Линейная алгебра. Курс лекций

Глава I
Линейная алгебра
При записи определений, теорем и различных формул мы будем использовать логические символы: ∀ для всех, для каждого, ∃ существует,
∃!  существует единственный, ∨ или, ∧ и, ⇒ влечет, ⇔ тогда
и только тогда.
Ÿ1.
Матрицы. Действия с матрицами.
Матрицей размера m × n называется таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов. Эти числа называют элементами матрицы.


a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1 am2 . . . amn










(1.1)
Обозначения матриц A = (aij), A = (ai
j), A = [aij], A = [ai
j].
Матрицы играют важную роль в математике и ее приложениях. Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона1 и Артура Кэли2. Сам термин "матрица" ввел в 1850 г.
1Уильям Роуэн Гамильтон (William Rowan Hamilton) (1806-1865)  выдающийся ирландский математик XIX века.
Гамильтону принадлежит введение в механику наглядного приема изображения изменений величин и направлений
скорости точки, совершающей какое-либо движение (годограф). Гамильтон открыл кватернионы, некоммутативную
числовую структуру с тремя мнимыми единицами. Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию. В
ходе исследований Гамильтон попутно ввел понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он открыл
векторное произведение, предложил оператор "набла".
2Артур Кэли (Arthur Cayley) (1821-1859)  английский математик. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. Кэли ввел принятое ныне обозначение
для определителя, сформулировал определение группы. Он развивил теорию алгебраических инвариантов, исследовал геометрии n-мерного пространства. Кэли принадлежит более 200 работ, посвященных самым разнообразным
вопросам математики.
1

Джеймс Сильвестр3.
Матричные обозначения получили распространение в современной математике и еe приложениях. Основным применением матриц было решение линейных уравнений. С помощью матриц записываются многие математические соотношения, в том числе, системы алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения. В квантовой теории матрицы используются для нахождения значений физических величин. Матричный
язык применяют при выполнении различных преобразований. Исчисление матриц развивается также в направлении построения эффективных
алгоритмов для численного решения большого количества задач. В информатике матрицы с элементами того или иного типа занимают особое
место как структуры для хранения и передачи основной и вспомогательной информации при решении многочисленных прикладных задач, шифрования сообщений в Интернете и т.д. Матрицы в информатике называют массивами. Различают одномерные массивы, содержащие элементы
в одной строке и именуемые вектором, двумерные массивы, элементы
которых располагаются по строкам и столбцам, которые и называются
матрицами, и многомерные массивы сложной структуры. Массивы можно рассматривать как формальное объединение нескольких однотипных
объектов (чисел, символов, строк и т.п.), рассматриваемое как единое
целое. К необходимости применения массивов мы приходим всякий раз,
когда требуется связать и использовать целый ряд родственных величин.
Матрицу размера 1 × n называют матрицей-строкой, а матрицу
размера m × 1  матрицей-столбцом.
Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей. Матрицу размера n×n называют квадратной матрицей порядка
n. Диагональ квадратной матрицы, идущая от элемента a11 к элементу ann называется главной диагональю, вторая диагональ называется
побочной. Квадратная матрица, все элементы которой, не стоящие на
3Джеймс Джозеф Сильвестр (James Joseph Sylvester) (1814-1897)  английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике. Сильвестр известен, прежде всего, как алгебраист. Две его
работы в этой области стали классическими: это теория элементарных делителей и закон инерции квадратичных
форм. Сильвестр был членом Лондонского королевского общества (1841), иностранным членом-корреспондентом
Петербургской Академии наук (1872).
2

главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали a11, a22, . . . , ann
равны единице, называется единичной. Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) диагонали, равны нулю, называется треугольной. Квадратная матрица A называется симметричной,
если aij = aji, то есть элементы матрицы симметричные относительно
главной диагонали равны. Квадратная матрица A называется кососимметричной, если aji = −aij, то есть элементы матрицы симметричные
относительно главной диагонали отличаются знаком. Для любой матрицы A размера m × n можно построить матрицу AT, заменив строки матрицы столбцами, а столбцы  строками. Матрица AT называется транспонированной для матрицы A. Транспонированная матрица
имеет размер n × m.
Над матрицами можно производить различные операции.
Прежде всего введем понятие равенства матриц. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны. Даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) размера
m × n. Тогда A = B, если aij = bij (∀i = 1, m, ∀j = 1, n).
Матрицы одного размера можно складывать. Суммой двух матриц
называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матрицслагаемых. Пусть A = (aij),
B = (bij)  матрицы размера m×n. Тогда C = A+B, если cij = aij +bij
(∀i = 1, m, ∀j = 1, n).
Матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на
число называется матрица, которая получается при умножении всех элементов исходной матрицы на это число. Если A = (aij), то kA = (kaij)
(∀i = 1, m, ∀j = 1, n).
Однако главные применения матриц связаны с операцией их умножения. Эта операция лежит в основе целого раздела линейной алгебры 
алгебры матриц.
Пусть даны две матрицы A размера m × n и B размера n × k, то есть
число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом случае
3

можно определить произведение матриц A и B. Матрица C размера m×k
называется произведением матриц A и B, если любой элемент cij этой
матрицы равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A
на соответствующий элемент j-того столбца матрицы B, то есть
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + ain · bnj =
s=1
aisbsj.
(1.1)
n
X
Отметим, что число строк матрицы C равно числу строк матрицы A,
и число столбцов матрицы C равно числу столбцов матрицы B.
, B =
Пример 1.1. Пусть A =


 
3
5 −1
!
−2 3
4
2
3
−7
2
3
−5



. Тогда
AB =
=
,
!
!
 
