Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум
Покупка
Тематика:
Прикладная математика
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 52
Дополнительно
Доступ онлайн
100 ₽
В корзину
В учебном пособии в первой части приводится системное изложение одного из разделов прикладной математики, связанного с устойчивыми методами и алгоритмами решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при параметрической идентификации моделей. Основное внимание уделяется построению решений с минимальной ошибкой или с требуемыми точностными характеристиками, а также учету имеющейся априорной информации об искомом решении. Во второй части приводится описание практических занятий по созданию алгоритмов построения нормального псевдорешения и регуляризированных решений систем линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие предназначено для магистрантов направления «Прикладная математика и информатика». Результаты будут полезны также широкому кругу студентов, магистрантов, аспирантов, исследователей, занимающихся решением задач параметрической идентификации и обработки экспериментальных данных.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников А.А. Мицель СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2. Практикум Учебное пособие ТОМСК 2016
УДК 519.2 ББК 22.172 В 650 Воскобойников Ю. Е., Мицель А.А. Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум: учебное пособие/ Ю. Е. Воскобойников, А.А. Мицель/ Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск, 2016. – 52с. В учебном пособии в первой части приводится системное изложение одного из разделов прикладной математики, связанного с устойчивыми методами и алгоритмами решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при параметрической идентификации моделей. Основное внимание уделяется построению решений с минимальной ошибкой или с требуемыми точностными характеристиками, а также учету имеющейся априорной информации об искомом решении. Во второй части приводится описание практических занятий по созданию алгоритмов построения нормального псевдорешения и регуляризированных решений систем линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие предназначено для магистрантов направления «Прикладная математика и информатика». Результаты будут полезны также широкому кругу студентов, магистрантов, аспирантов, исследователей, занимающихся решением задач параметрической идентификации и обработки экспериментальных данных.
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 Построение нормального псевдорешения СЛАУ . 5 § 1.1. Постановка задачи ………………..……………..… 5 § 1.2. SVD-алгоритм построения нормального псевдорешения…………..….……………………………. 6 Задание 1.1………………………………………………… 8 Задание 1.2…………………………………………………. 12 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 Построение регуляризованного решения СЛАУ . 14 §2.1. Байесовский регуляризирующий алгоритм………... 14 Задание 2.1…………………………………………………. 16 §2.2. Оптимальный регуляризирующий SVD-алгоритм 17 Задание 2.2…………………………………………………. 20 §2.3. Построение регуляризованного решения при неполной информации…………………………………… 21 Задание 2.3………………………………………………… 26 §2.4. Регуляризирующий SVD-алгоритм………………… 27 Задание 2.4…………………………………………………. 30 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3 Алгоритмы выбора параметра регуляризации . 35 §3.1. Выбор параметра регуляризации на основе критерия оптимальности…………………………………. 35 Задание 3.1………………………………………………… 36 §3.2. Алгоритм выбора параметра регуляризации с использованием SVD-разложения на основе критерия оптимальности…………………………………………… 36 Задание 3.2……………………………………………….. 38 §3.3. Алгоритм выбора параметра регуляризации основе статистического принципа невязки……………………. 38
Задание 3.3………………………………………………... 40 §3.4. Алгоритм поиска V α с использованием SVD разложения……………………………………………….. 41 Задание 3.4………………………………………………. 42 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Локальная регуляризация ………………………….. 43 §4.1. Векторный параметр регуляризации……………. 43 Задание 4.1………………………………………………… 45 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Дескриптивные алгоритмы решения СЛАУ …… 46 §5.1. Глобальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….……………………… 46 Задание 5.1………………………………………………… 49 § 5.2. Локальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….………………… 49 Задание 5.2…………………………………………………. 51 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………….… 52
Практическое занятие №1 Построение нормального псевдорешения СЛАУ §1.1. Постановка задачи Дана система линейных алгебраических уравнений матричном виде K f = ϕ , (1.1) где K – матрица размером N M × (N строк и M столбцов), ϕ – вектор размерности M (содержит M проекций), f – вектор размерности N f f = + ɶ η Здесь f - вектор точной правой части, η - вектор ошибок. Предположим, что матрица K имеет размеры M N × . Вектор HK ϕ размерностью M называют псевдорешением (или решением МНК), если он доставляет минимум следующему функционалу 2 ( ) ( ) ( ) T HK f K f K f K Ψ = − = − − ϕ ϕ ϕ ϕ (1.2) среди всех векторов евклидова пространства M E . Решение, обеспечивающее минимум функционалу (2), является решением следующей СЛАУ T T HK K K K f = ϕ , (1.3) которая называется системой нормальных уравнений. В отличие от исходной системы K f = ϕ эта система всегда разрешима, т.е. для любой правой части f существует
псевдорешение HK ϕ . Если матрица K имеет ранг, равный M , то 1 ( ) T T HK K K K f ϕ − = . (1.4) Сингулярным разложением прямоугольной N M × матрицы K (коротко: SVD-разложением) называется представление: T K U V = Λ , (1.5) где U – ортогональная ( N N × )-матрица, V – ортогональная ( M M × )-матрица, Λ – ( N M × )-матрица вида 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 3 2 1 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ λ λ λ λ Λ = , (1.6) в которой последние N – M строки содержат только нулевые элементы. Величины 0, 1,..., j j M λ ≥ = , называются сингулярными числами матрицы K, и в дальнейшим полагаем, что j λ упорядочены по убыванию, т.е. 1 j j λ λ + ≥ . Напомним, что матрица B называется ортогональной, если имеет место тождество T T B B BB I = = §1.2. SVD-алгоритм построения нормального псевдорешения Введем векторы , T T y U f x V = = ϕ (1.7)
Доступ онлайн
100 ₽
В корзину