Идентификация и диагностика систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО) 
 

 

 

О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева 

 
 
 

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 
2016

УДК 
681.51.015 + 681.518.54 

ББК 
32.965-01я73 
 
Ч 467 
 
 

Рецензенты: 

А. В. Герасимов, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. отделом  

Начно-исследовательского института прикладной математики и механики ТГУ; 

В. В. Кибиткин, канд. техн. наук, старший научный сотрудник  

Института физики прочности и материаловедения СО РАН 

 

Черепанов О. И. 

Ч 467 
Идентификация и диагностика систем : учебное пособие / О. И. Че
репанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева. − Томск : ФДО, ТУСУР, 

2016. − 138 с. 

 

В пособии представлены основы теории параметрической идентификации 

систем с уравнением состояния в виде функциональной зависимости между 
входным и выходным сигналами и стационарных динамических систем, для которых закон функционирования описывается системой линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 

Рассматривается метод максимального правдоподобия, последовательной 

идентификации, а также метод квазилинеаризации. 

Для студентов, обучающихся с применением дистанционных образова
тельных технологий по направлению подготовки 220400.62 – «Управление в 
технических системах». 
 
 
 
 
 
 

 Черепанов О. И., 

Черепанов Р. О., 
Кректулева Р. А., 2016

© Оформление. 

ФДО, ТУСУР, 2016 

Оглавление 

Введение ............................................................................................................ 5 
1 Метод максимального правдоподобия и последовательная 

идентификация .......................................................................................... 10 
1.1 Несколько общих замечаний ................................................................. 10 
1.2 Измерение скалярной физической величины ...................................... 12 
1.3 Косвенные измерения нескольких величин ........................................ 14 
1.4 Теорема Гаусса – Маркова .................................................................... 20 
1.5 Оптимальные планы экспериментов .................................................... 24 
1.6 Полный факторный план типа 23 .......................................................... 27 
1.7 Метод последовательной идентификации ........................................... 35 

1.7.1 Последовательная идентификация одномерной системы ............ 35 
1.7.2 Последовательная идентификация многомерной системы .......... 38 

1.8 Линеаризация моделей, нелинейных относительно оцениваемых 

параметров ............................................................................................. 47 

2 Идентификация линейных многомерных динамических систем .... 51 

2.1 Общие сведения ...................................................................................... 51 

2.1.1 Линейные преобразования .............................................................. 52 
2.1.2 Каноническое преобразование – процедура диагонализации ..... 55 
2.1.3 Определение собственных векторов .............................................. 57 

2.2 Управляемость и наблюдаемость ......................................................... 62 

2.2.1 Управляемость .................................................................................. 62 
2.2.2 Наблюдаемость ................................................................................. 68 

2.3 Идентификация линейных стационарных динамических систем с 

применением конечно-разностной аппроксимации производных .. 71 

2.3.1 Постановка задачи ............................................................................ 71 
2.3.2 Дискретная модель системы............................................................ 72 
2.3.3 Идентификация систем методом максимального  

правдоподобия ................................................................................. 76 

2.3.4 Идентификация систем методом последовательной регрессии .. 79 

3 Идентификация параметров нелинейных стационарных 

динамических систем методом квазилинеаризации .......................... 88 
3.1 Постановка задачи идентификации параметров нелинейных 

стационарных динамических систем методом квазилинеаризации  
при известных начальных данных ...................................................... 88 

3.2 Описание метода квазилинеаризации в задачах с известными 

начальными условиями ........................................................................ 91 

3.3 Пример идентификации системы методом квазилинеаризации  

при известных начальных данных ...................................................... 98 

3.3.1 Уравнения модели ............................................................................ 98 
3.3.2 Применение метода идентификации параметров при известных 

начальных данных для решения тестовой задачи ..................... 101 

3.4 Идентификация начального состояния и параметров  

нелинейных стационарных динамических систем методом 
квазилинеаризации .............................................................................. 109 

3.4.1 Постановка задачи .......................................................................... 109 
3.4.2 Описание алгоритма идентификации параметров и начального 

состояния нелинейных систем методом квазилинеаризации... 111 

3.5 Пример применения метода квазилинеаризации для решения задачи 

идентификации переменных состояния и параметров нелинейной 
системы ................................................................................................ 119 

3.5.1 Система нелинейных уравнений с известным аналитическим 

решением для тестирования метода ........................................... 119 

3.5.2 Применение метода квазилинеаризации для идентификации 

параметров и начального состояния нелинейной системы: 
решение тестовой задачи ............................................................. 119 

Заключение ................................................................................................... 133 
Литература.................................................................................................... 135 
Глоссарий ...................................................................................................... 137 

 

Введение 

В широком смысле слова задача идентификации реальных физических 

систем заключается в том, чтобы по результатам измерения входного и выходного сигналов уставить закон, в соответствии с которым система осуществляет 
преобразование сигнала на входе в сигнал на выходе (рис. 1). 

