Прикладная математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 
Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение высшего образования 
«Томский государственный университет систем управления и 
радиоэлектроники» 
Кафедра автоматизированных систем управления 
 

 
 
 
 
 
 
ПРИКЛАДНАЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2016 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
Учебное пособие 
 
Составитель А.А. Мицель 
Томск: Томский государственный университет систем управления и 
радиоэлектроники. – 2016. – 113 с. 
 
 
В пособии представлены классические разделы математической статистики: выборка и 
эмпирическое 
распределение, 
оценка 
параметров 
распределений, 
точечные 
и 
интервальные оценки параметров распределений, оценка законов распределений 
вероятностей случайных чисел, проверка гипотез о значениях параметров распределений, 
дисперсионный и корреляционный анализ зависимостей, регрессионный анализ. 
Пособие подготовлено для магистрантов  направления 09.04.01. – «информатика и 
вычислительная техника» и для магистрантов направления 01.04.02 – «прикладная 
математика и информатика». Представляет интерес для инженеров, аспирантов, 
преподавателей, ученых, занимающихся вопросами обработки данных. 
 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение в прикладную статистику 
6 

Вопросы для самопроверки 
8 

Тема 1. Выборка. Эмпирическое распределение 
9 

1.1. Основные понятия и соотношения 
9 

1.2. Числовые характеристики выборки 
12 

Вопросы для самопроверки 
13 

Тема 2. Точечные оценки параметров распределений вероятностей 
14 

2.1. Точечные и интервальные оценки 
14 

2.2. Вычисление точечных оценок 
17 

2.2.1. Оценка параметров методом максимального правдоподобия 
17 

2.2.2. Примеры применения метода максимума правдоподобия 
18 

2.2.3. Приближенное решение уравнения правдоподобия 
20 

2.2.4. Оценка параметров методом моментов 
21 

2.2.5. Оценка параметров методом наименьших квадратов 
22 

2.3. Точечная оценка параметров нормального распределения 
23 

2.4. Точечная оценка параметров показательного закона распределения 
23 

2.5. Точечная оценка параметров равномерного закона распределения 
24 

2.6. Точечная оценка параметров биномиального закона распределения 
24 

2.7. Планирование экспериментов для оценки параметров 
распределений 
25 

2.7.1. Нормальное распределение 
25 

2.7.2. Экспоненциальное распределение 
26 

2.7.3 Биномиальное распределение 
27 

Вопросы для самопроверки 
28 

Тема 3. Интервальные оценки параметров распределений 
30 

3.1. Оценка параметров нормального распределения 
30 

3.2. Оценка параметров показательного распределения 
31 

3.3. Оценка параметров биномиального распределени 
32 

3.4. Примеры интервальных оценок 
32 

3.5. Интервальные оценки параметров при неизвестном  
законе распределения 
33 

3.5.1. Оценки для центра распределения 
33 

3.5.2 Оценка рассеяния распределения 
34 

Вопросы для самопроверки 
34 

Тема 4. Методы анализа законов распределения вероятностей случайных 

величин 

36 

4.1 Общие понятия 
36 

4.2 Общие критерии согласия 
37 

4.2.1 
Критерии, 
основанные 
на 
сравнении 
теоретической 

плотности распределения и эмпирической гистограммы 
37 

4.2.2 Критерии, основанные на сравнении теоретической и 
эмпирической функций распределения вероятностей 
40 

4.2.3. Принадлежность двух выборок одному и тому же 
распределению 
43 

4.3 Критерии нормальности распределения 
45 

4.3.1 Модифицированный критерий 
2
χ  
45 

4.3.2 Критерий типа Колмогорова – Смирнова 
46 

4.4 Критерий проверки экспоненциальности распределения 
47 

4.4.1 Критерии типа Колмогорова –Смирнова 
47 

4.4.2 Критерий Фишера 
48 

4.5 Критерии согласия для равномерного распределения 
49 

4.6 Критерий симметрии 
49 

Вопросы для самопроверки 
50 

Тема 5. Проверка гипотез о значениях параметров распределений 
52 

5.1 Общие сведения 
52 

5.2. Проверка  простой гипотезы против простой альтернативы 
52 

5.3. Статистическая гипотеза. Статистический критерий 
55 

5.2 Последовательные методы проверки гипотез о значениях 
параметров распределений 
57 

