Начертательная геометрия. Теория и практика

Л.Г. Нартова
В.И. Якунин





        НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

        ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Учебник

3-е издание, стереотипное


Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки и специальностям в области техники и технологии






Москва Издательство «ФЛИНТА» 2021

УДК 514.1(075.8)
ББК 22.151.3я73

     НЗО







Рецензенты:













д-р пед. наук, проф. И. Н. Акимова (Московский государственный университет пищевых продуктов); зав. кафедрой «Инженерная графика» МАДИ, канд. техн, наук, доцент О. А. Оганесов (Государственный технический университет)













      Нартова Л.Г.
Н30 Начертательная геометрия. Теория и практика : учеб. для вузов / Л.Г. Нартова, В.И. Якунин. — 3-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2021. — 304 с. — ISBN 978-5-9765-2656-3. — Текст : электонный.





         В учебнике приведен достаточный теоретический материал, не требующий обращения к другим источникам, изложены методы построения изображений пространственных геометрических форм на плоскости. Большое внимание уделено вопросам, связанным с приложением начертательной геометрии к решению практических задач. Большинство задач и примеров сопровождается решениями, поэтому книга может быть полезна при самостоятельном изучении предмета. Разные варианты решения одной и той же задачи способствуют более глубокому изучению предмета.
         Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов в области техники и технологии.

УДК 514.1(075.8)
ББК 22.151.3я73




ISBN 978-5-9765-2656-3

© Нартова Л.Г., 2016
© Издательство «ФЛИНТА», 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ
   Общеизвестна роль чертежа в науке и на производстве. Чертеж — удобное средство для получения и хранения информации. В нем большая содержательность сочетается с малым временем, необходимым для поиска и выбора нужных сведений. В творческом процессе чертеж часто используется инженером для фиксации, проверки и уточнения своих идей. В этом качестве он всегда будет сохранять фундаментальное значение. В современном техническом чертеже фиксируется и передается информация, которая необходима для производства, поэтому чертеж является одним из основных документов, используемых конструктором, технологом, рабочим, контролером и т. п.
   При составлении чертежа приходится преодолевать противоречие между непрерывностью изображаемого материального предмета и дискретностью его изображения. Например, непрерывная поверхность на чертеже может быть задана только конечным количеством линий и точек.
   Изображаемый предмет называется оригиналом. Чертеж должен содержать геометрическую информацию о форме и размерах оригинала. Основные требования, предъявляемые к такому чертежу, — наглядность, простота, точность.
   Начертательная геометрия — это раздел геометрии, в котором пространственные фигуры — оригиналы, изучаются с помощью их изображений на плоскости — чертежей.
   Предметом начертательной геометрии является создание методов построения и чтения чертежей, а также алгоритмов решения на чертеже геометрических задач, связанных с оригиналом.
   В данной книге приведен достаточный материал для изучения предмета начертательной геометрии и большой выбор ре

3

шенных задач, задач с указаниями, задач, решенных на чертеже, с их анализом.
   Содержание учебника соответствует программе курса по начертательной геометрии, утвержденной Министерством образования Российской Федерации для студентов высших учебных заведений инженерно-технических специальностей. В процессе его написания был учтен большой опыт создания научно-методических основ преподавания данного курса, приобретенный кафедрой прикладной геометрии Московского авиационного института (Государственного технического университета).
   Предисловие и гл. 1, 4, 6, 7, 10 написаны профессором Л. Г. Нартовой, гл. 2, 3, 5, 8, 9 — профессором В. И. Якуниным.
   Авторы выражают благодарность коллективу кафедры прикладной геометрии МАИ за предоставленную возможность использования научно-методического опыта преподавания начертательной геометрии, традиционные основы которого разработаны нашими учителями Н. Ф. Четверухиным, И. И. Котовым и А. М. Тевлиным. Особая благодарность сотруднице кафедры А. Л. Венгеровой и внуку Л. Г. Нартовой К. Бочаверу за их неоценимую помощь и терпение в работе над оформлением рукописи. Им наши наилучшие пожелания добра и счастья.

Ав торы

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
   1.    Точки как основные элементы пространства — прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, ... или арабскими цифрами: 1,2, 3, 4, ... .
   Центр проецирования — S.
   2.    Прямые и кривые линии, произвольно расположенные относительно плоскостей проекций, — строчными буквами латинского алфавита: а, b, с, d,...» /, т, п,....
   Линии уровня: h — горизонталь; f — фронталь; р — профильная прямая.
   Оси проекций: х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.
   Направление параллельного проецирования: s.
   Натуральные единичные отрезки: ех, еу, ег. Если они равны, то их обозначают буквой е.
   Для описания линий применяют следующие обозначения:
   (АВ) — прямая, определяемая точками А, В;
   [АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А, В;
   АВ — вектор;
   [АВ] — дуга кривой, ограниченная точками А, В;
   |АВ|, |[АВ]| — длина отрезка и длина дуги АВ; натуральная величина отрезка, дуги.
   Если в каком-либо конкретном случае нет необходимости четко различать отрезок, прямую и т. д., скобки можно опустить.
   3.    Поверхности (плоскости) — прописными буквами греческого алфавита: Г, Д, 0, A, S, П, £, Ф, 4*, Q.
   Для указания способа задания поверхности (плоскости) рядом с ее буквенным обозначением в круглых скобках пишут обозначения тех элементов, которыми она задана. Например: Г(А, В, С), Z(ABC), Д(а, А), Ф(1,1).