 

Рис. 1 – Схема к общей задаче идентификации 

Таким образом, в общем случае изучаемый физический объект представ
ляется в виде некоего «черного ящика», на вход которого поступает входной 
сигнал u , принадлежащий некоторому множеству входных сигналов U , а на 
выходе вырабатывается выходной сигнал y , принадлежащий множеству вы
ходных сигналов Y . Задача идентификации состоит в том, чтобы восстановить 
по экспериментальным данным неизвестный оператор А системы, который преобразует множество U  входных сигналов в множество Y  выходных сигналов: 

( )
y
А u
=
. Принято говорить, что в такой постановке задача идентификации 

тождественна задаче познания вообще. 

Задача идентификации в узком смысле заключается в том, чтобы по ре
зультатам измерений входного и выходного сигналов оценить параметры (коэффициенты) оператора А системы, т. е. предполагается, что вид этого оператора выбран экспериментатором на этапе предварительного изучения объекта, 
суждений, основанных на аналогии, знании и умении применять основные законы физики к реальным задачам. 

Математическую модель изучаемого объекта обычно удается представить 

в виде системы из двух уравнений, первое из которых описывает изменение с 
течением времени t  вектора переменных состояния системы 
( )
x t
под воздей
ствием входного сигнала ( )
u t
(уравнение состояния, закон функционирования) 

и уравнения выходов, в соответствии с которым система вырабатывает выход

ной сигнал 
( )
y t
, соответствующий состоянию системы ( )
x t
в данный момент 

времени: 

 

( )
( )
( )
(
)

( )
( )
(
)

1

2

,
,
,θ ,

.

x t
A t x t u t

y t
A x t

=

=


(1) 

В этом случае по результатам измерений входного и выходного сигналов 

требуется оценить значения параметров (коэффициентов) θ

 оператора 
1А  в 

уравнении состояния, а оператор 
2
A  уравнения выходов обычно считается из
вестным и характеризует, например, работу измерительного устройства. 

Наиболее сложной задачей из тех, которые рассматриваются в данном 

пособии, является задача оценки параметров объекта, закон функционирования 
которого можно описать системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений вида: 

 

( )
( )
( )
(
)
[
]

( )
( )
0

,
,
,θ ,
0,
,

0
,

dx t
f t x t
u t
t
T
dt

x
x

=
∈

=


(2) 

где 
[0, ]
t
T
∈
 – независимая измеряемая переменная (время); [0, ]
T  – интервал 

моделирования; 
( )
( )
( )
( )
{
}
1
2
,
,...,
n
x t
x t
x
t
x
t
=
– вектор переменных состояния; 

( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
– вектор входного сигнала (управление); 
{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 – 

вектор оцениваемых параметров; 

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
{
}
1
,
,
,θ
,
,
,θ ,...,
,
,
,θ
n
f t x t
u t
f t x t
u t
f
t x t
u t
=

– известного вида 

функция всех своих аргументов, в общем случае нелинейная; ( )

( )
0
0
x
x
=
– век
тор, который определяет начальное состояние системы. 

Закон функционирования (2) дополняет алгебраическое уравнение выхо
дов, которое представлено системой линейных уравнений вида: 

 
( )
( )
y t
Сx t
=
, 
(3) 

где ( )
( )
( )
{
}
1
,...,
k
y t
y t
y
t
=
– вектор измеряемого выходного сигнала; С  – задан
ная прямоугольная матрица коэффициентов. 

Наиболее эффективным методом идентификации таких систем является, 

по-видимому, метод квазилинеаризации, который рассматривается в пособии 
при обсуждении такого рода задач. Рассмотрены варианты применения метода 
квазилинеаризации при известных начальных условиях, когда по результатам 
измерений выходного сигнала системы с известным алгебраическим уравнени

ем выходов оцениваются параметры θ

, а также общий алгоритм, с помощью 

которого оцениваются как начальные условия 
( )
0
x, так и параметры уравнений. 

Несколько более простой является задача идентификации линейных ди
намических систем, закон функционирования и уравнения выходов которых 
имеют вид: 

 

( )
( )
( )

( )
( )

,

.

dx t
Ax t
Bu t
dt
y t
Cx t

=
+

=


(4) 

Элементы матриц коэффициентов 
,
A B  образуют совокупность неизвест
ных параметров системы θ

, которые требуется найти по результатам измерений 

входного и выходного сигналов. В этом случае также наиболее эффективным 
методом идентификации является метод квазилинеаризации, но возможно и 
применение методов, основанных на замене дифференциальных уравнений их 
дискретными (конечно-разностными) аналогами. 

