Математический анализ

Государственное казенное образовательное учреждение  
высшего образования
«Российская таможенная академия»

МатеМатический анализ

П Ра к т и к у М

Москва
2017

УДК 51
ББК 22.161
 
M34

Д о п у щ е н о 
Учебно-методическим советом Российской таможенной академии в качестве 
практикума для обучающихся по направлению подготовки «Экономика»

А в т о р с к и й  ко л л е к т и в :
Н.В. ШирКУНоВА, заведующий кафедрой таможенной статистики, канд. экон. наук, доцент (разд. 2, 3);
Г.о. ВАфоДороВА, доцент кафедры таможенной статистики, канд. физ.-мат. наук 
(разд. 4, темы 4.1, 4.2, 4.3, разд. 5);
М.М. ЦВиль, доцент кафедры информатики и информационных таможенных технологий, канд. физ.-мат. наук, доцент (разд. 4, темы 4.4, 4.5);
Е.В. лАрьКиНА, декан экономического факультета Владивостокского филиала рТА, 
канд. пед. наук, доцент (разд. 1)

р е ц е н з е н т
и.С. БАрАШКоВ, старший научный сотрудник факультета вычислительной математики 
и кибернетики МГУ им. М.В. ломоносова, канд. физ.-мат. наук

Э к с п е р т
В.А. ШлЫК, профессор кафедры информатики и информационных технологий Владивостокского филиала российской таможенной академии, д-р. физ.-мат. наук, профессор

M34  
Математический анализ: практикум / Н.В. Ширкунова, Г.о. Вафодорова, 
М.М. Цвиль, Е.В. ларькина. М.: рио российской таможенной академии, 2017. 140 с.

ISBN 978-5-9590-1001-0

В практикуме изложены основы математического анализа, необходимые студентам Академии для успешного освоения дисциплины. Материал каждого раздела проиллюстрирован 
примерами и имеет достаточное количество задач для практических занятий.
Практикум рекомендуется студентам российской таможенной академии по направлению 
подготовки «Экономика».

УДК 51
ББК 22.161

ISBN 978-5-9590-1001-0 
© российская таможенная академия, 2017

Предисловие

Настоящий практикум написан в соответствии с требованиями фГоС 
Во и рабочей программой дисциплины «Математический анализ» по 
направлению подготовки «Экономика». При подготовке практикума 
авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов.
В каждой главе практикума приводится справочный теоретический 
материал (основные определения, свойства, теоремы и соответствующие формулы). Новый учебный материал усваивается студентами легче, 
если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих 
его примеров, поэтому в данном практикуме теория соединена с руководством к решению задач. Все главы содержат типовые задачи с решениями, 
а также задачи для самостоятельного решения. В конце каждого раздела 
имеются тестовые задания.
Для успешного выполнения заданий для самостоятельной работы необходимо прочитать разделы учебников, рекомендованные в рабочей программе. Перед выполнением заданий для самостоятельной работы следует 
проанализировать приведенные в указанных разделах учебников и в данном практикуме примеры решения задач. При подготовке к практическому 
занятию нужно внимательно изучить теоретический и практический материал, рассмотренный на лекции. 
Практикум по дисциплине «Математический анализ» является дополнительным учебным материалом для студентов Академии, изучающих 
данную дисциплину.

р а з д е л  1   
введение в математический анализ

те м а  1.1. введение. Элементы теории множеств 
и функций

основные определения, свойства,  
теоремы, теоретические положения

Дисциплина «Математический анализ» включает теорию действительного числа, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление, а также их непосредственные приложения, которые находят все более 
широкое применение в исследовательских методах экономики. 
Понятия множества и отношения принадлежности являются первоначальными понятиями теории множеств и не определяются. Синонимами 
понятия «множество» являются в частности собрание, совокупность, коллекция некоторых различимых предметов (элементов). 
Тем не менее можно описать множество A как объединение в одно 
целое определенных различимых объектов x, которые называются элементами множества.
Если элемент x принадлежит множеству A, то это обозначается так: 

x
A
∈
. Если элемент x не принадлежит множеству A, то это записывается 
в виде: x
A
∉
 или x
A
∈
. Множество, не содержащее ни одного элемента, 
называется пустым и обозначается символом ∅.
Если каждый элемент множества A является также элементом множества B, то говорят, что A включается в B или A содержится в B. Этот факт 
записывают в виде A
B
⊆
 или B
A
⊇
 (рис. 1.1.1).
Если A
B
⊆
, то множество А называется подмножеством множества В, а если при этом A ≠ B, то 
множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается: A
B
⊂
.
Два множества A и B называют равными, если 

A
B
⊆
 и одновременно B
A
⊇
. равенство двух множеств записывают так: A = B.
Рис. 1.1.1

Объединением двух множеств A и B называется множество всех элементов, каждый 
из которых принадлежит хотя бы одному из 
множеств A или B. объединение множеств 
A и B обозначается так: A
B

 (рис. 1.1.2).
Пересечением множеств A и B называется 
множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству A, 
так и множеству B. обозначается пересечение 
так: A
B

 (рис. 1.1.3).
Геометрическое 
изображение 
множеств 
в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.
Множества A и B называются непересекающимися, если A
B = ∅

.
Свойства операций объединения и пересечения множеств:

1) идемпотентность 
A
A
A
=

, A
A
A
=

;

2) коммутативность 
A
B
B
A
=


, A
B
B
A
=


;

3) ассоциативность 
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
=




, 

(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
=




;

4) дистрибутивность 
(
)
(
)
A
B
A
B
α
α
α
α
=
 


,  

(
)
(
)
A
B
A
B
α
α
α
α
=
 


.

Разностью двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех элементов множества A, которые не являются элементами множества B. обозначается разность так: 
A \ B (рис. 1.1.4).
Если все множества, фигурирующие в данной задаче, включаются во множество X, то это 
множество X называется пространством. 
Пусть A – множество из пространства X (то 
есть A
X
⊂
). Дополнением множества A в X называется множество X \ A. 
обозначается дополнение так: CA = X \ A или 
X A
C
.
Проиллюстрируем операцию дополнения с помощью диаграммы 
Эйлера – Венна (рис. 1.1.5).

Рис. 1.1.2

Рис. 1.1.3

Рис. 1.1.4

операция дополнения обладает следующими свойствами:

1) 
= ∅

A
A
C
, 
=

A
A
X
C
, 
=
A
A
CC
;

2) 
∅ = X
C
, 
= ∅
X
C
, 
⊂
⇒
⊃
A
B
A
B
C
C
.
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:
N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество натуральных чисел;
Z0 = {0; 1; 2; 3; …; n; …} – множество целых неотрицательных чисел;
Z = {0; ±1; ±2; ±3; …; ±n; …} – множество целых чисел;

:
,
m
Q
m
Z
n
N
n



=
∈
∈





 – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение:

0
N
N
Z
Q
R
⊂
⊂
⊂
⊂
.

Пусть a и b – действительные числа, причем a < b.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества 
всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[a. b] = {x: a ≤ x ≤ b} – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);
(a, b) = {x: a < x < b} – интервал (открытый промежуток);
[a, b) = {x: a ≤ x < b}; (a, b] = {x: a < x ≤ b} – полуоткрытые интервалы 
(или полуоткрытые отрезки);
(–∞, b] = {x: x ≤ b}; [a, +∞) = {x: x ≥ a}; (–∞, b) = {x: x < b}; [a, +∞) = 
= {x: x > a}; (–∞, +∞) = {x: –∞ < x < +∞} = R – бесконечные интервалы 
(промежутки).
Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). 
Окрестностью точки x0 называется любой интервал (a, b), содержащий точку х0. В частности, интервал (x0 – ε, x0 + ε), где ε > 0, называется 
ε-окрестностью точки x0. Число x0 называется центром, а число ε – радиусом. Если x ∈ (x0 – ε, x0 + ε), то выполняется неравенство: x0 – ε < x < x0 + ε.
Абсолютной величиной действительного числа x называется само 
число x, если x неотрицательно, и противоположное число –x, если x отрицательно. очевидно, по определению, что 
0
x ≥
.

если x ≥ 0;

если x < 0.

,
,
x
x
x

= −


Рис. 1.1.5

Свойства абсолютных величин:

1) x
y
x
y
+
≤
+
; 
3) xy
x y
=
;

2) x
y
x
y
−
≥
−
; 
4) 
x
x
y
y
=
.

