Математика. Математический анализ: курс лекций

Глава I
Введение в математический анализ
При записи определений, теорем и различных формул мы будем использовать логические символы: ∀ для всех, для каждого, ∃ существует,
∃!  существует единственный, ∨ или, ∧ и, ⇒ влечет, ⇔ тогда
и только тогда.
Ÿ1.
Множества. Операции над множествами.
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых
понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов
(предметов), объединенных по какому-либо признаку. Один из создателей теории множеств немецкий математик Георг Кантор так определяет
множество  "Множество есть многое, мыслимое как единое целое".
Обозначают множества заглавными латинскими буквами: A, B, X, Y,
Z, . . . Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Условие, что объект a принадлежит множеству A записывают
a ∈A. Если объект a не является элементом множества A, то записывают a /
∈A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют
пустым и обозначают ∅.
Задать множество можно различными способами. Конечное множество можно задать перечислением элементов. Можно задать множество
указанием характеристического свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству.
Обозначают такое множество A = {x|P(x)}, где P(x)  характеристиче1

ское свойство элементов множества.
Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A (B ⊂A).
Если A ⊂B и B ⊂A, то множества A и B равны, то есть A = B. Самое
большое множество, рассматриваемое в задаче, называют универсальным и обозначают U.
Рассмотрим операции над множествами:
Пусть даны два множества A и B.
1) Объединение множеств A и B  это множество элементов,
каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A или B
(Рис. 1):
A ∪B = {x | x ∈A ∨x ∈B};
2) Пересечение множеств A и B  это множество элементов,
каждый из которых принадлежит и множеству A и множеству B (Рис. 2):
A ∩B = {x | x ∈A ∧x ∈B};
3) Разность множеств A и B  это множество элементов, принадлежащих множеству A и не принадлежащих множеству B (Рис. 3):
A \ B = {x | x ∈A ∧x /
∈B};
4) Дополнение множества A  это множество элементов универсального множества, не принадлежащих множеству A:
A = {x | x ∈U ∧x /
∈A};
5) Декартово произведение множеств A и B  это множество упорядоченных пар, первые компоненты которых принадлежат множеству
A, а вторые  множеству B:
A × B = {(x, y)| x ∈A ∧y ∈B} ;
Можно определить декартово произведение любого конечного числа
множеств, а именно,
A1 × A2 × . . . × An = {(x1, x2, . . . , xn)|x1 ∈A1, x2 ∈A2, . . . , xn ∈An}.
Декартово произведение n одинаковых множеств A × A × . . . × A
|
{z
}
n сомножителей
=
{(x1, x2, . . . , xn)|x1, x2, . . . , xn ∈A} будем обозначать A(n).
2

'$
'$
'$
'$
'$
'$
A ∪B
A
B

























A ∩B
A
B



















A \ B
A
B
Рис. 3
&%
&%
Рис. 1
&%
&%
Рис. 2
&%
&%
Пусть даны два множества A и B. Если каждому элементу a ∈A поставлен в соответствие единственный элемент b ∈B и каждый элемент
b ∈B соответствует единственному элементу a ∈A, то говорят, что
между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие. Если между элементами двух множеств можно каким-либо
способом установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что
эти множества имеют одинаковую мощность. (Понятие мощности есть
обобщение понятия числа элементов множества, если множество бесконечно).
Ÿ2.
Числовые множества. Модуль числа.
При изучении математического анализа мы будем рассматривать множество действительных чисел R, его подмножества и декартово произведение Rn = R × R × . . . × R  множество упорядоченных наборов
(x1, x2, . . . , xn), где все xi элементы множества R. Это произведенение
обозначают также R(n).
Геометрически множество действительных чисел R можно изобразить
точками на прямой. Причем между множеством действительных чисел и
множеством точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие: действительному числу x ∈R поставим в соответствие точку
на прямой с координатой x.
Во множестве действительных чисел введены операции сложения и
умножения чисел. Относительно этих операций множество действительных чисел образует линейное пространство размерности 1.
Множество действительных чисел дополняют двумя элементами −∞
и +∞, называемыми минус бесконечность и плюс бесконечность. Множество R, дополненное элементами −∞и +∞, называют расширен3

