Практикум по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению

Министерство науки и высшего образования  
Российской Федерации 

Томский государственный университет 
систем управления и радиоэлектроники 
 
 
 
 
 
 
 
А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова 
 
 
 
 
 
Практикум по теории функций  
комплексного переменного, 
теории рядов, операционному  
исчислению 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство ТУСУРа 
2018

УДК 517(076.5) 
ББК 22.161я73 
 
Е585 
 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, доцент школы базовой инженерной 
подготовки НИТПУ Е.Н. Некряч 

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры 
математического анализа и теории функций  
НИТГУ Л.В. Гензе 
 
 
 
 
 
Ельцов, Александр Александрович 
Е585  
Практикум по теории функций комплексного переменного, 
теории рядов, операционному исчислению : учеб. пособие / 
А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова.  Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та 
систем упр. и радиоэлектроники, 2018.  194 с. 
ISBN 978-5-86889-811-2 
Рассмотрены примеры решения задач по теории функций комплексного переменного, теории рядов, операционному исчислению, 
подобные задачам контрольных работ и индивидуальных заданий по 
этим разделам. Приведены задачи для самостоятельного решения.  
Для студентов очных, заочных факультетов, а также обучающихся 
по дистанционным технологиям. Может использоваться для самостоятельной работы. 
УДК 517(076.5) 
ББК  22.161я73 
 
 
 
 
ISBN 978-5-86889-811-2 
 Ельцов А.А., Ельцова Т.А., 2018 
 
 Томск. гос. ун-т систем упр.  
 
     и радиоэлектроники, 2018 

Оглавление 
 
Предисловие ..................................................................................... 4 
1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ  
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ...................................... 5 
1.1. Комплексные числа и действия над ними  ........................ 5 
1.2. Некоторые множества на комплексной плоскости ........ 15 
1.3. Отображения. Образы и прообразы линий ..................... 20 
1.4. Голоморфные (аналитические) функции  
комплексного переменного, геометрический смысл  
производной .............................................................................. 27 
1.5. Интеграл от функции комплексного переменного ......... 33 
1.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной  
областей. Интегральная формула Коши ................................ 36 
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ............................ 43 
2.1. Числовые ряды................................................................... 43 
2.2. Функциональные ряды ...................................................... 60 
2.3. Степенные ряды ................................................................. 71 
2.4. Ряды Тейлора и Лорана..................................................... 74 
2.5. Нули аналитических функций. Особые точки ................ 86 
2.6. Вычеты ............................................................................... 95 
2.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов ................. 99 
3. РЯДЫ ФУРЬЕ .......................................................................... 108 
4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ .............................. 126 
4.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус-  
и косинус-преобразования Фурье ......................................... 127 
4.2. Преобразование Лапласа ................................................ 139 
ОТВЕТЫ ....................................................................................... 157 
Литература ................................................................................... 193 
 

Предисловие 

Пособие представляет собой практикум по таким разделам 
курса математики, как введение в теорию функций комплексного переменного, теория числовых рядов в комплексной форме, 
теория функциональных рядов и их частных случаев, а именно 
степенных рядов (Тейлора и Лорана) и рядов Фурье, преобразование Фурье, интеграл Фурье, преобразование Лапласа (операционное исчисление). В начале каждого раздела приводятся 
краткие сведения по теории, затем рассматриваются примеры 
решения типовых задач, представлены задачи для самостоятельного решения, которых должно хватить для проведения  
занятий и для домашней работы. Пособие может быть использовано студентами различных форм обучения для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических 
занятий по указанным выше темам. Нумерация задач в каждом 
пункте своя. Номер 1.2.3 означает задачу номер 3 пункта 2 раздела 1. Ответы приведены в конце книги. При подготовке пособия использовались задачники [1–3]. 
 

1. Введение в теорию функций  
комплексного переменного 

1.1. Комплексные числа и действия над ними 

При решении алгебраических уравнений степени два и выше 
иногда приходится рассматривать конструкции вида 
1
a
b


 , 
где a  и b  – некоторые действительные числа. Например, подставляя формально конструкцию 1
2
1


  в не имеющее действительных 
корней 
уравнение 
2
2
5
0
x
x



, 
получаем 






2
1
2
1
2 1
2
1
5








. Действуя в полученном выра
жении с конструкцией 1
2
1


  как с двучленом по правилам 
алгебры, известным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем 



2
2
(1)
2 2
1
2
1
2
2 2
1
5
4
4 ( 1)
0

 
 




 
 


 

. 

Таким образом, конструкцию 1
2
1


  можно считать корнем 
новой 
природы 
(не 
действительным) 
уравнения 
2
2
5
0
x
x



. 
Пусть i  – некоторый формальный символ, x  и y  – действительные (вещественные) числа. Конструкции вида z
x
iy


 назовём комплексными числами, x  – действительной, а y  – мнимой частями комплексного числа z
x
iy


 и будем обозначать 
их соответственно 
Re ,
Im
x
z
y
z


. Число x
iy

 будем называть 
сопряжённым 
(комплексно 
сопряжённым) 
к 
числу 
z
x
iy


 и обозначать z . Два комплексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые 
части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:  

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
z
z
x
iy
x
iy
x
x
i y
y









; 

1 2
1
1
2
2
1 2
1 2
1 2
2 1
(
)(
)
(
)
(
)
z z
x
iy
x
iy
x x
y y
i x y
x y







. 

Заметим, что 
2Re
2
z
z
z
x



, 
2Im
2
z
z
z i
y i


 
 , сле
довательно, 
Re
2
z
z
x
z



, 
Im
2
z
z
y
z
i



. 

Если действительные числа отождествить с комплексными 
числами вида 
0
x
i

 , то складывая и умножая числа 
0
x
i

  и 
0
y
i

  по приведённым выше формулам, получаем  
(
0
)
(
0
)
(
)
(0
0)
(
)
0
x
i
y
i
x
y
i
x
y
i







 




 , 
(
0
)(
0
)
(
0 0)
(
0
0)
0
x
i
y
i
xy
i x
y
xy
i





 






 . 
Как видим, операции сложения и умножения комплексных чисел вида 
0
x
i

  не выводят за множество чисел этого вида (то 
есть получаются числа того же вида). Поэтому можно заключить, что операции сложения и умножения совпадают с обычными операциями над действительными числами и считать 
комплексные числа расширением множества действительных 
чисел. Применив введённые выше операции над комплексными 
числами, для комплексного числа 
0
1
i
i

   получаем  
2
(0
1)(0
1)
(0 0
1 1)
(0 1 1 0)
1
0
1
i
i
i
i
i

 
 


 

  
  
   . 
Заметим, что операции сложения и умножения комплексных 
чисел производятся как соответствующие операции над двучленами с раскрытием скобок, приведением подобных и учётом 
того, что 
1
i i   . Слагаемые вида 0  и 0 i  обычно опускаются. 
Обратные операции определяются однозначно и задаются 
формулами: 

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
z
z
x
iy
x
iy
x
x
i y
y









; 

1
1
1
1
1
2
2
1 2
1 2
2 1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)

z
x
iy
x
iy
x
iy
x x
y y
i x y
x y
z
x
iy
x
iy
x
iy
x
y














. 

Каждому комплексному числу z
x
iy


 сопоставим точку 

( , )
x y  плоскости 
2
R . Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками 
плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с 
операцией сложения радиусов-векторов точек ( , )
x y . Для операции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.  

Модулем z  комплексного числа z
x
iy


 назовём длину 

радиуса-вектора точки ( , )
x y , то есть число 
2
2
z
x
y


. Заме
тим, что 
2
2
2
zz
x
y
z



. Далее,  

2
2

2
2
2
2
x
y
z
x
iy
x
y
i

x
y
x
y

















. 

Числа 

2
2
x

x
y

 и 

2
2
y

x
y

 являются соответственно коси
нусом и синусом угла   между радиусом-вектором точки ( , )
x y  

и осью OX . Поэтому можем записать 
(cos
sin )
z
z
i

 
 . Такая запись числа z  называется тригонометрической формой 
комплексного числа. Угол   при этом называется аргументом 
числа z . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа 
z  выбирают значение, называемое главным, и обозначают его 
arg z .  
Совмещая алгебраическую и тригонометрическую формы 
комплексного числа z , можем записать 

Re
Im
(cos
sin )
cos
sin
z
x
iy
z
i
z
z
i
z
i z





 
 
 
 . 

Следовательно, 
Re
cos
x
z
z


, 
Im
sin
y
z
z


. Разделив 
мнимую 
часть 
на 
действительную, 
получаем 

sin
Im
tg
Re
cos

z
y
z
x
z
z







, или, выписывая крайние части соот
ношения, tg
y
x
 
. Если 
Re
0
x
z


, то есть комплексное число 

z  лежит в правой полуплоскости (в первой или четвёртой чет
верти), то 
arctg y

x
 
 Если же 
Re
0
x
z


, то есть комплексное 

число z  лежит в левой полуплоскости (во второй или третьей 

четверти), то 
arctg y

x
 
 . Отметим частные случаи. Если 

число z  действительное и положительное, то есть 
Re
0
x
z


, 
Im
0
y
z


, то 
0
 
; если число z  действительное и отрицательное, то есть 
Re
0
x
z


, 
Im
0
y
z


, то    . Если число 

z  мнимое, то есть 
Re
0
x
z


, то в случае 
Im
0
y
z


 
2

 
, 

а в случае 
Im
0
y
z


 можно взять либо 
3
2

 
, либо 
2

  
. 

