Идентификация и диагностика систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
 
ТОМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ  СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ  И  РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ 
 
Кафедра электронных средств автоматизации 
и управления (ЭСАУ) 
 
 
О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева 
 
 
 
 
 
ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ 
 
 
 
 
Учебное методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2016

 
 

 

 

Корректор: Сарина С. Д. 

 
 
 
 
 
 
 
Черепанов О. И. 
Идентификация и диагностика систем : учебное методическое 
пособие / О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева. – 
Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. – 198 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                      © Черепанов О. И., Черепанов Р. О.,  
                                                                        Кректулева Р. А., 2016 
                                                                    © ФДО, ТУСУР, 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 

Предисловие ........................................................................................................ 5 

1 Идентификация параметров нелинейных стационарных динамических 

систем методом квазилинеаризации при известных начальных данных .... 6 

1.1 Постановка задачи .................................................................................... 6 

1.2 Описание метода квазилинеаризации в задачах с известными 

начальными условиями для переменных состояния ............................. 9 

2 Пример идентификации системы методом квазилинеаризации                      

при известных начальных условиях ............................................................ 18 

2.1 Система уравнений с известным аналитическим решением                       

для проверки алгоритма идентификации ............................................. 18 

2.2 Применение метода идентификации параметров при известных 

начальных данных для решения тестовой задачи ............................... 21 

2.3 Пример программы идентификации параметров системы                         

при известных начальных данных (FORTRAN) .................................. 29 

3 Идентификация начального состояния и параметров нелинейных 

стационарных динамических систем методом квазилинеаризации ......... 57 

3.1 Постановка задачи .................................................................................. 57 

3.2 Описание алгоритма идентификации параметров и начального 

состояния нелинейных систем методом квазилинеаризации ............ 60 

4 Пример применения метода квазилинеаризации для решения                      

задачи идентификации переменных состояния и параметров              

нелинейной системы ...................................................................................... 69 

4.1 Система нелинейных уравнений с известным аналитическим 

решением для тестирования метода ..................................................... 69 

4.2 Применение метода квазилинеаризации для идентификации 

параметров и начального состояния нелинейной системы:                

решение тестовой задачи ....................................................................... 70 

5 Контрольные и лабораторные работы ......................................................... 81 

5.1 Контрольная работа № 1. Оценка параметров системы методом 

максимального правдоподобия ............................................................. 82 

5.2 Контрольная работа № 2. Оценка параметров системы методом 

последовательной идентификации ....................................................... 92 

5.3 Лабораторная работа № 1 ..................................................................... 103 

5.4 Лабораторная работа № 2 ..................................................................... 106 

Литература ....................................................................................................... 198 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Пособие содержит описание и примеры применения метода квазили
неаризации для идентификации по результатам измерений выходного сиг
нала ( )
y t
параметров динамических систем с нелинейным законом функ
ционирования: 

(0)
( )
( , ( ), ( ), ),
(
, )
x t
f t x t u t
t
t
T
=
θ
∈


и алгебраическим уравнением выходов: 

( )
( )
y t
Сx t
=
. 

Рассмотрены варианты применения метода квазилинеаризации 

при известных начальных условиях, когда по результатам измерений вы
ходного сигнала системы с известным алгебраическим уравнением выхо
дов оцениваются параметры θ
(коэффициенты дифференциальных урав
нений), а также общий алгоритм, с помощью которого оцениваются как 

начальные условия 
(0)
(
)
x t
, так и параметры уравнений. Описан алгоритм 

итерационной оценки параметров, основанный на численном интегрирова
нии дифференциальных уравнений метода и сведении задачи к стандарт
ной процедуре метода максимального правдоподобия. 

При разработке настоящего пособия использованы результаты, кото
рые приводятся в работах [1–10]. 