ным множеством действительных чисел и обозначают R. Иногда вместо −∞и +∞будем говорить просто ∞.
С символами ±∞нельзя обращаться как с обычными числами. Операции с этим символами выполняются по следующим правилам:
1) a + (±∞) = ±∞;
10) (+∞) + (+∞) = +∞;
2) a −(±∞) = ∓∞;
11) (−∞) + (−∞) = −∞;
3) a · (±∞) = ±∞, если a > 0;
12) (+∞) · (+∞) = +∞;
4) a · (±∞) = ∓∞, если a < 0;
13) (+∞) · (−∞) = −∞;
5) a
0 = ±∞, если a ̸= 0 ;
14) (−∞) · (−∞) = +∞;
6) a(+∞) = +∞, если a > 1;
15) ±∞
0
= ±∞;
7) a(−∞) = 0, если a > 1;
16)
a
±∞= 0;
8) a(+∞) = 0, если 0 < a < 1;
17) (+∞)(+∞) = +∞;
9) a(−∞) = +∞, если 0 < a < 1;
18) (+∞)(−∞) = 0.
Кроме того, на множестве действительных чисел R введено отношение порядка "больше или равно"(⩾), которое обладает свойствами:
1) x ⩾x для любого элемента x ∈R (свойство рефлексивности);
2) если x ⩾y и y ⩾z, то x ⩾z (свойство транзитивности);
3) если x ⩾y и y ⩾x, то x = y;
4) для любых элементов x, y ∈R выполняется одно из отношений
x ⩾y или y ⩾x;
5) если x ⩾y, то x + z ⩾y + z для любого элемента z ∈R;
6) если x ⩾0 и y ⩾0, то xy ⩾0.
Кроме этого отношения порядка будем использовать также отношения
порядка "меньше или равно"(⩽), "меньше"(<) и "больше"(>).
В курсе анализа будем использовать следующие подмножества множества действительных чисел R:
множество натуральных чисел N = {1; 2; 3; . . .};
множество целых неотрицательных чисел N0 = {0; 1; 2; 3; . . .};
множество целых чисел Z = {0; ±1; ±2; . . .};
множество рациональных чисел Q = { m
n | m ∈Z, n ∈N};
отрезок
[a; b]

множество
точек
x,
удовлетворяющих
условию
a ⩽x ⩽b;
4

интервал (a; b)  множество точек x, удовлетворяющих условию
a < x < b;
полуинтервалы [a; b) и (a; b]  множества точек x, удовлетворяющих
условиям a ⩽x < b и a < x ⩽b соответственно;
лучи (a; +∞), (−∞; b), [a; +∞), (−∞; b]  множества точек x, удовлетворяющих условиям x > a, x < b, x ⩾a, x ⩽b соответственно.
В дальнейшем все перечисленные множества (кроме N, N0, Z, Q, R)
будем объединять термином промежуток.
В курсе анализа декартово произведение R × R
=
R(2) будем
расматривать как множество точек плоскости, а декартово произведение
R × R × R = R(3)  как множество точек пространства.
Множество действительных чисел обладает свойством плотности:
между любыми двумя действительными числами расположено еще хотя бы одно действительное число, а, значит, бесконечно много действительных чисел. Действительно, если a и b  различные числа, причем
положим для определенности a < b, то a < a + b
2
< b.
Используя свойство плотности множества действительных чисел,
можно доказать важное для изложения курса анализа утверждение
(принцип Кантора1), который называют также леммой о вложенных отрезках.
Лемма 2.1. (принцип Кантора) Для всякой последовательности
вложенных друг в друга отрезков, длины которых, убывая, стремятся
к нулю, существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Если имеем последовательность [a1; b1] ⊃[a2; b2] ⊃[a3; b3] ⊃. . . ⊃
[an; bn] ⊃. . . вложенных друг в друга отрезков, причем bn −an →0
n=1
[an; bn] не пусто, то есть
при n →∞, то пересечение всех отрезков
∞
T
1Георг Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) (1845-1918)  немецкий математик. Кантор заложил основы современной математики. Он наиболее известен, как создатель теории множеств. Кантор ввел понятие взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного
множеств, доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных. Он определил понятия кардинальных и
порядковых чисел и их арифметику.
5