Подводя итог вышесказанному, заметим, что при выборе 
главного значения аргумента из промежутка [0, 2 )
  его находят 
по формулам  

arctg
,
если 
0,
0,

,
если 
0,
0,
2

arg
arctg
,
если 
0,

3 ,
если 
0,
0,
2

2
arctg
, если 
0,
0.

y
x
y
x

x
y

y
z
x
x

x
y

y
x
y
x





 






 









  




 

Удобным также является выбор главного значения аргумента 

из промежутков [
, )
   и 
3
,
2
2









. Формулы для нахождения 

главного значения аргумента при выборе его из промежутков 

[
, )
   и 
3
,
2
2








 предлагается написать самостоятельно. Все 

значения 
аргумента 
обозначают 
Arg z . 
Отметим, 
что 
Arg
arg
2
z
z
k


 . 

Полагая 
cos
sin
ie
i
 
 
 , можем записать 
i
z
z e 

. Эта запись числа z  называется показательной формой записи комплексного числа. Так как 
cos(
)
sin(
)
cos
sin
i
e
i
i
 
 
 

 , 

то, складывая и вычитая с 
ie  , получаем формулы Эйлера:  

cos
, sin
.
2
2

i
i
i
i
e
e
e
e
i


 

 


 
 
 

Далее,  

1
2
1
1
2
2
(cos
sin
)(cos
sin
)
i
i
e
e
i
i

 
 

 

  

1
2
(
)
1
2
1
2
cos(
)
sin(
)
.
i
i
e  

  

  

 
Поэтому  

1 2
1
1
1
2
2
2
(cos
sin
)
(cos
sin
)
z z
z
i
z
i

 

 

  



1
2
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
cos(
)
sin(
)
.
i
z
z
i
z
z e  


  

  


 
Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично можно получить, что при делении комплексных 
чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.  
Как следствие этих результатов, получаем формулы возведения комплексного числа в степень n и извлечения корня n-й 
степени из комплексного числа, называемые формулами Муавра: 

(cos
sin
)
n
n
n
in
z
z
e
z
n
i
n



 
 ; 

2
2
cos
sin
,
0,1,...,
1.
n
n
k
k
z
z
i
k
n
n
n
 

 











 

1.1.1. 
Найти 
1
1
2
1
2
1 2
2
,
,
, z
z
z
z
z
z z
z


, 
если 
1
2
3
z
i


, 

2
1
4
z
i
 
.  

Имеем 

 







1
2
2
3
1
4
2
1
3
4
3
z
z
i
i
i
i








 

 ; 


 







1
2
2
3
1
4
2
1
3
4
1
7
z
z
i
i
i
i








 
 
; 












1 2
2
3
1
4
2 1
3
4
2
4
1 3
14
5
z z
i
i
i
i
i
i
i









 


; 









1

2

2
3
1
4
2
3
10
11
10
11
1
4
1
4
1
4
17
17
17

i
i
z
i
i
i
z
i
i
i









 




. 

1.1.2. Найти Re z , Im z , z , arg z , если а) 
2
z
i

 ;  

б) 
2
2
z
i
  
; в) 
1
3
z
i
  
; г) 
3
z
i

 ; д) 
cos
sin
7
7
i




. 

а) Для числа 
2
z
i

  можем написать 


Re 2
2
i


, 



Im 2
1
i

 , 
2
2
2
2
1
5
i




. Далее, так как действительная и мнимая части данного комплексного числа положительны, 
то на комплексной плоскости число 
2
z
i

  находится в первой 

четверти, следовательно, 


1
arg 2
arctg 2
i


.  

б) 
Для 
числа 
2
2
z
i
  
 
имеем 


Re
2
2
2
i
 
  , 



Im
2
2
2
i
 

, 


2
2
2
2
2
2
8
2 2
i
 





. Далее, так 

как действительная часть данного комплексного числа отрицательна, а мнимая часть положительна, то на комплексной плоскости число 
2
2
z
i
  
 находится во второй четверти, поэтому 





2
3
arg
2
2
arctg
arctg
1
2
4
4
i




 
  
  

  






. 

в) 
Для 
числа 
1
3
z
i
  
 
имеем 


Re
1
3
1
i
 
  , 



Im
1
3
3
i
 
 
, 





2
2
1
3
1
3
4
2
i
 


 


. Да
лее, так как действительная и мнимая части данного комплексного числа отрицательны, то на комплексной плоскости число 

1
3
z
i
  
 находится в третьей четверти, следовательно, 




3
4
arg
1
3
arctg
arctg 3
1
3
3
i





 
  
  
  








. 

г) 
Для 
числа 
3
z
i

  
имеем 


Re
3
3
i


, 



Im
3
1
i

  , 





2
2
3
3
1
2
i


 

. Далее, так как 

действительная часть данного комплексного числа положительна, а мнимая часть отрицательна, то на комплексной плоскости 
число 
3
z
i

  находится в четвёртой четверти, следовательно, 




1
11
arg
3
2
arctg
2
6
6
3
i




  
  

. Заметим, что если вы