5

   Плоскости проекций — буквой П с добавлением подстрочного или надстрочного индекса: Пх — горизонтальная, П₂ — фронтальная, П₃ — профильная, П' — аксонометрическая.
   4.    Углы — строчными буквами греческого алфавита: а, Р, У, 6, ... .
   Углы можно также обозначать символически:
   Z. АВС — угол с вершиной в точке В;
   (аЛГ) — угол, составленный прямой а и плоскостью Г;

— прямой угол между прямыми а,

Ъ.

   5.    Проекции точек и линий, вырожденные проекции плоскостей и поверхностей, поля проекций, точки поверхности (плоскости) — теми же буквами или цифрами, что и оригинал, с добавлением подстрочного индекса 1, 2, 3, соответствующего плоскости проекций комплексного чертежа Монжа,

или надстрочного индекса «штрих» — при построении аксонометрических проекций:
   Ар Bᵥ ..., ар ..., Гр Фр ... — горизонтальные проекции;
   А₂, В₂, ...» а₂, Ъ₂, ..., Г₂, Ф₂, ... — фронтальные проекции;
   А₃, В₃, ..., а₃, Ь₃, ..., Г₃, Ф₃, ... — профильные проекции;
   А', В', ...» а', Ъ', ..., Г', Ф', ... — аксонометрические проекции.
   В аксонометрии вторичные проекции обозначают как и аксонометрические, с добавлением подстрочного индекса, соответствующего той плоскости, на которой они находятся. Например. Ар В₂, С₃, ..., Ор &₂, Сд, •••, Гр Фд, ^3> •
   Совпадающие проекции осей координат можно обозначать двойными индексами: х₁₂, з₂₃, ....
   6.   Последовательность геометрических фигур, точек, прямых, плоскостей проекций, осей координат и т. д. отмечают соответствующими индексами: А', А", А'", ...; а', а", а"', ...; П', П", П'", ...; х', х", х'", ...; или А, А, А, ...; а, а, а, ...; П, Пр П₂; х, х, х, ... .
   Несобственные элементы пространства — точки, линии, поверхности (плоскости) — обозначают соответствующей буквой с верхним индексом оо. Например: А°°, а°°, Г°°, ....
   При необходимости указать способ задания несобственных элементов рядом с их буквенными обозначениями в круглых скобках пишут обозначения их собственных представителей: S°°(S), а°°(Г), ....

6

   7.  Основные элементы и понятия аксонометрии:
   Oxyz — натуральная система координат;
   Ox'y'z' — аксонометрическая система координат;
         e'z — аксонометрические единичные отрезки (аксонометрические масштабы);
   u, v, w — показатели искажения по аксонометрическим осям;
   17, V, W — приведенные показатели искажения;
   XYZ — треугольник следов.
   8. Теоретико-множественные символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами:
   {А, В, С, ...} — множество с элементами А, В, С, ...;
   €, Э — принадлежность точки (элемента множества) геометрической фигуре (множеству): А € т, В 6 X, [АВ] Э М;
   <=, => — принадлежность (включение) геометрической фигуры (подмножества) данной фигуре (множеству): тп X, X k;
   и — объединение множеств: [АВ] и [ВС] — ломаная АВС;
   п — пересечение множеств: a n X, cl п Л;
   = — точки ... совпадают; результат операции; присвоение:
   Aj = В^А = а пХ;
   = — отрезки ... конгруэнтны: [АВ] = [СВ];
   - — треугольники ... подобны: △ АВС ~ △ АВС;
   || — прямые, плоскости параллельны: т || n, X || Ф;
   ± — прямые, плоскости перпендикулярны: т ± Д;
   —---прямые скрещиваются: т — k;
   -* — прямые ... отображаются, преобразуются: а -+ аг;
    * Ор
   => — следует; если ..., то...: иг || п => тх || пр т₂ || п₂;
                                                [АС]
   <=>— отрезки ... эквивалентны, равносильны:
                                                1.00 j
   [AjCO
   [BjCJ   Многие из приведенных символов могут быть перечеркнуты наклонной чертой, что соответствует частице «не». Например:
   A £ I— точка А не принадлежит линии Z;
   ф¹ Ф² — множества Ф¹, Ф² не пересекаются;
   а Н Ъ — прямые а, Ъ не параллельны и т. д.

