильность принятых технических решений, учесть требования 

– 8 – 

электромагнитной совместимости (ЭМС) и возможные дестабилизирующие факторы, влияющие на работу конечного изделия [1] .  

Основными элементами РЭС являются антенны и СВЧ
устройства (прежде всего линии передачи (волноводы) и резонаторы) [2]. Из-за конструктивных особенностей последних для повышения эффективности их проектирования часто используется 
квазистатический подход. Он применим, когда поперечные размеры рассматриваемой структуры малы по сравнению с длиной распространяющейся электромагнитной волны. Это позволяет свести 
уравнения Максвелла к телеграфным и тем самым уменьшить  
вычислительные затраты. Данный подход получил широкое распространение при проектировании на основе анализа многопроводных линий передачи (МПЛП). Особенностью такого проектирования является учет распределенных параметров между всеми 
проводниками. На основе МПЛП моделируются различные реальные полосковые структуры, которые широко используются для 
создания элементов РЭС: печатных плат, фильтров, средств снижения уровня перекрестных помех, антенн и др. 
Помимо сугубо конструкторских аспектов проектирования, 
тенденции развития современных РЭС обостряют проблему электромагнитной совместимости, появившуюся со времен первых радиопередатчиков А. С. Попова. Согласно ГОСТ P 50397-2011 
ЭМС технического средства – это его способность функционировать с заданным качеством в заданной электромагнитной обстановке и не создавать недопустимых электромагнитных помех другим техническим средствам. При этом под техническим средством 
подразумевается электротехническое, электронное и радиоэлектронное изделие, а также любое изделие, содержащее электри- 
ческие и/или электронные составные части (оно может быть  
устройством, оборудованием, системой или установкой). Конструктивное усложнение РЭС и ужесточение требований ЭМС,  
обусловленное ростом верхних частот полезных и помеховых сигналов, плотности монтажа, а также возможностей генераторов 
преднамеренных электромагнитных воздействий, в совокупности 
с необходимостью учета межэлементных, межблочных и межсистемных взаимовлияний требует все более тщательного проектиро

– 9 – 

вания РЭС. Например, при обеспечении ЭМС антенн важен контроль коэффициента стоячей волны и диаграммы направленности 
не только в рабочем диапазоне частот, но и в намного более широком диапазоне частот помеховых сигналов. 
Классическими способами обеспечения ЭМС являются 
фильтрация, экранирование и заземление, тесно связанные между 
собой. Для помехозащиты традиционно используется установка на 
входе защищаемого изделия устройств на основе сосредоточенных компонентов (в виде сборок из RLС-цепей, варисторов, разрядников, TVS-диодов и др.). Еще одним, сравнительно новым 
способом защиты является разложение помехового сигнала большой амплитуды на серию импульсов меньшей амплитуды, представляющую значительно меньшую опасность для РЭС по сравнению с исходным помеховым сигналом. Это разложение возможно 
за счет «полезного» использования взаимных связей в линиях передачи. При этом линиями передачи применительно к РЭС могут 
выступать межблочные кабели, печатные дорожки и другие монтажные соединения (межсоединения). Эти соединения, помимо 
электрических характеристик, отличаются по важным для ЭМС 
показателям: волновому сопротивлению, скорости распространения электромагнитной волны, эффективности экранирования и 
т. д. Следовательно, при проектировании таких соединений необходимо тщательно учитывать требования ЭМС для получения  
конечного изделия, удовлетворяющего этим требования на всем 
протяжении жизненного цикла самого соединения и всего из- 
делия.  

Перекрестные наводки в линиях передачи представляют со
бой электромагнитные помехи, обусловленные близостью расположения проводников линии и других компонентов РЭС. Их необходимо учитывать при проектировании, в том числе за счет 
контроля взаимовлияний между всеми проводниками. При квазистатическом анализе это реализуется посредством вычисления 
матриц погонных параметров линии передачи. Эти матрицы интегрально содержат всю необходимую информацию для последующего анализа, в том числе целостности сигналов и питания. 

– 10 – 

При проектировании элементов РЭС с учетом ЭМС необхо
димо также учитывать частотную зависимость их параметров, 
а также потери в проводниках и диэлектриках. Вследствие расширения спектра полезных и помеховых сигналов количество повторных вычислений существенно возрастает. Для обеспечения 
ЭМС целесообразен выбор рационального расположения проводников, например с целью экранирования одних проводников другими. При этом необходимо контролировать волновое сопротивление для обеспечения основных функций проектируемой линии 
передачи. Как следует из вышеизложенного, проектирование линий передачи посредством многовариантного анализа или оптимизации является нетривиальной задачей. 

Последним, но не менее важным аспектом обеспечения ЭМС 

при проектировании является выбор соответствующей схемы заземления. Так, наиболее благоприятная организация сплошных 
полигонов земли, как правило, является экономически невыгодной 
и технологически невыполнимой. Например, необходимость переходных отверстий на печатных платах нарушает целостность системы заземления, следовательно, необходим поиск оптимальных 
технических решений ее организации. Кроме того, особенности 
заземления оказывают существенное влияние на внутреннюю 
электромагнитную обстановку внутри проектируемого РЭС. Так, 
способ заземления экранирующего проводника на печатной плате 
существенно влияет на перекрестные наводки, что сказывается на 
обеспечении ЭМС РЭС в целом. 
Поиск оптимального решения задачи проектирования РЭС 
приводит к необходимости применения параметрического синтеза, осуществляемого средствами многовариантного анализа в диапазоне параметров или оптимизации. При этом из-за сложности 
проектируемых РЭС и необходимости учета требований ЭМС 
анализ и оптимизация невозможны без применения методов вычислительной электродинамики (одним из которых является метод моментов), поскольку имеющиеся аналитические выражения пригодны 
только для простых структур (например, одиночных и связанных 
линий передачи). В основе этих методов лежит замена непрерывных функций их дискретными аналогами (построение сетки), что