1 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ 

СТАЦИОНАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ 

КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ ПРИ ИЗВЕСТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ 

ДАННЫХ 

1.1 Постановка задачи  

Рассмотрим систему, закон функционирования которой описывается 

системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений  

(0)

(0)
(0)

( )
( , ( ), ( ), ),
[
, ],

(
)
,

dx t
f t x t u t
t
t
T
dt
x t
x

=
θ
∈

=

 
 
(1.1) 

где 
(0)
[
, ]
t
t
T
∈
 – контролируемая независимая переменная (например, вре
мя); 
(0)
[
, ]
t
T  – интервал моделирования; 
{
}
1
2
( )
( ),
( ),...,
( )
n
x
x t
x t x t
x t
=
=
– век
тор переменных состояния; 
{
}
1
( )
( ),...,
( )
l
u t
u t
u t
=
– вектор управления; 

{
}
1,...,
m
θ = θ
θ
– вектор оцениваемых параметров; 
( , ( ), ( ), )
f t x t u t θ =


{
}
1( , ( ), ( ), ),...,
( , ( ), ( ), )
n
f t x t u t
f
t x t u t
=
θ
θ
– известного вида функция всех 

своих аргументов, в общем случае нелинейная; 
(0)
(0)
(
)
x t
x
=
– заданный 

вектор, который определяет начальное состояние системы. 

Здесь и далее нижние индексы будем использовать для обозначения 

номеров компонент векторов или элементов матриц, а верхний индекс, 

взятый в скобки, – для указания точки на оси времени. 

В общем случае система уравнений (1.1) представляет собой систему 

нелинейных уравнений как относительно переменных состояния ( )
x t
, так 

и относительно идентифицируемых параметров θ

, однако предполагается, 

что уравнения разрешены относительно производной 
( )
dx t

dt

. 

Будем считать, что уравнение выходов моделируемой системы пред
ставлено системой линейных алгебраических уравнений: 

( )
( )
y t
Сx t
=
, 
 
 
 
 
(1.2) 

где 
{
}
1
( )
( ),...,
( )
k
y t
y t
y t
=
– вектор измеряемого выходного сигнала; 

11
1

1

...

...
...
...

...

n

k
kn

A
A
С

A
A

⎛
⎞
⎜
⎟
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 – заданная прямоугольная матрица коэффициентов. 

Далее будем исходить из того, что результатом наблюдений за функ
ционированием системы являются измерения значений выходного сигнала 

( )
( )
(
)
j
j
y t
y
=
и вектора управления 
( )
( )
(
)
j
j
u t
u
=
, выполненных в равноот
стоящих узлах 
( )
(0)
(
1),
1,2,...,
j
t
t
t j
j
N
=
+ Δ
−
=
 на оси времени. Тогда для 

переменных состояния 
( )
x t
моделируемой системы в соответствии с ал
гебраическим уравнением выходов (1.2) можно записать следующую си
стему алгебраических уравнений: 

( )
( )
( )
(0)
,
(
1),
1,2,...,
j
j
j
Ax
y
t
t
t j
j
N
=
=
+ Δ
−
=
. 
 
(1.3) 

где 
( ),
1,2,...,
j
y
j
N
=
– измеренное значение выходного сигнала в общей 

серии длиной N  измерений, а верхний индекс, который указывает на но
мер момента времени измерений, взят в скобки, чтобы отличать его от но
мера компонент вектора, а затем и от номера итерации.  

Для упрощения здесь принято, что измерения выполнялись в равно
отстоящих узлах 
( )
(0)
(0)
(
1)
[
, ],
1,2,...,
j
t
t
t j
t
T
j
N
=
+ Δ
−
∈
=
 на оси времени, 

и при этом шаг 
t
Δ  достаточно мал. Выполнение этого условия не обяза
тельно, но если оно не выполняется, то в последующем может потребо
ваться дополнительная процедура совмещения узлов, в которых выполня
ются измерения выходного сигнала и методом квазилинеаризации нахо
дятся значения переменных состояния. 

Изучаемую систему будем считать стационарной, по крайней мере 

в течение времени идентификации. На этом основании для идентифициру
емых параметров дополнительно записывают следующую систему обык
новенных дифференциальных уравнений: 

0
d
dt
θ =
.  
 
 
 
 
   (1.4) 

Решение системы (1.1) должно удовлетворять начальным условиям 

вида: 

(0)
(0)
(
)
,
x t
x
=

 
 
 
      (1.5) 

Задача идентификации параметров моделируемой системы заключа
ется в том, чтобы найти векторы переменных состояния ( )
x t
и коэффици
ентов модели θ
, которые удовлетворяют системам дифференциальных 

уравнений (1.1), (1.4), начальным условиям (1.5), а также уравнению выхо
дов (1.3). Предполагается, что при известных значениях параметров θ

 

начальным условиям (1.5) соответствует единственное решение системы 

(1.1). Следует подчеркнуть, в рассматриваемом случае начальное состоя
ние системы считается известным, что несколько упрощает задачу. 