5.3 Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения 
59 

5.3.1 Проверка гипотезы о значении среднего 
59 

5.3.2 Проверка гипотезы о значении дисперсии 
62 

5.4 Проверка гипотезы о параметре экспоненциального распределения 
64 

5.5 Проверка гипотезы о параметре биномиального распределения 
64 

Вопросы для самопроверки 
66 

Тема 6. Дисперсионный анализ зависимостей 
67 

6.1 Основные положения 
67 

6.2. Однофакторный анализ 
68 

6.2.1.0днофакторный дисперсионный анализ 
68 

6.2.2. Непараметрические методы однофакторного анализа 
70 

6.3. Двухфакторный анализ 
73 

6.3.1 Двухфакторный параметрический дисперсионный анализ 
75 

6.3.2. Двухфакторный непараметрический анализ 
75 

Вопросы для самопроверки 
76 

Тема 7. Корреляционный анализ 
78 

7.1. Вычисление параметрических коэффициентов корреляции 
78 

7.2 Вычисление непараметрических коэффициентов 
корреляции 
80 

Вопросы для самопроверки 
82 

Тема 8. Регрессионный анализ 
83 

8.1. Построение модели регрессии 
84 

8.2. Оценка адекватности регрессии 
85 

8.2.1 Анализ регрессионных остатков 
86 

8.2.2 Доверительный интервал для уравнения регрессии 
87 

8.3. Оценка дисперсии коэффициентов регрессии и доверительных 
интервалов 
87 

8.4 Пример построения уравнения регрессии 
88 

Вопросы для самопроверки 
92 

Литература 
93 

ПРИЛОЖЕНИЕ 
94 

 
 
 
 
 
 
 

 

Введение в прикладную статистику 

 

Что представляет из себя предмет математической статистки? В теории вероятностей 

выводятся правила, которые позволяют по вероятностям одних случайных событий 
вычислить вероятности других, которые с ними связаны или по числовым характеристикам и 
функциям распределения одних случайных величин подсчитывать функции распределения и 
числовые характеристики других случайных величин. Другими словами, зная состав 
генеральной совокупности, там изучают распределения для состава случайной выборки. Это 
типичная прямая задача теории вероятностей. Однако часто приходится решать и обратные 
задачи, когда известен состав выборки и по нему требуется определить, какой была 
генеральная совокупность. Такого рода обратные задачи и составляют, образно говоря, 
предмет математической статистики. 

Несколько уточняя это сравнение, можно сказать так: в теории вероятностей мы, зная 

природу некоторого явления, выясняем, как будут вести себя (как распределены) те или 
иные изучаемые нами характеристики, которые можно наблюдать в экспериментах. В 
математической статистике наоборот — исходными являются экспериментальные данные 
(как правило, это наблюдения над случайными величинами), а требуется вынести то или 
иное суждение или решение о природе рассматриваемого явления. Таким образом, мы 
соприкасаемся здесь с одной из важнейших сторон человеческой деятельности — процессом 
познания. Тезис о том, что «критерий истины есть практика» имеет самое непосредственное 
отношение к математической статистике, поскольку именно эта наука изучает методы (в 
рамках точных математических моделей), которые позволяют отвечать на вопрос, 
соответствуют ли практика, представленная в виде результатов эксперимента, данному 
гипотетическому представлению о природе явления или нет. 

При этом необходимо подчеркнуть, что, как и в теории вероятностей, нас будут 

интересовать 
не 
те 
эксперименты, 
которые 
позволяют 
делать 
однозначные, 

детерминированные выводы о рассматриваемых в природе явлениях, а эксперименты, 
результатами которых являются случайные события. С развитием науки роль такого рода 
задач становится все больше и больше, поскольку с увеличением точности экспериментов 
становится все труднее избежать  «случайного  фактора»,  связанного  с разного рода 
помехами и ограниченностью наших измерительных и вычислительных возможностей. 
Термин 
статистика 
происходит 
от 
латинского 
слова 
«статус»-состояние. 
Первоначально в XVIII веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, 
термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние 
государства.  
В настоящее время статистика включает в себя следующие разделы:  
1. Сбор статистических сведений, характеризующих отдельные составляющие какихлибо массовых совокупностей. 
2. Статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении 
тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе массовых наблюдений. 
3. Разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистических 
данных. Этот раздел составляет основное содержание математической статистики.  
Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит 
набор результатов наблюдений над этим явлением или же результаты специально 
поставленных испытаний. На основе полученных данных можно решать следующие задачи: 
1. Оценивать значения неизвестной вероятности случайного события. 
2. Определить неизвестные функции распределения. Пусть в результате n 
независимых наблюдений СВ X получены следующие ее значения: 
nx
x
x
...
,
2
1
. Требуется 

определить хотя бы приближенно неизвестную функцию распределения 
)
(x
F
 величины X  
или ее моменты (например, среднее, дисперсия).  

3. Определение неизвестных параметров распределения. (Часто исходя из некоторых 
соображений можно сделать заключение о типе функции распределения интересующей нас 
СВ. Тогда задача сводится к нахождению неизвестных параметров 
4. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух СВ 
X и Y. В результате наблюдений получаем следующие пары значений 
n
n y
x
y
x
y
x
,
...
,
;
,
2
2
1
1
. 
Требуется выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между X и Y.  

Пример 1. Для многих изделий одним из основных параметров, которым  характеризуется 
качество, является срок службы. Однако  службы изделия (скажем, электролампы), как 
правило, случаен,  и заранее определить его невозможно. Опыт показывает, что если процесс 
производства в известном смысле однороден, то сроки службы 
1
2
,
,...
ξ ξ
 соответственно 1
го, 2-го и т.д. изделий можно рассматривать как независимые одинаково распределенные 
величины. Интересующий нас параметр, определяющий срок службы, естественно 
отождествить с числом 
i
M
θ =
ξ . Одна из стандартных задач состоит в выяснении, чему 

равно θ . Для того чтобы определить это значение, берут n  готовых изделий и проверяют 
их. Пусть 
1
2
,
,...,
n
x x
x   — сроки службы этих проверенных изделий. Мы знаем, что 

. .
1

1
n

i п н
i
n
=

ξ →θ
∑
 при n → ∞ . Поэтому естественно ожидать, что число 

1

1
n

i

i

x
x
n
=
= ∑
 при 

достаточно большом n  окажется близким к θ  и позволит в какой-то мере ответить на 
поставленные вопросы. При этом очевидно, что мы заинтересованы в том, чтобы требуемое 
число наблюдений n  было по возможности наименьшим, а наша оценка числа θ  по 
возможности более точной (завышение параметра θ  как и его занижение, приведут к 
материальным потерям). ► 

Пример 2. Радиолокационное устройство в моменты времени 
1
2
, ,..., n
t t
t  зондирует 

заданную часть воздушного пространства с целью обнаружения там некоторого объекта. 
Обозначим 
1
2
,
,...,
n
x x
x  значения отраженных сигналов, принятых устройством. Если в 

заданной части пространства интересующий нас объект отсутствует, то значения 
ix  можно 

рассматривать как независимые случайные величины, распределенные так же, как некоторая 
случайная величина ξ, природа которой обусловлена характером различных помех. Если же 

в течение всего период наблюдений объект находился в поле зрения, то 
ix   будут наряду с 

помехами содержать «полезный» "сигнал a , и значения 
ix   будут распределены как 
a
ξ +
. 

