Колебания и волны

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Томский государственный университет  
систем управления и радиоэлектроники 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

А.С. Климов, А.В. Медовник, Ю.Г. Юшков 

 
 
 

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 

 
 
 

Учебно-методическое пособие  

 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Томск 

Издательство ТУСУРа  

2018 

УДК 534(075.8) 
ББК 22.315.4я73 
 
К492 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Рецензенты: 

Козырев А.В., д-р физ.-мат. наук, профессор; 

  

Ремнев Г.Е., д-р техн. наук, профессор 

 
 
 
 
 
 
 
 

Климов, Александр Сергеевич 

К492 
Колебания и волны : учеб.-метод. пособие / А.С. Климов,  

А.В. Медовник, Ю.Г. Юшков. – Томск : Томск. гос. ун-т систем 
упр. и радиоэлектроники, 2018. – 122 с.  

 
 
ISBN 978-5-86889-804-4 
Содержит краткую теорию, примеры решения задач, тестовые зада
ния, задачи для аудиторных практических занятий и самостоятельного 
решения, список рекомендуемой литературы, а также вопросы для самоконтроля по разделу «Колебания и волны» дисциплины «Физика» («Физика для информатики», «Физика и естествознание» и т.п.). 

Для студентов очной, очно-заочной и заочной форм обучения всех 

направлений подготовки. 

 
 
УДК 534(075.8) 

 
 
ББК 22.315.4я73 

 
ISBN 978-5-86889-804-4 
© Климов А.С., Медовник А.В., 

 
 
Юшков Ю.Г., 2018  

 
© Томск. гос. ун-т систем упр.  

 
 
и радиоэлектроники, 2018 

Введение  

Колебания и волны – раздел физики, изучающий колеба
тельные и волновые явления в системах различной природы (механической, электрической, тепловой, биологической и др.).  
К колебаниям относятся изменения положения в пространстве 
маятника часов, струны музыкальных инструментов, величины 
напряжения и тока в электрическом контуре, а также суточной 
температуры воздуха, сокращения сердечной мышцы и т.д. 
Примерами волн являются распространение звука в газах и 
твердых телах, возмущение воды от падающих капель, сейсмические волны – землетрясения, а также свет и радиоволны. 

Несмотря на огромное разнообразие колебательных и вол
новых процессов, им всем присущи некоторые общие закономерности.  

Данное учебно-методическое пособие включает краткие 

теоретические сведения по теории колебаний и волн, примеры 
решения задач, примеры тестовых вопросов, а также задачи для 
самоконтроля. Оно может быть использовано преподавателями 
на практических занятиях для различных вариантов контроля 
знаний студентов, а также студентами для самостоятельной подготовки к контрольным работам и экзаменам. 
 
 

1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 

1.1. Краткая теория 

1.1.1. Общие сведения о колебаниях 

Колебаниями называются процессы движения или измене
ния состояния, в той или иной степени повторяющиеся во времени.  

В зависимости от физической природы колебательного про
цесса и механизма его возбуждения различают:  

– механические колебания (колебания маятников, струн, 

частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, качка 
корабля, волнение моря и т. п.);  

– электромагнитные (колебания переменного электриче
ского тока в цепи, колебания векторов электрической напряженности E



 и магнитной индукции B



 переменного электромагнит
ного поля и т. д.);  

– электромеханические (колебания мембраны телефона, 

диффузора электродинамического громкоговорителя) и др. 

Система, совершающая колебания, называется колебатель
ной системой.  

Свободными (собственными) называются колебания, кото
рые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий 
на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо 
начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия.  

Вынужденными колебаниями называются колебания, воз
никающие в какой-либо системе под влиянием переменного 
внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой). 

Колебания называются периодическими, если значения всех 

физических величин, характеризующих колебательную систему 
и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через рав- 
ные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, 
удовлетворяющий этому условию, называется периодом коле

баний. За период колебаний T  система совершает одно полное 
колебание.  

