Математические основы теории систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ  
И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 
ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО) 
 
 
 
 

 
 
 
А. Г. Карпов 

 
 
 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  

ТЕОРИИ СИСТЕМ 

 
 
 
 
 
 
Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 

 
Томск 
2016 
 

УДК 519.876(075.8) 

ББК 
32.817в641.я73 

 
К 265 

 
Рецензенты: 

В. М. Зюзьков, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., профессор кафедры  
компьютерных систем в управлении и проектировании ТУСУР, почетный  
работник высшего профессионального образования Российской Федерации; 
Г. Н. Решетникова, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной  
математики Национального исследовательского Томского  
государственного университета. 
 
 
Карпов А. Г. 
К 265 
Математические основы теории систем : учебное пособие / 

А. Г. Карпов. – Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. – 230 с. 

 
В учебном пособии даны общие понятия, термины и определения теории 
систем и системного анализа. Рассмотрены математическое описание и методы 
исследования различных классов систем: дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных. Приведено описание систем как в виде уравнений высокого 
порядка, так и в форме уравнений состояния в матричной форме. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов, бакалавров и магистров «Управление в технических 
системах» и «Информатика и вычислительная техника», а также может быть 
использовано студентами других направлений и специальностей, аспирантами 
и инженерами. 

 
 
 
© Карпов А. Г., 2016 
© Оформление. 
ФДО, ТУСУР, 2016

Содержание 
Предисловие ......................................................................................................... 7 
Введение ................................................................................................................ 8 
1 Общие понятия о системах и их моделях .................................................. 10 
1.1 Предварительные замечания .................................................................... 10 
1.1.1 Системность человеческой практики,   
познавательных процессов и природы ......................................... 10 
1.1.2 Общие свойства систем ................................................................... 11 
1.2 Модели и моделирование ......................................................................... 13 
1.2.1 Понятие модели и его развитие ...................................................... 13 
1.2.2 Типы моделей ................................................................................... 14 
1.2.3 Свойства моделей............................................................................. 16 
1.3 Системы, их общее описание и классификация .................................... 19 
1.3.1 Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» .............. 19 
1.3.2 Модель состава системы ................................................................. 22 
1.3.3 Модель структуры системы. Второе определение 
системы ............................................................................................ 22 
1.3.4 Динамические модели системы ...................................................... 23 
1.3.5 Общая математическая модель динамической системы ............. 24 
1.3.6 Классификация систем .................................................................... 30 
2 Автоматное описание систем. Теория конечных автоматов ................ 34 
2.1 Основные понятия. Способы задания автоматов .................................. 34 
2.1.1 Определение абстрактного автомата ............................................. 34 
2.1.2 Задание автоматов ............................................................................ 38 
2.2 Виды автоматов и их свойства ................................................................ 41 
2.2.1 Автономные автоматы ..................................................................... 41 
2.2.2 Автоматы синхронные и асинхронные .......................................... 42 
2.2.3 Автоматы Мили и автоматы Мура ................................................. 43 
2.2.4 Автоматы первого и второго рода.................................................. 47 
2.2.5 Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов ......... 51 
2.2.6 Минимизация автоматов ................................................................. 52 
2.2.7 Частичные автоматы и их свойства ............................................... 54 
2.3 Распознавание множеств автоматами ..................................................... 60 
2.3.1 Понятие события и постановка задачи   
представления событий автоматами ............................................. 60 
2.3.2 Регулярные события и алгебра Клини ........................................... 63 