7

Г л а в a 1

   Предмет и метод начертательной геометрии






    1.1. Метод проекций


   Для отображения точек оригинала на чертеже применяют операцию проецирования*. Имеется плоскость проекций ПДкартинная плоскость, плоскость чертежа), на которой получается изображение оригинала — точки А. Операция проецирования заключается в проведении через точку А прямой, которая называется проецирующей.
   Точка Aₜ (рис. 1.1) пересечения проецирующей прямой с плоскостью называется проекцией точки А на плоскость Пр а сам аппарат ее построения — методом проекций.
   Чертежи, построенные с помощью метода проеци рования, называются проекционными.
   Для определения в пространстве проецирующей прямой зададим точку S * А, через которую проходят все проецирующие прямые (рис. 1.1). Точка S называется центром проецирования, операция в этом случае — центральным проецированием, а ее результат Aₜ = (SA) п П- — центральной проекцией**. Заметим, что центральная проекция точки, совпадающей с центром проецирования, не

Рис. 1.1

может быть построена, так как проецирующая прямая и проекция становятся в этом случае неопределенными.

   Другим приемом определения проецирующей прямой является задание вектора s Н Пр называемого направлением проецирования. Проецирующие прямые строятся параллельными вектору s. Операция в


      projicere (лат.) — бросать вперед.
      ВНИМАНИЕ! В этой книге знак п — пересечение множеств.


8

данном случае называется параллельным проецированием, а проекция соответственно — параллельной (например, точка BJ.
   При параллельном проецировании проецирующие прямые наклонены по отношению к плоскости проекций под углом ср = (s'TIj). Если (р * 90°, то проецирование называется

косоугольным и соответственно проекция — косоугольной.
   Если (р = 90°, то проецирование называется прямоугольным (ортогональным), а проекция — прямоугольной (ортогональной).


   Свойства центрального проецирования. Рассмотрим проецирование некоторого множества точек. Проекцией такого оригинала будет множество проекций всех его точек. Пусть требуется построить центральную проекцию прямой I (рис. 1.2). Выберем произвольные точки А € I и В € I. Проведем проецирующие прямые (SA), (SB). Тогда Aₜ = (SA) п Пр Bz = (SB) n n Ц — проекции выбранных точек. Фигура SAB представляет собой треугольник. Обозначим его плоскость через Д. Заметим, что в плоскости Д через произвольную ее точку можно построить проецирующую прямую. Такую плоскость будем называть проецирующей (проецирующей может быть и поверхность). Например, в случае центрального проецирования проецирующей будет коническая произвольная поверхность с вершиной в точке S.


Рис. 1.2

   Проецирующая прямая, проходящая через точку S и произвольную точку отрезка [АВ] I, лежит в плоскости Д. Проекции А: и BL определяют прямую, по которой плоскость Д пересекает плоскость проекций Пг Поскольку отрезок [АВ] выбран на прямой I произвольно, то проецирующая прямая, проходящая через любую точку Z, лежит в плоскости Д, а проекция этой точки лежит на прямой пересечения Д с Пг Отсюда следует: 1) проекцией прямой в общем случае является прямая; 2) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции этой прямой: R е (CD) => => Rₜ € (CjDj), поскольку (SR) лежит в проецирующей плоскости В (SCD).
   Фигура, являющаяся результатом пересечения оригинала с плоскостью проекций, называется следом. Например, точки Mₜ = I п П. и Мх = I¹ п Ц — следы соответственно прямых I и Iх на плоскости II- (рис. 1.2). Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими, например точки N и В (см. рис. 1.1) и точки F и Е (см. рис. 1.2). Их проекции на nz совпадут между собой.

   Дополнение евклидова пространства несобственными элементами. Операцию центрального проецирования мы рассматривали в геометрическом пространстве, которое изучается в элементарной геометрии. Это пространство называется евклидовым*. В евклидовом пространстве параллельные прямые не пересекаются. Поэтому условимся считать параллельные прямые пересекающимися в бесконечно удаленной (несобственной) точке. Рассмотрим множество прямых, принадлежащих одной плоскости. На каждой из прямых имеется теперь несобственная точка. Совокупность несобственных точек составляет несобственную линию на плоскости. Поскольку прямая, принадлежащая плоскости, пересекается с несобственной линией плоскости в одной точке, то эта несобственная линия также будет прямой. Таким образом, каждая плоскость дополняется несобственной прямой. По этой прямой пересекаются параллельные плоскости. Совокупность всех несобственных точек и прямых пространства образует не
     По имени великого греческого геометра Евклида, изложившего основные свойства и закономерности пространства в своем фундаментальном труде «Начала» (III в. до н. э.).


10