Теоретическая механика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  
высшего образования 
«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
Б.А. Люкшин 
Н.Ю. Гришаева 
Г.Е. Уцын 
 
 
Теоретическая механика 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
2020

УДК 531(075.8)  
ББК 22.21я73  
 
 
Рецензенты: 
Барашков В.Н., профессор кафедры строительной механики Томского 
государственного архитектурно-строительного университета, д-р физ.-мат. 
наук 
 
 
 
Авторы: 
Б.А. Люкшин, Н.Ю. Гришаева,  Г.Е. Уцын 
 
Люкшин, Борис Александрович 
Теоретическая механика: учебное пособие / Б.А. Люкшин [и др.]. — 
Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2020. — 134 с. 
 
 
В учебном пособии изложены основы теоретической механики по статике, 
кинематике, динамике в объеме, соответствующем образовательным стандартам, 
содержащим в плане вопросы теоретической механики, для всех направлений и 
специальностей ТУСУРа. Приведены примеры решения задач, сопровождающиеся 
методическими указаниями.  
Для студентов всех форм обучения. 
 
Одобрено на заседании каф. Механики и Графики, протокол №130 от 
10.02.2020 
 
 
 
УДК 531(075.8)  
ББК 22.21я73 
 
 
© Люкшин Б.А., Гришаева 
Н.Ю., Уцын Г.Е., 2020 
© Томск. гос. ун-т систем упр. 
и радиоэлектроники, 2020 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................................... 6 

1. 
МЕХАНИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ................................ 8 
1.1 Статика твердого тела .......................................................................... 12 

1.2 Сложение сил. Система сходящихся сил ............................................ 18 
1.3 Момент силы относительно центра. Пара сил .................................... 21 

1.4 Приведение системы сил к центру. Условия равновесия .................. 24 
1.5 Плоская система сил ............................................................................ 26 

1.6 Трение ................................................................................................... 29 
1.7 Пространственная система сил ............................................................ 33 

1.8 Центр тяжести ...................................................................................... 37 
2 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА ........................................ 44 
2.1 Кинематика точки................................................................................. 44 

2.1.1 Основные понятия ......................................................................... 44 
2.1.2 Вектор скорости точки .................................................................. 46 

2.1.3 Вектор ускорения точки ................................................................ 47 
2.1.4 Определение скорости и ускорения при координатном задании 
движения ................................................................................................. 48 
2.1.5 Примеры решения задач кинематики точки ................................ 49 

2.1.6 Оси естественного трехгранника. Числовые значения скорости. 
Касательное и нормальное ускорение точки ........................................ 52 

2.1.7 Частные случаи движения точки .................................................. 53 
2.1.8 Графики движения, скорости и ускорения точки ........................ 55 

2.1.9 Примеры решения задач................................................................ 56 
2.1.10 Скорость и ускорение точки в полярных координатах ............. 59 

2.2 Поступательное и вращательное движения твердого тела ................ 60 
2.2.1 Поступательное движение ............................................................ 60 

2.2.2 Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая 
скорость и угловое ускорение ............................................................... 62 

2.2.3 Равномерное и равнопеременное вращения ................................ 64 
2.2.4 Скорости и ускорения точек вращающегося тела ....................... 64 

2.3 Плоскопараллельное движение твердого тела ................................... 67 

2.3.1 Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение 
движения на поступательное и вращательное ...................................... 67 
2.3.2 Определение траекторий точек плоской фигуры ........................ 69 

2.3.3 Скорости точек плоской фигуры .................................................. 70 
2.3.4 Теорема о проекциях скоростей двух точек тела ........................ 72 

2.3.5 Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью 
мгновенного центра скоростей. Центроиды ......................................... 72 

2.3.6 Ускорения точек плоской фигуры ................................................ 76 
2.4 Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение 
свободного твердого тела .......................................................................... 80 
2.4.1 Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку ..... 80 

2.4.2 Общий случай движения свободного твердого тела ................... 82 
2.5 Сложное движение точки..................................................................... 83 

2.5.1 Относительное, переносное и абсолютное движения ................. 83 
2.5.2 Теорема о сложении скоростей ..................................................... 84 

2.5.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) ................ 87 
2.6 Сложное движение твердого тела ....................................................... 90 

2.6.1 Сложение поступательных движений .......................................... 90 
2.6.2 Сложение вращений вокруг двух параллельных осей ................ 90 

2.6.3 Сложение вращений вокруг пересекающихся осей ..................... 93 
2.6.4 Сложение поступательного и вращательного движений. 
Винтовое движение ................................................................................ 94 
3 ДИНАМИКА ............................................................................................... 96 