Таким образом, если в первом случае наблюдения 
ix , имели функцию распределения 
( )
F x , 

то во втором случае их функция распределения будет иметь вид 
(
)
F x
a
−
. По выборке 

1
2
,
,...,
n
x x
x  требуется решить, какой из этих двух случаев имеет место, т. е. существует в 

заданном месте интересующий нас объект или нет. 

В этой задаче окажется возможным указать в известно смысле «оптимальное 

решающее правило», которое будет решать поставленную задачу с минимальными 
ошибками. Сформулированная задача может быть усложнена следующим образом. Сначала 
объект отсутствует, а затем, начиная с наблюдения неизвестным номером θ , появляется. 
Требуется по возможности более точно определить момент θ  появления объекта. Это так 
называемая «задача о разладке», имеющая и целый ряд других интерпретаций, важных для 
приложений. ► 

П ример 3. Некоторый эксперимент производится сначала 
1n , раз в условиях A и 

затем 
2n  раз в условиях B . Обозначим 

1
1
2
,
,...,
n
x x
x  и 

2
1
2
,
,...,
n
y y
y
 результаты этих 

экспериментов соответственно в условиях А и В. Спрашивается, сказывается ли изменение 
условий эксперимента на его результатах? Иными словами, если обозначить через 
A
P  

распределение 
1
, 1
ix
i
n
≤ ≤
 и через 
B
P  — распределение 
2
, 1
iy
i
n
≤ ≤
 , то вопрос состоит 

том, выполнено соотношение 
A
B
P
P
=
 или нет. 

Например, если нужно установить, влияет ли некоторый препарат на развитие, 

скажем, растений или животных, то параллельно ставятся две серии экспериментов (с 
препаратом и без), результаты которых необходимо уметь сравнивать. ► 

Часто возникают и более сложные задачи, когда аналогичный вопрос ставится для 

многих серий наблюдений, проведенных в различных условиях. Если результаты 
наблюдений зависят от условий, то бывает необходимым проверить тот или иной характер 
этой зависимости (так называемая задача о регрессии).  

Пример 2 и названные более сложные проблемы относятся к классу статистических 

задач с двумя и более выборками.  

Список примеров типичных статистических задач, разных по сложности и по своему 

существу, можно было бы продолжить. Однако общими для всех них будут следующие два 
обстоятельства: 

1. Перед нами не было бы никаких проблем, если бы распределения результатов 

наблюдений, которые фигурируют в задачах, были нам известны. 

2. В каждой из этих задач мы должны по результатам экспериментов принимать 

какое-то решение относительно распределения имеющихся наблюдений (отсюда и название 
«Теория статистических решений», упоминавшееся выше). 

В связи с этими двумя замечаниями принципиальное значение для всего дальнейшего 

и, в частности, для решения приведенных в качестве примеров задач, приобретает 
следующий факт. Оказывается, по результатам наблюдений 
1
2
,
,...,
n
x x
x  над некоторой 

величиной ξ можно при больших n  сколь угодно точно восстановить неизвестное 
распределение P  этой случайной величины. Аналогичное утверждение справедливо и для 
любого функционала 
( )
P
θ = θ
 от этого неизвестного распределения. Этот факт лежит в 

основе математической статистики.   

 

Вопросы для самопроверки 
1.  Математическая статистика и теория вероятностей. Что общего и в чем отличие этих 
дисциплин? 
2.  С решением каких задач связана математическая статистика? 
3.  Привести примеры задач математической статистики. 

 

Тема 1. Выборка. Эмпирическое распределение 

 
1.1. Основные понятия и соотношения 
 
Множество всех возможных значений случайной величины ξ, распределенной по 
закону F , называется генеральной совокупностью F . 
 