3 · 2 + 5 · (−7) + (−1) · 3
3 · 3 + 5 · 2 + (−1) · (−5)
(−2) · 2 + 3 · (−7) + 4 · 3
(−2) · 3 + 3 · 2 + 4 · (−5)
 
−32
24
−13
−20
BA =




2 · 3 + 3 · (−2)
2 · 5 + 3 · 3
2 · (−1) + 3 · 4
(−7) · 3 + 2 · (−2)
(−7) · 5 + 2 · 3
(−7) · (−1) + 2 · 4
3 · 3 + (−5) · (−2)
3 · 5 + (−5) · 3
3 · (−1) + (−5) · 4

=
=




0
19
10
−25
−29
15
19
0
−23

.
, B =
Пример 1.2. Пусть A =
. Тогда
 
1 −2
3
1
!
 
−2 3 1
4
1 2
!
AB =
=
.
!
!
 
1 · (−2) −2 · 4
1 · 3 −2 · 1
1 · 1 −2 · 2
3 · (−2) + 1 · 4
3 · 3 + 1 · 1
3 · 1 + 1 · 2
 
−10
1
−3
−2
10
5
Произведение BA не существует, так как число строк матрицы A не
равно числу столбцов матрицы B.
Операции над матрицами обладают следующими свойствами:
1) A + B = B + A  сложение матриц коммутативно. Но AB ̸= BA 
умножение матриц не коммутативно (пример 1.1). Более того, не всегда
существуют оба произведения (пример 1.2).
2) (A + B) + C = A + (B + C) и (AB)C = A(BC)  сложение и
умножение матриц удовлетворяют закону ассоциативности.
3) (A + B)C = AC + BC и C(A + B) = CA + CB, если эти произведения существуют. Это свойство называют законом дистрибутивности
4

умножения относительно сложения.
4) λ(A + B) = λA + λB.
5) (α + β)A = αA + βA.
6) λ(AB) = (λA)B = A(λB).
7) A · E = E · A = A, где A  квадратная, E  единичная матрицы
порядка n.
8) (A + B)T = AT + BT.
,
9) (AB)T = BT · AT.
В приложениях важную роль играет свойство квадратных матриц, называемое
неразложимостью. Поясним его смысл.
Согласованной перестановкой рядов квадратной матрицы A называется такая их перестановка, при которой одновременно с перестановкой i-ой и j-ой строки
меняются местами i-ый и j-ый столбцы.
Квадратная матрица A называется разложимой, если согласованными перестановками строк и столбцов ее можно привести к виду
 
A1
B
0
A2
!
где A1 и A2  квадратные матрицы не обязательно одного и того же порядка; 0 
нулевая матрица. В противном случае матрица называется неразложимой.
Если B = 0 и при дальнейшем разложении матриц A1 и A2 и их частей, стоящих
на диагонали, будет получена матрица вида


A1
0
...
0
0
A2
...
0
...
...
...
...
0
0
...
Ak







,
где A1, A2, ..., Ak  квадратные неразложимые матрицы не обязательно одного и того
же порядка, то матрица A называется вполне разложимой.
Ÿ2.
Перестановки.
Дано множество первых n натуральных чисел N = {1, 2, . . . , n}. Это
множество можно упорядочить различными способами. Всякое расположение (i1, i2, . . . , in) чисел 1, 2, . . . , n в некотором определенном порядке
называется перестановкой из n чисел.
Например, (2; 7; 3; 1; 5; 4; 6)  перестановка из семи чисел.
5

Предложение 2.1. Число различных перестановок из n чисел равно
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n.
Доказательство. Первый элемент i1 можно выбрать n способами, элемент для выбора элемента i2 осталась n −1 возможность и так далее, элемент in−1 можно выбрать всего 2 способами, наконец берем последний элемент in. Всего получилось
n · (n −1) · . . . · 2 · 1 = n! различных перестановок.
Если в некоторой перестановке поменять местами два числа, а остальные оставить на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование перестановки называется транспозицией.
Говорят, что в данной перестановке числа i и j образуют инверсию,
если i > j, но i стоит в этой перестановке раньше чем j. Перестановка
называется четной, если она имеет четное число инверсий, и нечетной
в противном случае.
Теорема 2.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство. Дана перестановка (i1, i2, . . . , in). Поменяем местами два соседних
элемента ik и ik+1. В этом случае число инверсий изменится на 1, и, значит, изменится
и четность перестановки. Чтобы поменять местами элементы ik и ik+m нужно 2m−1
раз переставить соседние элементы. Поэтому число инверсий изменится на нечетное
число, и, значит, перестановка сменит четность.
Теорема 2.3. 1) Число четных перестановок равно числу нечетных
перестановок;
2) Любая перестановка может быть получена из любой другой перестановки с помощью нескольких транпозиций.
Ÿ3.
Определители.
Понятие определителя (детерминанта) возникло в связи с необходимостью решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Определитель матрицы A обозначается |A|, detA или ∆. Открытие определителей приписывают немецкому математику Г. Лейбницу4. Современная
4Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716)  немецкий математик, физик, философ.
Основной заслугой Лейбницa в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального
и интегрального исчислений. Он вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов. Лейбниц сделал немало
открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии.
6