3.1 Введение в динамику. Законы динамики ............................................ 96 
3.2 Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач 
динамики точки .......................................................................................... 99 
3.2.1 Основные соотношения................................................................. 99 

3.2.2 Основная задача динамики точки при прямолинейном движении 100 
3.2.3 Последовательность и примеры решения задач ........................ 101 

3.2.4 
Решение основной задачи динамики точки при 
криволинейном движении ................................................................... 104 

3.3 Общие теоремы динамики точки ....................................................... 106 
3.3.1 Количество движения точки. Импульс силы ............................. 106 

3.3.2 Теорема об изменении количества движения точки ................. 107 

3.3.3 Теорема об изменении момента количества движения точки 
(теорема моментов) .............................................................................. 108 
3.3.4 Движение под действием центральной силы. Закон площадей 110 

3.3.5 Работа сил. Мощность ................................................................. 111 
3.3.6 Примеры ....................................................................................... 112 

3.3.7 Теорема об изменении кинетической энергии точки ................ 114 
3.4 Несвободное и относительное движения точки ............................... 117 

3.4.1 Несвободное движение точки ..................................................... 117 
3.4.2 Относительное движение точки ................................................. 122 

3.5 Прямолинейные колебания точки ..................................................... 123 
3.5.1 Свободные колебания без учета сил сопротивления ................. 123 

3.5.2 Свободные колебания при вязком сопротивлении .................... 125 
3.5.3 Вынужденные колебания. Резонанс ........................................... 128 

3.5.4 Вынужденные колебания при вязком сопротивлении ................. 129 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................ 132 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................ 133 
ГЛОССАРИЙ ............................................................................................... 134 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по 
направлениям подготовки бакалавров ТУСУР по всем направлениям и 
специальностям 
подготовки, 
в 
которых 
предусмотрено 
изучение 
теоретической механики. Оно представляет собой адаптированное к 
объему 
часов, 
предусмотренному 
образовательными 
стандартами, 
изложение «Краткого курса теоретической механики» С. М. Тарга. Это 
пособие [1] предназначено для студентов механических специальностей 
высших технических учебных заведений, и потому его содержание и 
объем много шире, чем предусмотрено образовательными стандартами для 
указанных выше направлений. Студентам, желающим получить более 
полное представление о вопросах теоретической механики, можно 
рекомендовать указанное пособие для самостоятельной проработки. 
В пособии отражены в основном теоретические вопросы курса. 
Основные навыки решения задач для студентов очной формы обучения 
приобретаются в общении с преподавателем на практических занятиях. 
Для студентов, желающих получить навыки решения задач, а также 
обучающихся по дистанционной технологии и по заочной форме, авторами 
разработано пособие в виде практикума по решению задач теоретической 
механики применительно к объему и содержанию теоретической части, 
изложенной в настоящем пособии. Это пособие предназначено для 
самостоятельной работы студентов в части решения задач теоретической 
механики. 
Уровень усвоения материала проверяется самоконтролем, для этого 
после каждого раздела пособия размещены вопросы.  
Статика выделена как наиболее важный раздел теоретической 
механики. Внимательный читатель пособия обратит внимание на то, что 
построение теоретической части курса – и это характерно для большинства 
учебников по теоретической механике – в значительной мере сводит 
многие вопросы динамики к формулировкам, характерным для проблем 
статики. Видимо, этому есть объяснение, один из элементов которого 
связан с историей развития дисциплины. В течение почти полутора 
тысячелетий, начиная с трудов Архимеда, все вопросы, позднее ставшие 
составной частью теоретической механики, рассматривались в статической 
постановке. Поэтому методы решения задач статики, как наиболее 
развитые, 
традиционно 
принято 
использовать 
и 
при 
решении 
динамических задач. 
Хотелось бы отметить, что объем и содержание классического курса 
теоретической механики – например, читаемого студентам механических и 
строительных специальностей технических вузов, а также механикоматематических факультетов университетов – много шире, чем отражено в 

настоящем пособии. Так, совершенно не отражены вопросы динамики тел 
с переменной массой. Не освещены вопросы теории гироскопов даже в 
элементарной форме, и т.д. Более того, даже те вопросы, что нашли место 
в этом пособии, изложены местами практически конспективно. Причины 
выше указаны. 
Студентам, которым хотелось бы расширить свои знания по 
настоящему курсу, можно рекомендовать учебные пособия, приведенные в 
списке литературы. 
В пособии нет списка используемых обозначений, каждое из них 
комментируется и расшифровывается по мере появления обозначения в 
тексте. Следует обратить внимание читателя на обозначения векторных 
величин. 
Каждая 
из 
них 
обозначается 
либо 
надчерком 
над 
соответствующей буквой, либо выделением этой буквы жирным шрифтом, 
например, обозначения F  и F эквивалентны. 

