Дифференциальные уравнения

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

А. А. Ельцов, Т. А. Ельцова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром
высшего профессионального образования для межвузовского
использования в качестве учебного пособия для студентов технических
направлений подготовки и специальностей

Томск
«Эль Контент»
2013

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.68я73
Е 585

Рецензенты:

Некряч Е. Н., канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики
Национального исследовательского Томского политехнического университета;

Гензе Л. В., канд. физ-мат. наук, доцент кафедры теории функций Национального
исследовательского Томского государственного университета.

Ельцов А. А.
Е 585
Дифференциальные уравнения : учебное пособие / А. А. Ельцов,
Т. А. Ельцова. — Томск : Эль Контент, 2013. — 104 с.

ISBN 978-5-4332-0128-6

В краткой конспективной форме изложен материал по дифференциальным уравнениям в объёме, предусмотренном ныне действующей программой втузов. Пособие может быть использовано для изучения дисциплины
студентами, обучающимися с применением дистанционных образовательных технологий. Отличительной особенностью является использование матричного и векторного аппарата. Теоретический курс дополнен примерами
и контрольными заданиями. Может быть использовано для самостоятельной
работы студентов.

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.68я73

ISBN 978-5-4332-0128-6
Ельцов А. А.,
Ельцова Т. А., 2013

Оформление.
ООО «Эль Контент», 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
5

Введение
7

1
Уравнения первого порядка
10

1.1
Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1.2
Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . .
12

1.3
Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.4
Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования
и единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.5
Линейные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.6
Уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

1.7
Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.8
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений . . .
24

2
Уравнения высших порядков
27

2.1
Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.2
Уравнения, допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . .
30

2.3
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . .
33

2.4
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.5
Метод вариации произвольных постоянных решения линейных
неоднородных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2.6
Уравнения с правой частью специального вида
. . . . . . . . . . . . .
47

3
Системы дифференциальных уравнений
51

3.1
Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

3.2
Системы дифференциальных уравнений в симметричной форме . . .
56

3.3
Метод интегрируемых комбинаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

3.4
Системы линейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . .
59

3.5
Однородные системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

3.6
Метод вариации произвольных постоянных . . . . . . . . . . . . . . . .
70

4
Элементы теории устойчивости
73

4.1
Зависимость решения от параметров и начальных данных . . . . . . .
73

4.2
Определение устойчивости по Ляпунову
. . . . . . . . . . . . . . . . .
77

4.3
Метод функций Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

Оглавление

4.4
Устойчивость линейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

4.5
Устойчивость по первому приближению . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

5
Разностные уравнения
83

5.1
Понятие разностного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

5.2
Разностные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

5.3
Разностные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Литература
89

Приложение А Комплексные числа и действия над ними
91

Приложение Б
Принцип сжатых отображений и некоторые его
применения
95

Приложение В
Таблица интегралов
103

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пособие представляет собой краткий конспект лекций по дифференциальным
уравнениям. Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах и приближённые методы решения уравнений первого порядка. Во второй главе изучаются уравнения nго порядка. В том числе, уравнения, допускающие понижение порядка, линейные
уравнения порядка n и их частный случай, линейные уравнения с постоянными
коэффициентами. В третьей главе рассматриваются системы дифференциальных
уравнений, в том числе и линейные. В четвертой даются элементы теории устойчивости. В пятой главе изучаются разностные уравнения. Изложение тесно увязано
с линейной алгеброй [1, 2].

Весь материал разбит на блоки, содержащие небольшое число новых понятий. Материал достаточно полно иллюстрирован разнообразными примерами. Для
более глубокого изучения можно использовать пособия из списка литературы.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Предисловие

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает совет. В данном блоке можно указать
более простые или иные способы выполнения определенной задачи. Совет может касаться практического применения только что
изученного или содержать указания на то, как немного повысить
эффективность и значительно упростить выполнение некоторых
задач.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает теорему. Данный блок состоит из Названия теоремы (Слова Теорема и Номера теоремы) и Текста теоремы.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает лемму. Данный блок состоит из Названия леммы (Слова Лемма и Номера леммы) и Текста леммы.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ВВЕДЕНИЕ

Многие разделы математики, особенно на ранних этапах её развития, зародились из решения практических задач. В том числе и поэтому многие математические понятия имеют в различных областях знаний конкретную интерпретацию.
Например, производную скалярной функции скалярного аргумента, с одной стороны, можно трактовать как скорость движения материальной точки, а с другой,
как тангенс угла наклона к оси OX касательной к графику функции [3]. Производная вектор-функции скалярного аргумента может трактоваться как вектор скорости

и как вектор параллельный касательной [3]. Аналогично интеграл

b

∫

a
f (x)dx есть

площадь под кривой y = f (x) или работа по перемещению материальной точки
под действием силы f (x) из точки a в точку b [4]. В других областях знаний также имеются свои интерпретации этих и других математических понятий. Поэтому
с помощью математики могут быть описаны многие процессы и явления, то есть
математика, кроме всего прочего, служит языком описания процессов и явлений
реального мира. При изучении и описании явлений и процессов обычно абстрагируются от частностей и идеализируют рассматриваемый процесс или явление.
Например, при изучении процессов в газовой среде рассматривают модель идеального газа. В результате такой идеализации получается математическая модель
процесса или явления. Математические модели делятся на статические и динамические. Статические модели описывают стационарные, то есть установившиеся
и не меняющиеся во времени, процессы. Динамические модели описывают неустановившиеся и меняющиеся во времени процессы.

Для многих динамических процессов и явлений бывает трудно написать закон
их поведения в виде конкретной функции времени, а написать этот закон в виде уравнения, связывающего независимую переменную x, искомую функцию y(x)
и некоторое количество её производных, т. е. в виде уравнения F(x, y, y′,..., y(n)) =
= 0, часто значительно легче.