2.3.3 Синтез автоматов (абстрактный уровень) ..................................... 70 
2.3.4 Анализ автоматов (абстрактный уровень) .................................... 74 
2.4 Алгебра абстрактных автоматов ............................................................. 79 
2.4.1 Теоретико-множественные операции ............................................ 79 
2.4.2 Алгебраические операции ............................................................... 83 
2.5 Структурное исследование автоматов .................................................. 101 
2.5.1 Комбинационные логические автоматы ...................................... 101 
2.5.2 Постановка задач синтеза и анализа  
на структурном уровне ................................................................. 102 
2.5.3 Элементный базис .......................................................................... 103 
2.5.4 Автоматные сети ............................................................................ 105 
2.5.5 Анализ комбинационных автоматов ............................................ 110 
2.5.6 Синтез комбинационных автоматов ............................................ 111 
2.5.7 Кодирование состояний ................................................................ 116 
2.5.8 Программная реализация комбинационных автоматов ............. 118 
3 Системы с непрерывными во времени переменными ......................... 124 
3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем ............................... 124 
3.1.1 Описание систем дифференциальными уравнениями ............... 124 
3.1.2 Линеаризация.................................................................................. 125 
3.1.3 Общие свойства линейных дифференциальных 
уравнений ....................................................................................... 127 
3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений 
с постоянными коэффициентами .......................................................... 128 
3.2.1 Однородные уравнения ................................................................. 129 
3.2.2 Неоднородные уравнения ............................................................. 131 
3.2.3 Вычисление постоянных интегрирования .................................. 137 
3.3 Методы преобразований ........................................................................ 138 
3.3.1 Интегральное преобразование Фурье .......................................... 138 
3.3.2 Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, 
Хевисайда ...................................................................................... 140 
3.3.3 Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения ...... 149 
4 Операторное описание дискретных по времени систем ...................... 153 
4.1 Прямой и обратный разностные операторы ......................................... 153 
4.1.1 Оператор сдвига и разностный оператор .................................... 153 
4.1.2 Обратный разностный оператор ................................................... 155 
4.2 Разностные линейные уравнения динамики ........................................ 157 

4.2.1 Общие свойства разностных уравнений ...................................... 157 
4.2.2 Решение однородных разностных уравнений ............................. 158 
4.2.3 Решение неоднородных разностных уравнений ......................... 161 
4.3 Методы преобразований ........................................................................ 167 
4.3.1 Дискретное преобразование Лапласа .......................................... 167 
4.3.2 z-преобразование ............................................................................ 169 
4.3.3 Разностные уравнения и z-преобразование ................................. 176 
5 Матрицы и линейные пространства ........................................................ 180 
5.1 Основные типы матриц и операции над ними ..................................... 180 
5.1.1 Общие понятия ............................................................................... 180 
5.1.2 Простейшие операции ................................................................... 181 
5.1.3 Определители, миноры и алгебраические дополнения ............. 182 
5.1.4 Присоединенная и обратная матрицы ......................................... 184 
5.1.5 Векторы и их свойства .................................................................. 186 
5.2 Собственные значения и собственные векторы .................................. 188 
5.2.1 Характеристическое уравнение .................................................... 188 
5.2.2 Модальная матрица ........................................................................ 191 
5.2.3 Симметрическая матрица .............................................................. 194 
5.3 Линейные преобразования ..................................................................... 195 
5.3.1 Элементарные действия над матрицами ..................................... 195 
5.3.2 Эквивалентные преобразования ................................................... 196 
5.3.3 Диагонализация матриц ................................................................ 197 
5.3.4 Приведение к канонической форме Жордана ............................. 199 
5.4 Матричные функции ............................................................................... 202 
5.4.1 Матричные ряды ............................................................................ 202 
5.4.2 Функции от матриц ........................................................................ 203 
5.4.3 Теорема Кэли – Гамильтона ......................................................... 205 
5.4.4 Теорема Сильвестра ....................................................................... 208 
6 Векторно-матричные дифференциальные уравнения ......................... 212 
6.1 Уравнения состояния .............................................................................. 212 
6.1.1 Каноническая форма фазовой переменной ................................. 212 
6.1.2 Каноническая форма ...................................................................... 214 
6.2 Решение уравнений стационарных систем........................................... 216 
6.2.1 Переходная матрица и методы ее вычисления ........................... 216 
6.2.2 Общее решение неоднородных уравнений ................................. 219 
6.3 Решение уравнений нестационарных систем ....................................... 220 

6.3.1 Переходная нестационарная матрица .......................................... 220 
6.3.2 Общее решение нестационарных уравнений .............................. 224 
Заключение ....................................................................................................... 226 
Литература........................................................................................................ 227 
Глоссарий .......................................................................................................... 228 
 

 
 

Предисловие 

Данное учебное пособие составлено на основе существенно переработанных, дополненных и исправленных учебных пособий [1] и [2]. Также при написании пособия был учтен многолетний опыт автора по преподаванию одноименного курса в Томском государственном университете систем управления 
и радиоэлектроники. 
Курс «Математические основы теории систем» предваряет изучение таких дисциплин, как «Теория управления», «Цифровые системы автоматического управления», «Технические средства автоматизации и управления», «Моделирование систем управления», и некоторых других. В этом курсе продолжается углубленное изучение тех разделов математики, которые непосредственно 
связаны с описанием и исследованием динамических систем. 
Ввиду ограниченности объема учебного пособия неизбежно и сознательно были исключены некоторые чрезвычайно важные темы, такие как стохастика (этот недостаток частично ликвидирован в книге [3] при изучении теории автоматического управления) и описание цифровых систем дискретными уравнениями состояния (соответствующие разделы можно изучить по [4]). 