Частотой периодических колебаний называется величина 
1
T
 
, равная числу полных колебаний, совершающихся за еди
ницу времени.  

Циклической, или круговой, частотой периодических ко
лебаний называется величина 
2
2
T

   
, равная числу пол
ных колебаний, совершающихся за 2 единиц времени.  

В электротехнике величину 
2
   называют угловой час
тотой. 

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся 

величины sот времени t  удовлетворяет условию 

 
s t
T
s t


. 

Периодические колебания величины  
s t  называются гар
моническими колебаниями, если  
 
 


0
sin
s t
A
t

  
 или  


1
cos
s t
A
t

  
, 

где 
2
const
  
 – циклическая, или круговая, частота гармо
нических колебаний; 
max
const
0
A
s



 – максимальное значе
ние колеблющейся величины ,s  называемое амплитудой коле
баний; 
0
  и 
1
0
2

   
 – постоянные величины. 

Значение s в произвольный момент времени t определяется 

значением фазы колебаний 
 
0
t
t

   
 (соответственно 

 
1
1
t
t

    ). Величины 
0
  и 
1
  представляют собой началь
ные фазы колебаний, т. е. значения 
 t

 и 
 
1 t

 в момент на
чала отсчета времени 

0
t 
: 
 
0
0
  
 и 
 
1
1 0
  
. 

Скорость и ускорение гармонически колеблющейся величи
ны ( )
s t  также совершают гармонические колебания с той же 

циклической частотой: 
 
 


0
sin
s t
A
t

  
; 

 


0
0
cos
sin
2

ds
A
t
A
t
dt






  


   





; 






2

2
2

0
0
2
sin
sin
d s
A
t
A
t

dt

  
  


     , 

причем амплитуды скорости и ускорения соответственно равны 

0
A  и 
2
0
A . Начальная фаза скорости равна 
0
2

 
, т. е. раз
ность фаз колебаний 
/
ds dt  и s постоянна и равна 2

  (скорость 

/
ds dt опережает s по фазе на 2

 ). Начальная фаза ускорения 

2

2

d s

dt

 

равна 
0
  , т. е. ускорение  

2

2

d s

dt

 опережает s по фазе на . Гра
фики зависимости от времени t величин s, 
/
ds dt  и 

2

2

d s

dt

  при 

гармонических колебаниях для случая 
0
0
 
 показаны на  

рис. 1.1. 

4
T
2
T
0 
3
2
T
T

2

2
,
,
ds
d s
s dt
dt

A 

Aω 

Aω2 

ds
dt

2

2

d s
dt   

s  

t  

 

Рис. 1.1 

 

Видно, что гармонически колеблющаяся величина s удовле
творяет дифференциальному уравнению 

 

2

2

2
0
d s
s

dt

 

. 

Величина s совершает гармонические колебания в том и 

только в том случае, если она удовлетворяет написанному выше 

дифференциальному уравнению, называемому дифференциальным уравнением гармонических колебаний. 

Гармонические колебания можно изобразить графически в 

виде вектора на плоскости. Для этого из начала координат 0 на 
плоскости проводят вектор A (рис. 1.2), модуль которого равен 
амплитуде А рассматриваемых колебаний и составляет с осью 
координат 0X  угол 
0
t
     , равный фазе колебаний в дан
ный момент времени t.  

 

Рис. 1.2 

 
С течением времени угол φ увеличивается так, что вектор A 

равномерно вращается вокруг точки 0 с угловой скоростью, равной циклической частоте колебаний . Соответственно проекция вектора A на вертикальную ось 0X  совершает гармонические колебания по закону 
 


0
sin
x
A
s
A
t


  
. 

Графическое изображение гармонических колебаний по
средством вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм. Им широко пользуются, например, 
при сложении одинаково направленных гармонических колебаний. 