Уравнение F(x, y, y′,..., y(n)) = 0 называется дифференциальным уравнением
порядка n. Если x векторная величина, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных, а если x скаляр — обыкновенным дифференциальным уравнением. В данном курсе изучаются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Примером математической модели в виде обыкновенного дифференциального
уравнения является второй закон Ньютона. Пусть S(t) — путь, пройденный телом

Введение

к моменту времени t, V(t) — скорость, a(t) — ускорение, с которыми движется тело
в момент t. Из определения скорости и ускорения, с учётом механического смыс
ла производной, можем записать, что V(t) = dS

dt, a(t) = dV

dt = d2S

dt2 . Пусть теперь
тело с постоянной массой m движется под действием силы F. По второму закону

Ньютона сила, масса и ускорение связаны соотношением F = ma, или a = F

m. Под
ставляя a(t) = d2S

dt2 , имеем d2S

dt2 = F

m. Это дифференциальное уравнение 2-го порядка,
дающее пример математической модели динамического процесса. Из полученного
уравнения можем последовательно записать:

dS
dt =

t

∫

t0

d2S
dt2 dt + C1 =

t

∫

t0

F
m dt + C1,

S(t) =

t

∫

t0

dS
dt dt + C2 =

t

∫

t0

⎛
⎜
⎝

t

∫

t0

F
m dt + C1
⎞
⎟
⎠
dt + C2 =

t

∫

t0

⎛
⎜
⎝

t

∫

t0

F
m dt
⎞
⎟
⎠
dt + C1(t − t0) + C2.

Для нахождения констант C1 и C2 нужно иметь два соотношения которые можно получить, задав начальную величину пути, пройденного к моменту времени t0,
и начальную скорость. Пусть S(t0) = S0 — путь, пройденный телом к моменту времени t0, а V(t0) = V0 — скорость тела в момент времени t0. Тогда, подставляя эти
значения в полученное ранее решение, имеем

S(t0) =

t0
∫

t0

⎛
⎜
⎝

t

∫

t0

F
m dt
⎞
⎟
⎠
dt + C1 ⋅ 0 + C2 = C2 = S0,

V(t0) =

t0
∫

t0

F
m dt + C1 = C1 = V0.

С учётом найденных значений констант C1 и C2 окончательно получаем S(t) =

=

t

∫

t0

⎛
⎜
⎝

t

∫

t0

F
mdt
⎞
⎟
⎠
dt +V0(t −t0)+S0. Если кроме массы m постоянна и сила F, то закон

изменения пути от времени будет иметь вид S(t) = F(t − t0)2

2m
+ V0(t − t0) + S0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решением дифференциального уравнения в области D назовём
функцию (x), заданную на отрезке или интервале (a, b), если при
подстановке (x) в уравнение она обращает его в тождество
относительно x в этой области.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение
9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит
в преобразовании его к такому виду, из которого эти решения легко
находятся. При этом два уравнения: F1(x, y, y′) = 0 и F2(x, y, y′) = 0
назовем эквивалентными в области D, если решения одного из них
являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям.
Это не всегда удается. Поэтому в процессе преобразований мы
должны следить, чтобы не терять решений и не приобретать новых.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Большинство аналитических методов решений дифференциальных уравнений
заключается в сведении их к уравнению вида f1(x)dx = f2(y)dy, которое очень про
сто решается. Действительно, в данном случае можем записать ∫ f1(x)dx = ∫ f2(y)dy.

Теперь, если Φ1(x) какая-нибудь первообразная левой части, а Φ2(y) — правой
части, то последнее соотношение можно переписать в виде равенства Φ1(x) =
= Φ2(y) + C, разрешая которое относительно y, получаем всю совокупность решений исходного уравнения.

Как видим, решение дифференциального уравнения получается с точностью
до некоторого количества произвольных постоянных, которые можно зафиксировать, задав некоторые условия на поведение решения. Так, в рассмотренном выше
примере движения материальной точки под действием силы мы зафиксировали
получившиеся в процессе решения константы, задав начальный путь и начальную
скорость, то есть задав так называемые начальные условия. В данном курсе подобная задача рассмотрена более подробно.

Классов дифференциальных уравнений, которые можно решить аналитически,
не так уж и много. Часть из них изучается в данном курсе. Если по тем или иным
причинам не удаётся найти аналитическое решение уравнения, то находят либо
приближённое аналитическое, либо приближенное численное решение.

Глава 1

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1 Общие сведения

Изложенное ниже является введением в круг вопросов и задач, изучаемых
в теории дифференциальных уравнений, и не претендует на полноту.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую
функцию y(x) и некоторое количество её производных, т. е. уравнение вида
F (x, y, y′,..., y(n)) = 0,
(1.1)

называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Если
x — векторная величина, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных, а если x — скаляр,
то обыкновенным дифференциальным уравнением.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для многих динамических, то есть меняющихся во времени, процессов и явлений бывает трудно написать закон их поведения в виде конкретной функции
времени, а написать этот закон в виде дифференциального уравнения часто значительно легче. Построением дифференциальных уравнений для описания конкретных процессов, то есть построением математических моделей этих процессов, мы
заниматься не будем.

Не оговаривая особо, будем изучать обыкновенные дифференциальные уравнения.
Самым простым обыкновенным дифференциальным уравнением является
уравнение 1-го порядка, то есть уравнение

F(x, y, y′) = 0,
(1.2)

получающееся из (1.1) при n = 1. Функция F(x, y, z) в (1.2) предполагается определённой на некотором множестве G из R3.