Приведенные уравнения представляют собой математическое выра
жение априорно принятой гипотезы о внутреннем устройстве реальной си
стемы, которая является результатом первого этапа идентификации. 

На этом этапе установлено, что входное воздействие описывается измеря
емой функцией ( )
u t
, состояние системы описывается вектором ( )
x t
, при
нято предположение о том, что система стационарна, по крайней мере 

в течение времени идентификации 
0
T
t
−
, а также принято допущение, что 

изучаемая система (устройство) может быть описана системой обыкновен
ных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэф
фициентами. Результатом этого исследования и является математическое 

оформление гипотезы в виде уравнений (1.1)–(1.5). 

Одним из методов решения задач идентификации таких систем явля
ется метод квазилинеаризации [1–3]. 

1.2 Описание метода квазилинеаризации в задачах 

с известными начальными условиями 

для переменных состояния  

Решение задачи идентификации параметров нелинейных систем 

с законом функционирования вида (1.1) методом квазилинеаризации [1–3] 

сводится к следующей итерационной процедуре уточнения решения.  

1. На первом этапе решения должна быть каким-либо образом задана 

начальная оценка коэффициентов модели, в качестве которой зачастую за 

неимением лучшего берется нулевая оценка:  

(
)
0
0
,
0 .
In
θ
= θ
θ
=

 
 
 
(1.6) 

Точно так же должна быть задана (найдена) соответствующая этим 

значениям параметров 
0
In
θ
= θ
начальная оценка вектора переменных со
стояния 
0( )
x
t
, т. е. приближенное решение системы (1.1): 

(
)

0
0
(0)
( )
( ),
( )
.
In
x
t
x
t
x
t
x
=
=
 
 
        (1.7) 

Здесь и далее верхний индекс без скобок означает номер итерации, 

а величины 
In
θ
, 
( )
In
x
t
– заданные векторы. 

При выборе начальных оценок параметров 
0
θ
 и переменных состоя
ния 
0( )
x t
требуется учитывать, что сходимость метода существенно зави
сит от выбора начального приближения. Более того, неудачный выбор 

начальной оценки (например, 
0
0
θ
=
) в конкретных задачах может приве
сти к тому, что на первом же шаге задача сведется к системе линейно зави
симых алгебраических уравнений. Однако такие варианты развития собы
тий легко предугадываются при приобретении минимального опыта реше
ния конкретных задач. Выбор начальной оценки для вектора переменных 

состояния 
0( )
x t
целесообразно осуществлять следующим образом. Если 

принята нулевая начальная оценка коэффициентов 
0
0
θ
=

, то, как правило, 

легко находится соответствующее аналитическое решение 
( )
In
x
t
системы 

(1.1), которое и следует быть в качестве начальной оценки 
0( )
x
t
вектора 

переменных состояния. В простейшем случае можно в качестве начальной 

оценки вектора переменных состояния задавать известные по условиям за
дачи начальные значения 
0
(0)
( )
x t
x
=
. 

2. Теперь рассмотрим общий случай, когда найдено некоторое при
ближение к решению 
s
θ
и 
( )
s
x
t
с номером (s) . Напомним, что здесь 

и далее верхний индекс без скобок используется как указатель номера 

приближения (шага итерационного процесса) в процессе уточнения значе
ния искомых величин. Разлагая правую часть уравнения (1.1) в ряд Тейло
ра в окрестности этого состояния, от системы (1.1) приходим к системе 

уравнений: 

1
1
1
,

,
1,..., ;
1,...,
;
1,...,
.

s
s
s
s
s

s
s
s
s
s
i
i
i
i

p
q
p
q

S

f
f
f
f
dx
x
f
x
dt
x
x

i p
n q
m s
N

+
+
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
+
θ
+
−
−
θ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂θ
∂
∂θ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
=
=
=


 (1.8) 

Чтобы не загромождать запись ненужными деталями, здесь опущены 

аргументы всех определенных ранее функций, а символом 
S
N  обозначено 

максимальное количество итераций, которое обычно задается в качестве 

дополнительного критерия для прекращения процесса уточнения оценок 

во избежание «зацикливания». 

В развернутой записи матрицы коэффициентов этой системы имеют 

вид: