Интегральное исчисление

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

А. А. Ельцов, Т. А. Ельцова

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебное пособие

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром
высшего профессионального образования для межвузовского
использования в качестве учебного пособия для студентов технических
направлений подготовки и специальностей

Томск
«Эль Контент»
2013

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.1я73
Е 585

Рецензенты:

Некряч Е. Н., канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики
Национального исследовательского Томского политехнического университета;

Гензе Л. В., канд. физ-мат. наук, доцент кафедры теории функций Национального
исследовательского Томского государственного университета.

Ельцов А. А.
Е 585
Интегральное исчисление : учебное пособие / А. А. Ельцов, Т. А. Ельцова. — Томск : Эль Контент, 2013. — 138 с.

ISBN 978-5-4332-0115-6

В краткой конспективной форме изложен материал по неопределённому и определённому, кратным, поверхностным и криволинейным интегралам, элементам теории поля в объёме, предусмотренном ныне действующей
программой вузов. Пособие может быть использовано для изучения дисциплины студентами, обучающимися с применением дистанционных образовательных технологий. Отличительной особенностью является использование
матричного и векторного аппарата. Теоретический курс дополнен примерами
и контрольными заданиями. Может быть использовано для самостоятельной
работы студентов.

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.1я73

ISBN 978-5-4332-0115-6
Ельцов А. А.,
Ельцова Т. А., 2013

Оформление.
ООО «Эль Контент», 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
5

Введение
7

1
Неопределенный интеграл
15

1.1
Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.2
Приемы нахождения неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . .
18

1.2.1
Подведение под знак дифференциала . . . . . . . . . . . . . . .
18

1.2.2
Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

1.2.3
Простейшие преобразования подынтегрального выражения .
29

1.2.4
Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . .
32

1.2.5
Интегрирование простейших иррациональностей
и выражений, содержащих тригонометрические функции
. .
37

1.3
Задача интегрирования в конечном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

2
Определ¨eнный интеграл
44

2.1
Определение, свойства, существование
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2.2
Интеграл как функция верхнего предела.
Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

2.3
Интегрирование по частям в определённом интеграле . . . . . . . . .
51

2.4
Замена переменных в определённом интеграле . . . . . . . . . . . . . .
52

2.5
Приближённое вычисление определённого интеграла . . . . . . . . . .
53

2.6
Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

2.6.1
Несобственные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . .
54

2.6.2
Несобственные интегралы второго рода
. . . . . . . . . . . . .
66

2.7
Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

2.7.1
Вычисление площадей плоских фигур
. . . . . . . . . . . . . .
74

2.7.2
Вычисление объёмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

2.7.3
Вычисление длины дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

3
Кратные интегралы
80

3.1
Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

3.2
Вычисление кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

3.2.1
Вычисление двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

3.2.2
Вычисление тройных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

3.3
Замена переменных в кратных интегралах
. . . . . . . . . . . . . . . .
89

3.3.1
Криволинейные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . .
89

3.3.2
Полярная система координат на плоскости . . . . . . . . . . . .
90

Оглавление

3.3.3
Сферическая и цилиндрическая системы координат в R3 . . .
91

3.3.4
Замена переменных в интегралах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

3.4
Приложения кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

3.4.1
Вычисление площадей плоских фигур
. . . . . . . . . . . . . .
98

3.4.2
Вычисление объёмов тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

3.4.3
Вычисление площади поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . 100

4
Криволинейные и поверхностные интегралы
102

4.1
Кривые на плоскости и в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2
Поверхности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3
Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода . . . . . . 104

4.4
Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода
. . . . . . 107

4.4.1
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4.2
Физический смысл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4.3
Вычисление и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5
Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Литература
128

Приложение А Комплексные числа и действия над ними
130

Приложение Б
Таблица интегралов
134

Приложение В
Прямая таблица дифференциалов
135

Приложение Г
Обратная таблица дифференциалов
136

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие представляет собой краткий конспект лекций по интегральному исчислению. Пособие состоит из четырёх глав. В первой — изучаются методы вычисления неопределённых интегралов. Во второй — рассмотрен определённый интеграл для функции одной переменной и его приложения. В третьей — рассматриваются кратные (двойные и тройные) интегралы. При изучении замены переменных в кратных интегралах используется аппарат векторного дифференциального
исчисления [2, 3], что формально упрощает изложение и делает его единым как
для функций одной переменной, так и для функций многих переменных. В четвертой — с использованием векторного дифференциального исчисления изучаются
криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля. Изложение
тесно увязано с линейной алгеброй [1].

Весь материал разбит на блоки, содержащие небольшое число новых понятий.
Материал достаточно полно иллюстрирован разнообразными примерами. После
каждого блока помещены задания для самостоятельной работы с ответами, которые могут быть использованы студентами для проверки правильности усвоения
материала или преподавателями для проведения практических занятий. Для более
глубокого изучения можно использовать пособия из списка литературы.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Предисловие

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает теорему. Данный блок состоит из Названия теоремы (Слова Теорема и Номера теоремы) и Текста теоремы.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ВВЕДЕНИЕ

Математика долгое время была сугубо прикладной наукой. Многие её разделы
зародились из решения практических задач. Ещё древние греки решали задачи
о вычислении площадей плоских фигур и объёмов сложных тел.

Рис. 1

Приведём задачу о вычислении площади плоской фигуры. Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x = a, x = b и кривой y = f (x). Предположим, что функция f (x) неотрицательна на [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на части точками
a = x0 < x1 < ... < xn = b. Пусть mi — наименьшее значение
функции f (x) на отрезке [xi, xi+1], а Mi — наибольшее значение функции f (x) на том же отрезке. Заменим площадь
трапеции между точками xi, xi+1 площадью mi∆xi прямоугольника с высотой mi (рис. 1). Это площадь с недостат
ком. Тогда σn =

n−1
∑
i=0
mi∆xi — приблизительная площадь исходной трапеции с недо
статком. Аналогично σn =

n−1
∑
i=0
Mi∆xi — приблизительная площадь исходной трапе
ции с избытком. Площадь S исходной криволинейной трапеции находится между
этими значениями. Мы также можем заменить площадь трапеции между точками xi, xi+1 площадью f (ξi)∆xi прямоугольника с высотой f (ξi), где ξi ∈ [xi, xi+1] —

некоторая фиксированная точка. Сумма σn =

n−1
∑
i=0
f (ξi)∆xi также будет давать при
близительную площадь исходной трапеции и будет находиться между суммами
σn и σn. Интуитивно ясно, что, переходя во всех трёх суммах к пределу по всевозможным разбиениям, при условии, что максимальная длина max
0⩽i⩽n−1∆xi отрезков

[xi, xi+1] стремится к нулю, получаем некоторую величину, которую и принимают за площадь исходной криволинейной трапеции. Подобная идея суммирования
и предельного перехода используется и при решении некоторых физических задач.

Пусть тело движется со скоростью V = f (t), t ∈ [T1, T2]. Разобьём отрезок
времени [T1, T2] на части точками T1 = t0 < t1 < ... < tn = T2. Пусть далее ∆ti = ti+1−ti,
i = 0, 1,..., n−1. За время ∆ti тело пройдёт путь f (τi)∆ti, где τi — некоторый момент
времени между моментами ti и ti+1 = ti +∆ti. Суммируя по всем участкам разбиения

Введение

и переходя к пределу по всевозможным разбиениям, получаем путь, пройденный
телом за время от момента T0 до момента T1.

В конечном итоге рассмотрение подобных задач привело к понятию определённого интеграла (интеграла Римана), который изучается во втором разделе данного
пособия. Суть этого понятия следующая.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пусть функция f (x) определена и ограничена на конечном отрезке
[a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на части точками a = x0 < x1 <
< ... < xn = b, выберем внутри каждого элементарного отрезка

[xi, xi+1] по точке ξi ∈ [xi, xi+1] и составим сумму σn =

n−1
∑
i=0
f (ξi)∆xi.

Предел сумм σn по всевозможным разбиениям, если этот предел
существует, не зависит от способа разбиения, способа выбора
точек ξi при условии, что максимальная длина λ = max
0⩽i⩽n−1∣∆xi∣ =

