Основы математического моделирования технических систем

В.И. Аверченков,  

В.П. Федоров, М.Л. Хейфец 

О С Н О В Ы  М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Г О

М О Д Е Л И Р О В А Н И Я  Т Е Х Н И Ч Е С К И Х

С И С Т Е М  

Учебное пособие 

4-е издание, стереотипное

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФЛИНТА» 

2021

УДК 519.85(075.8) 
ББК 22.185.4

А19 

Р е ц е н з е н т ы: 
кафедра САПР Волгоградского государственного  
технического университета; 
доктор технических наук, профессор Лозбинев Ф.Ю. 

Аверченков В.И. 

А19     Основы математического моделирования технических систем

: учебное пособие  / В.И. Аверченков, В.П. Федоров, М.Л. 
Хейфец. – 4-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 2021. – 271 с. 
– ISBN 978-5-9765-1278-8. – Текст : электронный.

Изложены 
основы 
современных 
методов 
математического 
моделирования 
технических 
объектов, 
широко 
используемых 
в 
инженерной практике и научных исследованиях. Рассмотрены общие 
понятия и определения математического моделирования, приведены  
классификации моделей и даны рекомендации по их использованию при 
решении различных задач. Особое внимание уделено построению 
математических моделей с использованием матриц, теорией множеств и 
графов, 
алгебры 
логики 
и исчисления 
предикатов. 
Рассмотрены 
элементы и направления применения таких современных средств 
моделирования 
и 
оптимизации, 
как 
теория 
нечетких 
множеств, 
нейрокомпьютерное 
моделирование 
и 
генетические 
алгоритмы. 
Приведены сведения о современных подходах и оптимизации при 
математическом моделировании технических систем. 
Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
студентов 
инженерных 
специальностей всех форм обучения, магистров направления 552900 – 
«Технология, 
оборудование 
и 
автоматизация 
машиностроительных 
производств» и аспирантов, выполняющих исследования 
в 
области 
технологии 
машиностроения, 
математического 
моделирования, 
САПР и автоматизации и управления технологическими процессами 
и 
производствами 
(в 
машиностроении) 
(научные 
специальности 
05.02.08, 05.13.18, 05.13.12 и 05.13.06 соответственно). 

УДК 519.85(075.8) 
ББК 22.185.4

ISBN 978-5-9765-1278-8 
© Коллектив авторов, 2016
© Издательство «ФЛИНТА», 2016 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Применение 
высоких 
технологий 
в 
сфере 
инженерной 
деятельности, связанной с автоматизацией всех этапов технической 
подготовки 
производства 
– 
конструкторского 
и 
технологического 
проектирования, 
управления 
технологическими 
процессами 
и 
производствами, 
созданием 
новых 
видов 
изделий 
для 
человекомашинных систем, а также с получением и обработкой новых 
видов 
информации, 
в 
том 
числе 
и 
при 
анализе 
результатов 
экспериментов, созданием баз данных и знаний, построением систем 
искусственного интеллекта и многое другое, сегодня невозможно без 
использования методов математического моделирования. Если раньше 
эти 
вопросы 
рассматривались 
преимущественно 
специалистамиучеными, занимающимися теоретическими и экспериментальными 
исследованиями, то в настоящее время эти методы математического 
моделирования становятся важным инструментом различных видов 
инженерной деятельности. 
В 
образовательные 
стандарты 
подготовки 
специалистов 
и 
магистров 
по 
ряду 
инженерных 
специальностей 
уже 
включена 
дисциплина «Основы математического моделирования». Однако еще по 
многим специальностям не введена эта новая дисциплина, что связано с 
недостатком 
учебников, 
отражающих 
специфику 
математического 
моделирования применительно к решению инженерных задач. 
Предлагаемое учебное пособие подготовлено на основе опыта 
чтения 
курсов 
лекций 
для 
студентов 
машиностроительных 
специальностей в Брянском государственном техническом университете 
и Полоцком государственном университете (Беларусь). Совместная 
подготовка и издание этой книги осуществлено в соответствии с 
соглашениями Международной ассоциации вузов славянских государств 
по программе «Славянский учебник». 
Содержание 
рассматриваемого 
учебного 
пособия 
включает 
основные понятия, подходы и методы математического моделирования, 
инвариантные к различным сферам инженерной деятельности. 
В 
дальнейшем 
представляется 
целесообразным 
издание 
дополнительных 
учебных 
пособий, 
отражающих 
специфику 
математического моделирования технических объектов, изделий и 
систем в различных предметных областях. 
Пособие подготовлено при финансовой поддержке Министерства 
образования и науки РФ по гранту ТО2-06.3-579. 