В ряде случаев связь входного и выходного сигналов системы удается 

описать функциональной зависимостью вида: 

 
(
)
,θ
y
f u
=

, 
(5) 

где вектор 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
– входной сигнал системы, а вектор 

(
)
(
)
(
)
{
}
1
,θ
,θ ,...,
,θ
k
f u
f u
f
u
=

есть известного вида вектор – функция всех своих 

аргументов, вид которой также выбирается экспериментатором по результатам 
предварительного изучения системы. 

В общем случае функции (
)
(
)
1
,θ ,...,
,θ
k
f u
f
u

в уравнении вида (5) – нели
нейные функции своих аргументов, поэтому при оценке параметров таких систем требуется предварительная линеаризация нелинейных уравнений задачи. 

Простейшая 
линейная 
относительно 
неизвестных 
параметров 

{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 изучаемой системы модель имеет вид: 

 
( )
(
)
,θ
y
f u
=

, 
(6) 

где y  – скалярный измеряемый выходной сигнал, u– измеряемый вектор 

входного сигнала, 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
m
f u
f u
f
u
=

– вектор базисных функций модели, 

( )
(
)
,θ
f u
– скалярное произведение векторов. 

Для идентификации параметров 
{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 таких систем используют
ся, в частности, такие методы, как метод максимального правдоподобия, метод 
последовательной регрессии и др. 

С небольшими оговорками можно сказать, что ключом к пониманию про
блем, с которыми приходится сталкиваться при решении задач параметрической идентификации, является метод максимального правдоподобия, с которого и начинается изложение основного материала пособия, которое подготовлено на основе известных монографий Д. Гропа [2] и Э. Сэйджа, Д. Мелсы [10]. 
Для более полного понимания основных идей теории и методов идентификации 
в пособие включены краткие сведения по теории моделирования систем и методам планирования эксперимента [1–19]. 

Пособие содержит примеры решения задач по основным темам. Разбор 

каждого примера решения задач разными методами позволяет оценить достоинства и недостатки того или иного метода в сравнении с другими, что может 
послужить базой накопления личного опыта по идентификации систем. 

Соглашения, принятые в учебном пособии 

Для улучшения восприятия материала в данном учебном пособии исполь
зуются пиктограммы и специальное выделение важной информации. 

 ·············································  

Эта пиктограмма означает определение или новое понятие. 

 ·············································  

 ·····························································  

Эта пиктограмма означает «Внимание!». Здесь выделена важ
ная информация, требующая акцента на ней. Автор может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых 
ошибок. 
 ·····························································  
 ·····························································  

В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные 

сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь 
читателю лучше понять основные идеи. 
 ·····························································  

·····························································  

Эта пиктограмма означает теорему. 

 ·····························································  

 ·························  
 Пример  ······················  

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести 

практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале. 
 ·······································································  

 ························  
 Выводы  ························  

Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает 
изложенный материал или проводит анализ. 
 ·····································································  

 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·   
Контрольные вопросы по главе  
 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·   

1 Метод максимального правдоподобия  

и последовательная идентификация 

1.1 Несколько общих замечаний 

Решение задачи идентификации любой реальной системы начинается с 

выполнения одного из самых ответственных этапов – выбора математической 
модели, которая должна описывать закон функционирования этой системы, т. е. 
выбора оператора, который описывает, каким образом реальный объект преобразует сигнал на входе в сигнал на выходе. По-видимому, нет стандартных и 
безотказных формальных подходов к решению этой задачи. На этом этапе широко используются суждения по аналогии, которые позволяют перенести опыт, 
приобретенный при изучении других объектов, на данный конкретный случай. 

 ·····························································  

На этом этапе необходимо: 
1) определить все входные сигналы системы, выделив из них те, 

которые относятся к управляющим и контролируемым пере
менным (вектор 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
), т. е. таким входным 

сигналам, выбором которых можно распорядиться при проведении целенаправленных экспериментов; 

2) определить 
совокупность 
переменных 

( )
( )
( )
( )
{
}
1
2
,
,...,
n
x t
x t
x
t
x
t
=
, которые с достаточной полнотой 

характеризуют состояние системы (переменные состояния); 

3) записать 
закон 
функционирования 
системы 
вида 

( )
( )
( )
(
)
1 ,
,
,θ
x t
A t x t u t
=

(уравнение состояния), в соответствии 

с которым система изменяет свое состояние в зависимости от 
входного сигнала с течением времени, т. е. на основании знания основных законов природы, которым подчиняется изучае
мый процесс, система, выбрать вид оператора 
( )
( )
(
)
1 ,
,
,θ
A t x t u t

, 

выделив при этом совокупность неизвестных коэффициентов 

{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

, которые требуется определить по результатам 

измерений входного и выходного сигналов; 

4) оценить 
количество 
выходных 
измеряемых 
переменных 

( )
( )
( )
{
}
1
,...,
k
y t
y t
y
t
=

и 
записать 
уравнение 
выходов