Глава 1 

1. 
МЕХАНИКА И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 

Изменение материи называется движением. Под движением можно 
понимать все процессы, происходящие во Вселенной – от простого 
механического перемещения до мышления.  

Механика – наука о механическом движении и о механическом 
взаимодействии тел. 

Независимо от специальности инженеру приходится сталкиваться с 
разнообразными вопросами, решение которых зачастую связано с 
исследованием 
механического 
движения 
и/или 
механического 
взаимодействия материальных тел. Так, для специалистов в области 
электронного приборостроения и машиностроения задачи теоретической 
механики возникают при конструировании механизмов настройки и 
управления радиоэлектронной аппаратуры, при создании разного рода 
электромеханических устройств, защиты аппаратуры от вибрации, ударов 
и т.п. Важную роль играет механика в вопросах робототехники и т.д. 
Классическая механика исходит из предположения, что свойства 
пространства и времени не зависят от того, какие материальные объекты 
участвуют в движении и как именно они движутся. Поэтому появляется 
возможность выделить и описать некоторые общие свойства движения. 
При 
таком 
подходе 
рассматриваются 
лишь 
некоторые 
общие 
геометрические характеристики движения, которые в равной мере могут 
быть отнесены к движению самых разных объектов – молекулы или 
Солнца, изображения на экране телевизора или тени самолета на Земле. 
Предполагается, что пространство однородно и изотропно, а время 
однородно. Однородность (соответственно изотропность) пространства 
означает, что в пространстве нет каких-либо точек (направлений), которые 
отличаются от других. Однородность времени означает, что при течении 
времени нет каких-либо примечательных, специально выделенных 
моментов и безразлично, от какого момента ведется отсчет. Пространство 
и время предполагаются «метризуемыми», т.е. в пространстве можно 
ввести масштаб, а во времени – часы. 
Сам термин «механика» введен впервые Аристотелем (384 – 322 гг. 
до н.э.) и в те времена ассоциировался с такими понятиями, как 
«сооружение, машина». 
В настоящее время под механикой понимается наука, охватывающая 
математические методы описания механических движений. 

Механическое движение – происходящее с течением времени 
изменение взаимного положения материальных тел в пространстве. 
Примерами механического движения являются движения небесных тел, 

течения газов и жидкостей, тепловое движение молекул, движения 
транспортных средств и живых существ и т.д. Приведенные в этом ряду 
примеры движений существенно отличаются пространственными и 
временными масштабами. Тем не менее, с точки зрения механики, они 
описываются во многом сходными понятиями и закономерностями. 

Механическое взаимодействие тел – такое воздействие тел друг 
на друга, в результате которого происходит изменение движения, формы 
и (или) размеров тел. Мерой механического взаимодействия является сила. 

Возможны разные способы классификации разделов механики. 
Например, есть классификация, в соответствии с которой механика 
делится 
на 
три 
ветви: 
1) 
теоретическую, 
2) 
квантовую 
и 
3) 
релятивистскую.  
О первом направлении пойдет речь в нашем курсе, второе изучает 
объекты микроскопических масштабов, в третьем речь идет о движении 
тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме.  
В механике можно выделить следующие направления, каждое из 
которых тоже представляет собой комплекс дисциплин.  
1. Собственно теоретическая (общая) механика. О ней будет речь 
идти ниже на протяжении всего курса. 
2. Реология (буквально – наука об изменении, о течении). Это 
направление в качестве одной из важнейших составных частей содержит в 
себе механику деформируемого твердого тела. Она делится на такие 
составляющие, как теория упругости, теория пластичности, теория 
вязкоупругости, прикладная механика, теория оболочек, теория балок и 
стержней (сопротивление материалов), теория механизмов и машин, и т.д. 
Второе крупное направление – механика жидкости, газа и плазмы. Можно 
детализировать и дальше каждую из перечисленных дисциплин, но важно 
подчеркнуть то обстоятельство, что во всех частных или более общих 
разделах реологии используются понятия и методы, составляющие 
предмет теоретической механики. На них мы и остановимся. 
В основе классической механики лежат законы Ньютона, которые 
являются обобщением опытных данных. Эти законы верны для 
подавляющего большинства приложений, во всяком случае, пока мы не 
принимаем во внимание поправки, связанные с теорией относительности. 