теория определителей основывается на работах Ж. Бине5, О. Коши6 и
К. Якоби7.
Если A = (a11)  матрица первого порядка, то определителем первого порядка называется число a11: ∆1 = a11.
Пусть A  матрица второго порядка.
Определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле
∆2 =




 = a11 · a22 −a12 · a21.
(3.1)





a11 a12
a21 a22
Пусть A  матрица третьго порядка.
Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле
|A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33














= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32−
−a13a22a31 −a11a23a32 −a12a21a33.
(3.2)
В логике, развивая учение об анализе и синтезе, Лейбниц выдвинул идею о применении в логике математической
символики и построении логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики. Лейбниц
сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. По просьбе Петра I разработал проекты развития
образования и государственного управления в России и проект учреждения Петербургской академии наук.
5Жак Филлип Мари Бине (Jacques Philippe Marie Binet) (1786-1856)  французский математик, механик и астроном. Один из создателей матричной алгебры, первым опубликовал правило умножения матриц, изучал линейные
разностные уравнения с переменными коэффициентами. Бине принадлежит ряд работ по прикладной математике и
механике вращающихся тел.
6Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy) (1789-1857)  великий французский математик и механик. Разработал фундамент математического анализа, внес огромный вклад в анализ, алгебру, теорию чисел, арифметику,
математическую физику и многие другие области математики; он один из основоположников механики сплошных
сред. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа  пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда; вел понятие радиуса сходимости степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование интегралов от непрерывных функций. В
теории дифференциальных уравнений Коши впервые поставил задачу о нахождении решения дифференциального
уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался геометрией (теория многогранников, поверхности 2-го порядка), алгеброй (симметрические многочлены, свойства определителей), теорией
чисел (теорема Ферма о многоугольных числах, закон взаимности). В области комплексного анализа Коши создал
теорию интегральных вычетов, а также ее приложения к различным вопросам анализа. Ему принадлежат исследования по тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши написал свыше 800 работ, полное
собрание его сочинений содержит 27 томов. Коши был членом Лондонского королевского общества, Петербургской
академии наук и ряда других академий Европы. Имя Коши носят многие математические объекты.
7Карл Густав Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi) (1804-1851)  немецкий математик, внесший большой вклад в
комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики.Якоби разработал
методы интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка,
ввел в употребление функциональные определители  якобианы. Он открыл закон инерции квадратичных форм.
Теория эллиптических функций, теория тета-функций, суммы Якоби и круговые поля, якобианы алгебраических
кривых  это весьма неполный перечень созданного Якоби, спустя более 150 лет со времени их открытия составил
математическую основу современных методов защиты информации.
7

Это выражение  алгебраическая сумма 6 слагаемых. В каждое слагаемое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу
(3.2), легко запомнить, пользуясь схемой, которая называется правилом
звездочки. Первая звездочка  это слагаемые, входящие в определитель
со знаком "плюс". Вторая звездочка  это слагаемые, входящие в определительсо знаком "минус".
d
d
d
d
d


H
H
H
H
H
H
d
d
d
d
d
d
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@

























A
A
A
A
AA
A
A
A
A
A
A
d















d
d
d
HHHHHHd
d
d
Для вычисления определителя третьего порядка применяют также
правило Саррюса8: cправа от определителя дописывают первых два
столбца и произведения элементов главной диагонали и диагоналей, ей
параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".
Пример 3.1. Вычислите определитель ∆=
4
−1
3
−5
3
−2
−6
1
3














.
Решение .
4
−1
3
−5
3
−2
−6
1
3
−3 · 3 · (−6) −3 · (−5) · (−1) −4 · (−2) · 1 = 36 −15 −12 + 54 −15 + 8 = 56.














= 4 · 3 · 3 + (−5) · 3 · 1 + (−2) · (−1) · (−6) −
Пусть дана квадратная матрица A порядка n


A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . .
. . . . . .
. . .
an1 an2 . . . ann










.
8Пьер Фредерик Саррюс (Pierre-Frederic Sarrus) (1798-1861)  французский математик. Его работы его относятся
к различным областям анализа и геометрии. Исследования Саррюса в основном касаются вариационного исчисления,
теории уравнений. Он является автором трактатов о решении числовых уравнений с несколькими неизвестными, о
кратных интегралах и условиях их интегрируемости, об определении орбит комет.
8