Множество 
1
2
{ ,
,
,
}
n
x x
x
…
 отдельных значений случайной величины ξ, полученных в 
серии 
из 
n  
независимых 
экспериментов 
(наблюдений), 
называется 
выборочной 

совокупностью или выборкой объема n  из генеральной совокупности. 
Выборка 
(1)
(2)
( )
{
,
,
,
}
n
x
x
x
…
, в которой элементы упорядочены по возрастанию, 

называется вариационным рядом. 
В вариационном ряду некоторые элементы могут совпадать. Совпадающие элементы 
объединяют в группы: 

(1)
(2)
(3)
(
3)
(
2)
(
1)
( )

1
1
2

,
,
....,
,
,
,
n
n
n
n

m
m

x
x
x
x
x
x
x
−
−
−

−


Отношение числа элементов в группе 
in  (
)
1,2,...
i
m
=
 к полному числу элементов 

выборки n  называется относительной частотой 
/
i
in n
ω =
. 

Совокупность пар чисел (
)
,
i
i
x n
, где 
,
1,
ix
i
m
=
 – наблюдаемые повторяющиеся в 

выборке значения, а 
in  - число этих значений в выборке, называется статистическим 

рядом абсолютных частот. Совокупность пар чисел (
)
,
i
i
x ω
, где 
/
i
in n
ω =
 называется 

статистическим рядом относительных частот. Совокупность пар чисел 

1
,

i

i
k

k
x

=



ω




∑
 

называется статистическим рядом накопленных частот. Статистические ряды 
отображают в виде таблицы: 

ix  
1x  
2x  
… 
m
x  

in  
1n  
2
n  
… 
m
n  

i
ω  
1
ω  
2
ω  
… 
m
ω  

∑
=

i

k
k
1
ω  

1
ω  
2
1
ω
ω +
 
… 
1 

 
Подобного вида статистический ряд используют для описания выборки из генеральной 
совокупности с дискретным распределением. В этом случае статистический ряд 
относительных частот приближенно оценивает ряд распределения дискретной случайной 
величины. 
Ломаная, отрезки которой соединяют точки (
)
i
ix ω
,
, называется полигоном частот. Для 
дискретной случайной величины полигон частот является оценкой многоугольника 
распределения. 

ω

 

 

3
ω
 

2
ω
 

1
ω  

 

                 
1
x       
2
x       
3
x                                            
m
x      x  

 
Рис. 1.1. Полигон частот 
 
Для описания выборки из совокупности с непрерывным распределением используют 
сгруппированные статистические ряды. Для этого интервал, в котором содержатся все 
элементы 
выборки, 
делится 
на 
m  
равных 
(или 
неравных) 
последовательных, 
непересекающихся интервалов 
m
m
x
x
x
x
x
x
~
~
,
,
~
~
,
~
~

1
2
1
1
0
÷
÷
÷
−
…
, и подсчитывают частоты 
in  - 
число элементов выборки, попавших в i -ый интервал. Число интервалов группирования 
определяют, 
например, 
по 
формуле 
Стерджесса: 
[
]
2
1
log
1
4 lg
m
n
n
= +
≈ +
⋅
. 

n
x
x
h

2

min
max
log
1+

−
=
, начало первого 
min
/ 2
нач
x
x
h
=
−
. В результате получаем следующий 

статистический ряд: 

ix  
1x  
2x  
… 
m
x  

in  
1n  
2n  
… 
m
n  

i
ω  
1
ω  
2
ω  
… 
m
ω  

iρ  
1
ρ  
2
ρ  
… 
m
ρ  

∑
i
ω  
1
ω  
2
1
ω
ω +
 
… 
1 

Здесь 
2

~
~

1
i
i
i
x
x
x
+
=
−
 - середины интервалов группирования, 

1
~
~
−
−
=
∆
=

i
i

i

i

i
i
x
x
x
ω
ω
ρ
 - плотность 

частоты. 
Пример 1.1. Ниже приведены результаты измерения роста 30 студентов: 

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155, 157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 

171, 169, 179, 165, 156, 189, 158, 171, 175, 173, 184, 172 

Решение. 

min
x
=153, 
max
x
=186 

59
.5
30
log
1
163
186

2
=
+

−
=
h
  по формуле Стерджеса. 

Примем  
6
=
h
, 
150
2
6
153
=
−
=
нач
x
. 

Исходные данные разбиваем на 6 интервалов: 

[150;156), [156,162), [162,168), [168,174),[174,180),[180,186).