n=1
[an; bn].
Во многих определениях и теоремах курса математического анализа
существует точка c ∈
∞
T
используется понятие модуля.
Модулем числа a называется само число a, если оно неотрицательно, и число, противоположное a, если a отрицательно, то есть
|a| =
(
a, если a ⩾0,
−a, если a < 0.
Сформулируем основные свойства модуля:
1) |a| ⩾a, |a| ⩾−a;
4) |a −b| ⩾||a| −|b||;
2) |a| = max{a, −a};
5) |a · b| = |a| · |b|;
b
|b| (b ̸= 0);
3) |a + b| ⩽|a| + |b|;
6)


a


 = |a|
Геометрический смысл модуля: модуль числа a
(|a|)  это расстояние
на числовой прямой от точки 0 до точки a. Тогда при a > 0 неравенство
|x| < a эквивалентно двойному неравенству −a < x < a и задает на
прямой интервал (−a; a), а неравенство |x| > a задает объединение интервалов (−∞; −a) ∪(a; +∞).
Числовое множество A называется ограниченным сверху, если существует число M такое, что a ⩽M для всех a ∈A. Если существует
число m такое, что a ⩾m для всех a ∈A, то множество A называется
ограниченным снизу.
Число M называют верхней, а число m  нижней границей множества. Ограниченное сверху и снизу множество называют ограниченным. В этом случае существуют такие числа M и m, что для всех a ∈A
выполняется неравенство m ⩽a ⩽M. Условие ограниченности множества часто записывают в виде неравенства с модулем |a| ⩽M, эквивалентного предыдущему неравенству.
Числа M и m определяются неоднозначно. Если множество ограничено, то оно имеет много верхних и нижних границ. Наименьшая из
верхних границ называется точной верхней границей и обозначается
sup A (читается "супремум"), а наибольшая из нижних границ называется точной нижней границей и обозначается inf A (читается "ин6

фимум"). Итак, M = sup A, если для всех элементов a ∈A выполняется
неравенство a ⩽M и для любого сколь угодно малого положительного
числа ε найдется такой элемент a′ ∈A, что a′ > M −ε. Аналогично,
m = inf A, если для всех элементов a ∈A выполняется неравенство
a ⩾m и для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такой элемент a′′ ∈A, что a′′ < m + ε.
Справедлива следующее утверждение
Теорема 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет
точную верхнюю границу. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.
Если множество A неограничено сверху, то для любого числа M найдется элемент a0 ∈A такой, что a0 > M. В этом случае полагают, что
sup A = +∞. Аналогично, для неограниченного снизу множества полагают, что inf A = −∞.
Ÿ3.
Понятие окрестности точки.
При определении многих понятий математического анализа используется понятие окрестности. Определим окрестность в пространствах различной размерности.
Окрестностью точки a ∈R(1) радиуса r называется множество
точек координатной прямой, расстояние от которых до точки a не
превосходит r. Обозначается окрестность Ur(a). Таким образом,
Ur(a) = {x ∈R(1) | ρ(x, a) < r}.
Используя понятие расстояния и геометрический смысл модуля, окрестность можно определить как множество точек координатной прямой,
удовлетворяющих неравенству |x −a| < r. Это множество точек задает
на прямой интервал
Ur(a) = (a −r; a + r).
7

Все точки окрестности Ur(a) кроме точки a образуют проколотую
окрестность
˙
Ur(a):
˙
Ur(a) = Ur(a) \ {a}.
Проколотая окрестность  это множество точек прямой, удовлетворяющих неравенству 0 < ρ(x, a) < r. Она задается объединением интервалов
˙
Ur(a) = (a −r; a) ∪(a; a + r).
На прямой можно рассматривать не всю окрестность точки a, а ее правую или левую половины.
Правая полуокрестность U +
r (a) точки a ∈R(1) радиуса r  это
множество точек прямой, удовлетворяющих условию
{x ∈R(1) | a < x < a + r}, то есть
U +
r (a) = {x ∈R(1) | a < x < a + r} = (a; a + r).
Левая полуокрестность U −
r (a) точки a ∈R(1) радиуса r  это множество точек прямой, удовлетворяющих условию
{x ∈R(1) | a −r < x < a}, то есть
U −
r (a) = {x ∈R(1) | a −r < x < a} = (a −r; a).
Окрестностью бесконечно удаленной точки UE(∞) радиуса E называется множество точек прямой, лежащих вне отрезка [−E; E],
то есть
UE(∞) = {x ∈R(1) | |x| > E}.
В пространстве R(n), где n > 1 будем рассматривать два типа окрестностей: шар и параллелепипед.
Шаровой окрестностью точки a ∈R(n) радиуса r называется
множество точек пространства R(n), расстояние от которых до точки a не превосходит r.
Если a = (a1; a2; . . . ; an), x = (x1; x2; . . . ; xn) ∈R(n), то
Ur(a) = {x ∈R(n) | ρ(x, a) < r}
8