Основной 
метод 
исследования в механике – моделирование. 

Модель – это всегда абстракция, некоторое упрощенное представление об 
объекте или явлении, отражающее их характерные черты. Модель иногда 
сравнивают с карикатурой: это не портрет и не фотография, но сходство с 
оригиналом обычно является настолько очевидным, что не нужно 
объяснять, о ком или о чем идет речь. 

В классической механике почти все используемые положения и 
понятия являются абстракциями, или моделями. 
Вместо 
реальных 
объектов 
в 
теоретической 
механике 
рассматриваются две основные модели: 
- материальная точка; 
- абсолютно твердое тело. 

Материальная точка по аналогии с математической точкой не 
имеет 
пространственной 
протяженности, 
но, 
в 
отличие 
от 
математической точки, обладает массой.  

На практике понятие точки используется обычно тогда, когда для 
описания движения реального тела достаточно знать положение его «в 
целом», а ориентация тела значения не имеет. Материальный объект может 
рассматриваться как материальная точка, если можно считать, что в любой 
момент времени скорости и ускорения всех точек объекта одинаковы. 
Вопрос о том, можно ли рассматривать тот или иной объект как 
материальную точку, определяется не размерами объекта, а особенностями 
его движения и степенью идеализации задачи. Описание движения 
самолета или ракеты по траектории можно проводить с использованием 
понятия материальной точки, если не интересоваться ориентацией их в 
пространстве. Аналогичным образом движение Земли или любой другой 
планеты вокруг Солнца можно рассматривать как движение материальной 
точки. Как только нужно учесть ориентацию самолета или ракеты, Земли 
или планеты на траектории, модель материальной точки уже непригодна. 

Абсолютно твердое тело – это объект, который не меняет своих 
размеров при любой нагрузке и при любом движении.  

Иногда используется другое определение: абсолютно твердое тело – 
множество материальных точек, расстояние между которыми во время 
движения не меняется. Ясно, что все реальные тела в той или иной степени 
подвержены изменению формы и/или размеров. В модели абсолютно 
твердого тела такими изменениями пренебрегается по сравнению с 
исходными размерами тела. 
Хотя эти модели представляют собой абстрактные понятия, при их 
использовании получается большое количество практически полезных 
результатов. 
Теоретическая механика в инженерном образовании является базой 
многих областей современной техники. 
По характеру рассматриваемых задач механика (независимо от 
объектов и методов исследования) делится на три больших основных 
раздела – статика, кинематика и динамика. 

Статика – учение о силах и об условиях равновесия материальных 
тел под действием сил. 

Кинематика – 
описание 
геометрических 
свойств 
движения 
твердых тел. 

Динамика – учение о движении материальных тел под действием 
сил. 

Из этих определений следует, что синтетическим разделом 
механики, в известном смысле объединяющим в себе статику и 
кинематику, является динамика. По этой причине, в частности, в разных 
учебниках 
по 
теоретической 
механике 
можно 
найти 
различную 
последовательность изложения предмета – в одних излагается сначала 
статика, а затем кинематика, в других эта последовательность изменена, но 
динамика излагается всегда в последнюю очередь. Ниже изложение 
начинается со статики. В известном смысле это соответствует истории 
развития механики. 
 

Историческая справка 
Происхождение термина «механика», как было отмечено выше, 
связывается с именем Аристотеля.  Возникновение и развитие механики – 
впрочем, как и подавляющего большинства других наук – тесно связано с 
развитием производительных сил общества, уровнем техники на каждом 
этапе его развития. 
Так, приемы статики уже широко использовались при строительстве 
таких сооружений, как знаменитые пирамиды древнего Египта, дворцовые 
и храмовые комплексы, дошедшие и до наших дней. Систематически 
начала статики впервые изложены в трудах Архимеда (287 – 212 гг. 
до н. э.).  
Именно статика дала теорию так называемых простейших машин – 
строительных приспособлений, таких как блок, ворот, рычаг, наклонная 
плоскость и т. д. 
Практически до ХV – XVI вв. статика и теоретическая механика в 
целом не получили никакого существенного развития. Лишь в связи с 
развитием мореплавания, военного дела, с появлением огнестрельного 
оружия в XVII веке сформулированы законы динамики Галилеем (1564 –
 1642 гг.) и позднее Ньютоном (1643 – 1727 гг.).  
Все более или менее значимые результаты этого периода приведены 
в систему в труде И. Ньютона «Математические начала натуральной 
философии» (1687 г.). 
Кинематика как особый раздел механики начала оформляться в 
XVIII – XIX веках под влиянием развития машиностроения. Практически в 
то же время начинает развиваться и динамика. 
Аналитические 
методы 
механики – 
с 
использованием 
дифференциального и интегрального исчисления – начали развиваться в 
XVIII веке и связаны с именами Л. Эйлера (1707 – 1783), Ж. Даламбера 