Введение 

В главе 1 даются общие определения, термины и понятия теории систем 
и системного анализа. Подробное исследование этой темы проведено в [5]. 
Также в главе 1 приведена классификация моделей и систем и дается общая математическая модель динамической системы. Важным моментом этой модели 
является описание входных, выходных и внутренних переменных системы. Если упомянутые переменные берутся из конечных множеств возможных значений, описание соответствующих систем осуществляется в рамках теории конечных автоматов. Описание систем в рамках этой теории приведено в главе 2. 
Если переменные в системе зависят от моментов времени, принадлежащих континуальному (непрерывному) множеству, система может быть описана 
дифференциальными уравнениями. Общие свойства, виды и методы решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в главе 3. Здесь изложены как классические методы, так и методы интегральных преобразований. 
Если переменные в системе зависят от дискретных моментов времени, 
то получаем описание систем в виде разностных уравнений (импульсные или 
дискретные системы). В главе 4 приведены общие свойства и методы решения 
таких уравнений (как классические, так и методы преобразования). 
Альтернативной формой представления информации о системах является 
матричная форма. При такой форме представления информации исследование 
свойств систем сводится к выяснению свойств матриц. Основные виды, свойства и методы преобразования векторов и матриц приведены в главе 5. 
Описание систем в пространстве состояний векторно-матричными дифференциальными уравнениями изложено в главе 6. Здесь приведены методы 
и формы решения как стационарных, так и нестационарных обыкновенных 
дифференциальных векторно-матричных уравнений состояния. 

Соглашения, принятые в учебном пособии 
Для улучшения восприятия материала в данном пособии используются 
следующие пиктограммы и специальное выделение важной информации. 
 ·······························································  
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие. 
 ·······························································  

·······························································  
Эта пиктограмма означает теорему. 
 ·······························································  
 ·····························································  
Этот блок означает задание. 
 ·····························································  
 ·······························································  
Этот блок означает «Внимание!». Здесь выделена важная 
информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может 
поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых 
ошибок. 
 ·······························································  
 ·······························································  
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные 
сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь 
читателю лучше понять основные идеи. 
 ·······························································  
 ·······························································  
Эта пиктограмма означает цитату. 
 ·······························································  
 ·······························································  
Контрольные вопросы по главе  
 ·······························································  
 

1 Общие понятия о системах и их моделях 

1.1 Предварительные замечания 
Прежде чем обсуждать непосредственно математические основы теории 
систем, следует определить понятия системы и системности. 
О системах, системности, системном подходе, системном анализе, теории 
систем и т. п. пишут и говорят часто. Многое из того, что вчера называли единым, комплексным, целостным и т. п., сегодня называют модным теперь словечком «системный». Но за этой модой, и это подчеркивают не только ученые, 
но и инженеры, педагоги, организаторы производства, деятели культуры 
и другие, стоит широкое осознание системности как одной из важных характеристик окружающего нас мира и осмысления ее как особого измерения этого 
мира. 
Понимание системности мира пришло не сразу и с трудом. Системные 
представления возникли по объективным причинам и развиваются под действием объективных факторов. 

1.1.1 Системность человеческой практики,  
познавательных процессов и природы 
Практическая деятельность человека, то есть его активное и целенаправленное воздействие на окружающую среду, является системным. Позже рассмотрим все признаки системности, а сейчас отметим только самое необходимое и очевидное: 

• структурированность системы; 

• взаимосвязанность составляющих ее частей; 

• подчиненность организации всей системы определенной цели. 
По отношению к человеческой деятельности эти признаки очевидны: 

• всякое осознанное действие преследует определенную цель; 

• во всяком действии можно выделить составные части; 

• эти составные части выполняются не произвольно, а в определенном 
порядке. 
Следует учитывать, что роль системных представлений в практике постоянно растет.