= max
0⩽i⩽n−1∣xi+1 − xi∣ отрезков [xi, xi+1] стремится к нулю, называется

определенным интегралом (интегралом Римана) от функции

f (x) и обозначается

b

∫

a
f (x)dx, а сама функция f (x) называется

интегрируемой по Риману.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Совершенно ясно, что вычислять пределы сумм, полученных в определении
интеграла Римана, достаточно сложно и утомительно. Нужен метод, позволяющий
обойти возникающие сложности. Этот метод был найден Ньютоном и Лейбницем
и связан с решением задачи, обратной задаче дифференцирования, суть которой
следующая.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пусть функция f (x) определена на отрезке [a, b]. Функция F(x),
производная F′(x) которой совпадает с функцией f (x), называется первообразной для f (x).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Задача нахождения первообразной решается неоднозначно в том смысле, что
у одной и той же функции существует много первообразных. Непосредственным
вычислением проверяется, что функции 2sin2 x, −cos2x, −2cos2x являются первообразными для функции 2sin2x. Этот факт не случаен. Оказывается, что первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой на константу. Для
указанных выше функций это подтверждается школьными формулами тригонометрии, а в общем случае доказывается в курсе интегрального исчисления.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределённым
интегралом
от
этой
функции
и
обозначается

∫ f (x)dx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение
9

Пусть F(x) — какая-нибудь первообразная функции f (x). Тогда,

b

∫

a
f (x)dx = Φ(b) = F(b) − F(a),

то есть определённый интеграл по отрезку [a, b] от функции f (x) равен разности
значений какой-либо из первообразных функции f (x) на верхнем и нижнем пределах интегрирования. Приведённая выше формула называется формулой Ньютона—
Лейбница.

Формула Ньютона—Лейбница связывает неопределённый и определённый интегралы. Если мы сможем находить неопределённые интегралы, то с использованием формулы Ньютона—Лейбница определённые интегралы легко вычисляются.

Для нахождения неопределённых интегралов используются прежде всего таблица интегралов и свойства неопределённого интеграла. Приёмы вычисления неопределённого интеграла основаны на сведении путём преобразований исходного
интеграла к одному или нескольким табличным. Часть из этих приёмов изучается
в курсе интегрального исчисления.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 1
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вычислить ∫ x ⋅
4√

2 + x2 dx.

Решение:

Так как xdx = 1

2d (x2) = 1

2d (x2 + 2), то можем записать:

∫ x ⋅
4√

2 + x2 dx = 1

2∫

4√

2 + x2 d(x2) = 1

2∫

4√

2 + x2 d(x2 + 2) =

= 1

2 ∫ (2 + x2)

1
4 d(x2 + 2) = 1

2(2 + x2)

5
4 ∶ 5

4 + C = 2

5(2 + x2)

5
4 + C.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 2
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Найти

π
4
∫
π
6

sin54xcos4xdx.

Решение:

Введение

π
4
∫
π
6

sin54xcos4xdx = 1

4

π
4
∫
π
6

sin54xd sin4x = sin64x

24

π
4

π
6

=

= 1

24 (sin6π − sin62π

3 ) = 1

24
⎛
⎝(0)6 − (

√

3
2 )

6⎞
⎠ = − 9

512.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

До сих пор мы определяли интеграл от ограниченной функции, заданной на
конечном отрезке. В некоторых задачах, в том числе и физических, требуется рассматривать интеграл от функции по промежутку бесконечной длины или от неограниченной функции, заданной на конечном промежутке. Распространение понятия
интеграла на указанные случаи приводит к понятиям несобственных интегралов
1-го и 2-го рода.

Рассмотрим вначале случай, когда функция f (x) задана на бесконечном промежутке [a, ∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предположим, что наша функция интегрируема на каждом ограниченном отрезке из промежутка [a, ∞), то есть для всякого

A ⩾ a существует интеграл

A

∫

a
f (x)dx. Предел lim
A→+∞

A

∫

a
f (x)dx на
зывается несобственным интегралом 1-го рода (интегралом по

неограниченному промежутку) и обозначается

∞

∫

a
f (x)dx. Если

lim
A→+∞

A

∫

a
f (x)dx существует и конечен, то несобственный инте
грал 1-го рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл 1-го рода называется расходящимся.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Можно также рассматривать несобственные интегралы 1-го рода по промежуткам (−∞, a] и (−∞, ∞).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример 3
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Рассмотрим

∞

∫

1

dx
xα . Пусть α = 1. Тогда

∞

∫

1

dx
x
= lim
A→∞

A

∫

1

dx
x
= lim
A→∞(lnx∣
A

1) =

= lim
A→∞(lnA − ln1) = ∞. Таким образом, рассмотренный интеграл при α = 1 расходится. Пусть теперь α ≠ 1. Тогда