k=1
(xk −ak)2 < r2

.
или
Ur(a) =

x ∈R(n) |
n
P
Окрестностьюпараллелепипедом точки a ∈R(n) называется
множество точек пространства R(n), каждая координата xk которой удалена от соответствующей координаты точки a на расстояние
меньше, чем rk (k = 1, 2, . . . , n).
Если a = (a1; a2; . . . ; an), x = (x1; x2; . . . ; xn) ∈R(n), то
Π(a) =
n
x ∈R(n) | ρ(xk, ak) < rk, ∀k = 1, n
o
.
На плоскости (пространство R(2)) окрестность первого типа  это
круг, а окрестность второго типа  прямоугольник, в пространстве R(3)
окрестность первого типа  это шар, а окрестность второго типа  параллелепипед.
Окрестностью бесконечно удаленной точки UE(∞) радиуса E
называется множество точек пространства R(n), лежащих вне шара
радиуса E, то есть
UE(∞) = {x ∈R(n) | |x| > E}
k=1
(xk −ak)2 > E2}.
или
Ur(a) = {x ∈R(n) |
n
P
Введем еще несколько понятий, необходимых для дальнейшего изложения материала.
Точка a ∈X называется внутренней точкой множества X, если
найдется окрестность этой точки, целиком лежащая в X, и точка
a ∈X называется граничной точкой множества X, если в любой
окрестности этой точки есть точки, принадлежащие X и не принадлежащие X.
Множество, все точки которого внутренние, называется открытым, а содержащее все свои граничные точки  замкнутым. Отрезок является замкнутым множеством, а интервал  открытым.
Точка x0 называется точкой сгущения множества X, если в любой окрестности этой точки лежит хотя бы одна точка из X, отличная от точки x0.
9

Из определения точки сгущения вытекает, что в любой окрестности
точки x0 лежит бесконечно много точек из X. Заметим, что сама точка
x0 может не принадлежать множеству X.
Ÿ4.
Понятие функции. Основные элементарные функции.
Понятие переменой величины (функции) является одним из центральных понятий математического анализа. Оно является для математики и
ее приложений, связанных с изучением переменных величин, таким же
фундаментальным, как понятие числа для арифметики. Как и остальные
понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло
долгий путь развития. Впервые понятие функции было введено в знаменитом труде математика и философа Рене Декарта2 под названием "переменная величина". В геометрическом и механическом понимании это
понятие интерпретируется у Исаака Ньютона3 (1671 г.). Под функцией
он понимал переменную величину, которая изменяется с течением времени. Эту величину Ньютон называл "флюентой". Термин "функция"(от
латинского functio  исполнение) впервые ввeл в 1673 году немецкий
математик Готфрид Лейбниц4 в письме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связывалась с геометрический образом (под функцией он понимал
отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному за2Рене Декарт (де'Карт, Renе Descartes 1596-1650)  французский математик, философ, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. В 1637 году вышел в свет
главный труд Декарта "Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках".
В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях  результаты в алгебре, геометрии, оптике (закон преломления света) и многое другое. Декарт разработал математическую символику, с этого момента близкую к
современной, исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд "механических"(спирали, циклоида).
3Исаак Ньютон (Isaac Newton) (1642-1727)  английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Одновременно с Лейбницем разработал дифференциальное и интегральное исчисления,
теорию цвета и многие другие математические и физические теории. Ньютон определил базовые понятия механики, сформулировал три закона механики. Ньютон считал основным и общим методом анализа функций разложение
в ряд. Он использовал ряды для решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения
функций. Большое внимание Ньютон уделял приближeнному решению уравнений.
4Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716)  немецкий математик, физик, философ.
Основной заслугой Лейбница в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и
интегрального исчисления. Лейбниц дал определение дифференциала и интеграла, вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов и точек перегиба, сделал немало открытий в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии, предвосхитил некоторые моменты современной математической логики, поставил задачу
логического обоснования математики. Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных
машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. По просьбе
Петра I Лейбниц разработал проекты развития образования в России и Петербургской академии наук.
10