(1717 – 1783), 
Ж. Лагранжа 
(1736 – 1813). 
Эти 
методы 
остаются 
основными до сих пор.  
Из российских ученых необходимо отметить таких исследователей, 
оставивших заметный след в развитии многих направлений механики, как 
М. В. Ломоносов 
(1711 – 1765), 
Л. Эйлер, 
М. В. Остроградский, 
П. Л. Чебышев, 
С. В. Ковалевская, 
А. М. Ляпунов, 
И. В. Мещерский, 
К. Э. Циолковский, А. Н. Крылов, Н. Е. Жуковский и многие, многие 
другие. 
В дальнейшем при изложении материала ссылки на авторов тех или 
иных результатов не приводятся.  

1.1 Статика твердого тела 

Основные понятия и аксиомы статики 

Статика – раздел механики, представляющий собой учение о силах 
и условиях равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. 

Равновесие – состояние покоя тела по отношению к другим телам.  

В курсе теоретической механики рассматривается равновесие 
материальных точек и абсолютно твердых тел (АТТ). 
Все тела при действии нагрузок деформируются, т.е. меняют форму 
и/или размеры. Тело, подвергающееся воздействию, изменяет свое 
движение или форму и размеры не мгновенно, а с течением времени. Это 
свойство называется инертностью.  
Для обеспечения прочности подавляющего большинства изделий из 
распространенных материалов необходимо, чтобы деформации были 
малыми. Если мерой деформации считать относительное изменение 
размеров изделия, то оно не должно превышать доли процента, редко – для 
материалов типа полимеров – единицы процентов, и только уж совсем 
необычные в этом отношении материалы типа каучука и резины, а также 
некоторые 
полимеры 
без 
разрушения 
выдерживают 
деформации, 
измеряемые десятками и сотнями процентов. При изучении условий 
равновесия «обычных» тел принимается, что допустимо пренебрегать 
изменением формы и размеров по сравнению с исходными их значениями 
и считать тело абсолютно твердым. 
Силой называется мера механического взаимодействия твердых тел. 
В механике постулируется принцип независимости действия сил: сила, 
обусловленная каким-либо источником, не зависит от наличия сил, 
обусловленных другими источниками. 
Величина силы определяется на основе некоторых эталонов. 
Поскольку при действии силы (механического взаимодействия) меняются 
либо размер и форма тела (возникают деформации), либо закон его 

движения, 
все 
распространенные 
измерители 
сил 
связаны 
с 
использованием 
этих 
факторов. 
Известны 
разного 
рода 
упругие 
силоизмерительные 
устройства. 
Простейшим 
примером 
являются 
пружинные весы, служащие для определения веса тел, т. е. сил тяжести, 
действующих на эти тела. Реже используются устройства, основанные на 
свойствах инерции. 

Сила как вектор характеризуется: 
1. Величиной. 
2. Направлением. 
3. Точкой приложения. 

Единицей измерения силы в системе СИ является 1 ньютон (Н); 1 

Н – это сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2, а 
записывается это как соотношение Н = кг·м/с2. 
Графически сила изображается, как и любой вектор, в виде 
направленного отрезка. 
В тех случаях, когда величина силы и ее направление зависят только 
от положения точки, говорят, что существует силовое поле. Примерами 
силовых полей могут служить поле сил тяжести, силы упругости, силы 
электрического или магнитного взаимодействия и т. д. 
Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия 
силы. Направление вектора в ту или другую сторону в этом случае роли не 
играет. Попутно можно отметить, что ось, в отличие от прямой, имеет 
направление, начало отсчета и масштаб, поэтому величина (знак) проекции 
вектора на ось зависит от направления вектора. 

Система сил – совокупность сил, приложенных к телу (или к 
телам). Если линии действия всех сил расположены в одной плоскости, 
система сил называется плоской, иначе – пространственной. Если линии 
действия сил пересекаются в одной точке, то силы являются 
сходящимися. Если линии действия сил параллельны, то и силы 
называются параллельными. 

Если тело из данного положения можно свободно перемещать, оно 
называется свободным. 

Если при замене одной системы сил на другую тело не меняет своего 
равновесия (или движения), эти системы сил эквивалентны. 

Система сил, под действием которой тело может находиться в 
покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю. 

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется 
равнодействующей.