Абсолютная величина разности двух чисел x
a
−
 означает расстояние 
между точками x и a числовой прямой как для случая x < a, так и для x > a. 
Поэтому, например, решениями неравенства x
a
−
< ε, где ε > 0, будут 
точки x интервала (a – ε, a + ε), удовлетворяющие неравенству a – ε < x < 
< a + ε.
Пусть X, Y – два непустых множества. Отображением X в Y, или функцией, определенной на X со значениями в Y, называется соответствие f, 
которое каждому элементу x ∈ X относит единственный y ∈ Y. Записывается оно так: f: X → Y или 

f
X
Y
→
.
Если элементу x ∈ X при отображении f сопоставляется элемент y ∈ Y, 
то y называется образом элемента x, а сам x – прообразом элемента y. Элемент y при этом обозначается как f(x). Элемент x называют аргументом 
функции f.
Пусть A ⊂ X. Множество всех элементов y ∈ Y, которые являются образами элементов x ∈ A, называется образом множества A при отображении f: X → Y и обозначается f(A). Таким образом, f(A) = {y ∈ Y: y = f(x), 
x ∈ A} ⊂ Y.
Если f: X → Y, то X называется областью задания отображения f, а множество Y1 = f(X) – множеством значений этого отображения. Для удобства 
полагают f(∅) = ∅. Если A1 ⊂ A2 ⊂ X, то f(A1) ⊂ f(A2). Для любых A1, A2 ⊂ 
X справедливы соотношения:

 
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f A
A
f A
f A
=


; 
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f A
A
f A
f A
=


 
(1.1.1)

и если f(X) = Y, то 
(
)
( )
f CA
Cf A
⊃
.

Пусть B ⊂ Y. Совокупность всех элементов x ∈ X, таких, что y = f(x), 
где y ⊂ B, называется прообразом множества B при отображении f и обозначается так: f –1(B). Таким образом, f –1(B) = {x ∈ X: f(x) = y ∈ B} ⊂ X. 
Если B1 ⊂ B2 ⊂ Y, то f –1(B1) ⊂ f –1(B2). Для любых B, B1, B2 ⊂ Y справедливы 
равенства:

1
1
1
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f
B
B
f
B
f
B
−
−
−
=


;

 

1
1
(
)
( )
f
CB
Cf
B
−
−
=
; 
(1.1.2)

1
1
1
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
f
B
B
f
B
f
B
−
−
−
=


.

отображение f: X → Y называется отображением «на» (или сюръективным), если множество его значений Y1 = f(X) совпадает с Y, т.е. f(X) = Y.
отображение f: X → Y называется обратимым (или инъективным), 
если оно переводит различные элементы из X в различные элементы из Y, 
то есть (∀ x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2) ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Если отображение f обратимо, то для любого y ∈ Y1 = f(X) существует 
единственный x ∈ X такой, что f(x) = y. Таким образом, на Y1 можно задать 
функцию x = g(y), которая каждому элементу y ∈ Y1 сопоставляет этот 
единственный x ∈ X. Эта функция называется обратной к f и обозначается 
через f –1: Y1 → X; x = f –1(y) = g(y) Для инъективного отображения f справедливы равенства:

 

1
1

1
( ( ))
, (
);
(
( ))
, (
(
))
f
f x
x
x
X
f
f
y
y
y
Y
f X
−
−
=
∈
=
∈
=
. 
(1.1.3)

отображение f: X → Y называется биективным, если оно одновременно 
сюрьективно и инъективно.
Говорят, что между элементами множеств X и Y можно установить взаимно однозначное соответствие, если существует биективное отображение f: X → Y.
Графиком отображения f: X → Y называется множество Γ(f) ⊂ X × Y, 
состоящее из всех упорядоченных пар (x, y), где x ∈ X, y = f(x): Γ(f) = {(x, y): 
x ∈ X, y ∈ f(x)} ⊂ X × Y.
Пусть даны отображения f: X → Y и g: Y → Z. отображение h: X → Z, 
определенное равенством h(x) = g(f(x)), называется суперпозицией (композицией) отображений f и g или сложной функцией аргумента x. обозначается суперпозиция так: g ° f = h. Часто говорят также, что x – основной 
аргумент функции h, а y = f(x) – промежуточный аргумент этой функции.
Суперпозиция ассоциативна: φ ° (g ° f) = (φ ° g) ° f. 
имеют место равенства:

 
(
)( )
( ( ))
g
f
A
g f A
=

, где A
X
⊂
; 
(1.1.3)

1
1
1
(
) ( )
(
( ))
g
f
B
f
g
B
−
−
−
=

, где B
Z
⊂
.
функция y называется неявной, если она задана уравнением f(x, y) = 0, 
не решенным относительно y. функция y называется явной, если она 
задана уравнением y = f(x), решенным относительно y.
Способы задания функции: аналитический способ, т.е. функция задана 
явно y = f(x); табличный; графический; программный (алгоритмический). 
Все способы могут использоваться совместно.

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. одной из таких 
систем является прямоугольная (декартова) система координат.
Прямоугольная (декартова) система координат задается точкой 
начала координат и двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, 
на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. 
Единицу масштаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями 
координат, точку их пересечения О – началом координат. одну из осей называют осью 
абсцисс (осью Ох), другую – осью ординат (осью Оу) (рис. 1.1.6). На рисунках ось 
абсцисс обычно располагают горизонтально 
и направленной слева направо, а ось ординат – вертикально и направленной снизу 
вверх.
рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор OM



 называется радиус-вектором точки М. 
Другой системой координат является полярная система координат. 
Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, 
лучом Oρ, называемым полярной осью, и единичным вектором e  того же 
направления, что и луч Oρ.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами r и φ, где r – расстояние 
от М до полюса О, угол φ образован отрезком 
ОМ и полярной осью (в направлении, противоположном движению часовой стрелки) 
(рис. 1.1.7). Числа называются полярными 
координатами точки М, пишут M(r; φ), при 
этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (–π, π], а полярный радиус – промежутком [0, +∞). 
В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно – каждой паре чисел r и φ соответствует единственная точка плоскости. 
Для установления связи между прямоугольными и полярными координатами совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную 

y

y
M(x; y)

x
x
O
i

j

Рис. 1.1.6

r

M(r; ϕ)

ρ
O
e

ϕ

Рис. 1.1.7

ось – с положительной полуосью Ох. Пусть 
х и у – прямоугольные координаты точки М, 
а r и φ – ее полярные координаты (рис. 1.1.8).
формулы 
выражения 
прямоугольных 
координат точки М через полярные и выражения полярных через прямоугольные:

cos
sin
x
r
y
r
= ⋅
ϕ


= ⋅
ϕ


, где 

2
2
r
x
y

y
tg
x

 =
+

ϕ =


. 
(1.1.4)

основные элементарные функции:
1) постоянная функция: y = c = const;
2) степенная функция: y = xn;
3) показательная функция: y = ax, a > 0, a ≠ 1;
4) логарифмическая функция: y = logax, a > 0, a ≠ 1;
5) тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx;
6) обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, 
y = arctgx, y = arcctgx.
функции, построенные из основных элементарных функций при 
помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными. 
функция f(x) действительного аргумента х четная, если ∀ x ∈ X значение аргумента –x ∈ X и f(–x) = f(–x). График четной функции симметричен 
относительно оси ординат (декартовой системы координат).
функция f(x) действительного аргумента х нечетная, если ∀ x ∈ X значение аргумента –x ∈ X и f(–x) = f(–x). График нечетной функции симметричен относительно точки начала декартовой системы координат.
функция f(x) действительного аргумента х является периодической 
с периодом Т, если ∀ x ∈ X значение аргумента x + T ∈ X и f(x + T) = f(x).

Пусть заданы две функции переменной t: 

( )
( )
X
x t
Y
y t
=


=


, рассматриваемые 

для одних и тех же значений t. Тогда любому из значений t соответствуют 
определенные значения x и y и определенная точка M(x; y). Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций, точка 
M(x; y) описывает некоторую линию С в плоскости OXY. Уравнения называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная t – 
параметром. Предположим, что функция X = x(t) имеет обратную функцию t = Φ(x). Подставив эту функцию во второе из уравнений, получим 

r

M

ρ
O
i

ϕ

x

j

y

Рис. 1.1.8