 
1.1.2. Механические гармонические колебания 

Если материальная точка совершает прямолинейные гармо
нические колебания вдоль оси координат ОХ около положения 
равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты  х  точки от времени  t  имеет вид 

 


0
sin
x
A
t

  
. 

0

 A 

  A 
  t 

 0 

X

Проекции скорости  и ускорения a точки на ось ОХ: 

 


0
0
cos
x
t
  
  
;  


0
0
sin
x
a
a
t
 
  
, 

где 
0
A
 
 – амплитуда скорости; 
2

0
0
a
A

    – амплитуда 

ускорения. Сила F , действующая на материальную точку: 

 
F
ma



   и   
2

x
F
m
x
  
, 

где m – масса материальной точки. Следовательно, сила F  пропорциональна смещению материальной точки из положения 
равновесия и направлена в противоположную сторону:  

 
2
F
m
xi
  


 , 

где i

  – орт оси OX . 
Такая зависимость силы от смещения характерна для упру
гой силы. Поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются  квазиупругими 
силами. 

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей 

прямолинейные гармонические колебания 

 









2
2
2

2

К
0

2
2

0

cos
2
2

1 1
cos 2
2
2
2

mv
m
A
W
t

m
A
t




  







  





 

или 

 



2
2

К
0
1
cos 2
2
4

m
A
W
t





  

. 

Кинетическая энергия материальной точки периодически 

изменяется от 0 до 

2
2

2

m
A

, гармонические колебания соверша
ются с циклической частотой 2 и амплитудой 

2
2

4

m
A

 около 

среднего значения, равного 

2
2

4

m
A

. 

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически 

колеблющейся под действием квазиупругой силы, выражается 
как 

 



2
2
2
2

2

П
0

0

sin
2
2

x

x

m
x
m
A
W
F dx
t


 


  

 

или 






2
2
2
2

П
0
0
1
cos 2
2
1
cos 2
2
.
4
4

m
A
m
A
W
t
t








  


    





 

Потенциальная энергия материальной точки периодически 

изменяется от 0 до 

2
2

2

m
A

, совершая гармонические колебания 

с циклической частотой 2 и амплитудой 

2
2

4

m
A

 около средне
го значения, равного 

2
2

4

m
A

. Колебания потенциальной и кине
тической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π, так что 
полная механическая энергия материальной точки не изменяется 
при колебаниях: 

 

2
2

К
П
2

m
A
W
W
W




. 

Графики зависимости  


cos
x t
A
t


, dx

dt , 

2

2

d x

dt

, 
К
W , 
П
W  от 

времени t для случая 
0
0
 
 показаны на рис. 1.3. 

Линейный гармонический осциллятор – материальная точ
ка массой m, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы 
УПР
F
kxi
 


. Примером та
кой системы может служить пружинный маятник – груз массой 
т, подвешенный на абсолютно упругой пружине (k – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины, коэффициент жесткости пружины). Уравнения его движения: 

 

2

2

d x
m
kx

dt

 
  и  

2

2
0
d x
k x
m
dt


 . 

Рис. 1.3 

 
Из этого уравнения следует, что осциллятор (пружинный 

маятник) совершает гармонические колебания по закону 

 


0
sin
x t
A
t

  
 с циклической частотой ω и периодом T : 

 
k
m
 
;  
2
m
T
k
 
. 

Потенциальная энергия линейного гармонического осцилля
тора 

 

2

П
2
kx
W

. 

Физический маятник – твердое тело, имеющее возмож
ность качаться под действием силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести 
тела (рис. 1.4) и называемой осью качания маятника. Центр 
тяжести маятника совпадает с его центром инерции С. Точка О 
пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, 

t

t

t

x

v

a

0

0

0

A


A


0
 
A

0
 
A

2
0
 
A

2
0
A


t

t

t

x

К

П

0

0

0

A


A


E

2
E

E

2
E

–
2
0

A