Введение 

 
4 

Посвящается 
75-летию основания Брянского 
государственного технического 
 университета 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Известно, что моделирование (в широком смысле) является 
основным методом исследований во всех областях знаний и научнообоснованным 
методом 
оценок 
характеристик 
сложных 
систем, 
используемых в различных сферах инженерной деятельности, в 
частности в машиностроении. 
В настоящее время в машиностроении интенсификация процессов 
создания новых конкурентоспособных изделий требует сокращения 
сроков и повышения качества проектно-конструкторских работ. Эти 
требования можно обеспечить только применяя новые технологии 
проектирования, 
основанные 
на 
использовании 
методов 
математического 
моделирования 
и 
вычислительной 
техники. 
Современные технологии основываются как на опыте инженерной 
практики, так и на научных теоретических и экспериментальных 
исследованиях. Поэтому инженер должен уметь практически решать 
задачи, требующие применения современных математических методов.  
Математическое моделирование технических систем является 
сложной наукой, имеющей прикладной характер. Каковы же ее 
особенности на данном этапе развития науки вообще? Базируясь на 
работах [22, 24], рассмотрим философские аспекты моделирования, а 
точнее – общую теорию моделирования. 
Методологическая 
основа 
моделирования 
состоит 
в 
упорядочении получения и обработки информации об объектах, которые 
существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и 
внешней средой. Объект (лат. objectum – предмет) – все то, на что 
может быть направлена человеческая деятельность. 
 
В 
математическом 
моделировании 
большую 
роль 
играют 
следующие категории [22]: 
 Гипотеза – определенное предсказание, основывающееся на 
небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадках. В ходе 

Введение 

 
5

специально 
поставленного 
эксперимента 
может 
быть 
проведена 
быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез. 
 Аналогия – суждение о каком-либо частном сходстве объектов, 
которое может быть существенным и несущественным. Причем понятия 
существенности и несущественности, сходства или различия объектов 
условны и относительны. Существенность сходства или различия 
зависит от уровня абстрагирования и определяется конечной целью 
проводимого исследования. Аналогия имеет большое значение в 
качестве 
метода 
суждения 
при 
формулировании 
и 
проверке 
правильности гипотез. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом, 
поскольку современная научная гипотеза создается, как правило, по 
аналогии с проверенными на практике научными положениями. 
 Модель – (лат. modulus – мера) – это объект-заместитель 
объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств 
оригинала. Иными словами, модели – удобные для исследования 
логические схемы, построенные на основе гипотез и аналогий, 
упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие 
проводить эксперименты, уточняющие природу явлений. 
Говоря 
о 
математических 
моделях, 
Розенблюм 
и 
Винер 
подчеркивали [20], что формальная модель может быть разнородной 
совокупностью элементов, часть из которых изучена детально, т.е. 
конкретно и структурно, а другая часть – только исходя из 
соображений 
ее 
общей 
работоспособности, 
т.е. 
обобщено 
и 
функционально. 
Известно много определений модели. Остановимся на некоторых 
из них [18]: 
Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого 
объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий 
адекватно 
отображать 
интересующие 
исследователя 
физические 
свойства и характеристики объекта. 
Это определение можно заменить более кратким эквивалентом: 
Модель есть системное отображение оригинала, на основании 
которого могут быть введены следующие дополнения: 
 моделирование – замещение одного объекта другим с целью 
получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с 

Введение 

 
6 

помощью 
объекта-модели 
путем 
проведения 
экспериментов 
над 
последней; 
 теория моделирования – теория замещения одних объектов 
(оригиналов) другими объектами (моделями). 
Определяя гносеологическую роль теории моделирования, т.е. ее 
значение в процессе познания, необходимо выделить то общее, 
присущее моделям различных по своей природе объектам реального 
мира, которое заключается в наличии некоторой структуры (статической 
или динамической, материальной или мысленной), подобной структуре 
данного объекта. При этом в процессе изучения модель выступает в 
роли  относительного самостоятельного квазиобъекта, позволяющего 
получить при исследовании некоторые знания о самом объекте. 
Одной из важнейших характеристик в определении модели 
является ее адекватность, которая зависит от цели моделирования и 
принятых критериев. Модель адекватна объекту, если результаты 
моделирования 
подтверждаются 
и 
могут 
служить 
основой 
для 
прогнозирования поведения технических объектов или процессов, 
протекающих в реальных исследуемых системах, с регламентируемой 
точностью, удовлетворяющей выбранному критерию адекватности. 
Как отмечается в работе [22], стадии познания, на которых 
происходит замена моделью объекта оригинала, а также формы 
соответствия модели и оригинала могут быть различными: 
1. Моделирование как познавательный процесс, содержащий 
переработку 
информации, 
поступающей 
из 
внешней 
среды 
о 
происходящих в ней явлениях, в результате чего в сознании появляются 
образы, соответствующие объектам. 
2. Моделирование, 
заключающееся 
в 
построении 
некоторой 
системы-модели 
(второй 
системы), 
связанной 
определенными 
соотношениями подобия с системой-оригиналом (первой системой), 
причем в этом случае отображение одной системы в другую является 
средством 
выявления 
зависимостей 
между 
двумя 
системами, 
отраженными 
в 
соотношениях 
подобия, 
а 
не 
результатом 
непосредственного изучения поступающей информации. 
Таким образом, процесс моделирования относится к классу 
сложных процессов и предполагает наличие: 1) объекта исследования; 
2) исследователя, перед которым поставлена конкретная задача;          

Введение 

 
7

3) модели, создаваемой для получения информации об объекте и 
необходимой для решения поставленной задачи. 
Любой эксперимент может представлять ценность и иметь 
существенное значение в конкретной научной или производственной 
области только при специальной его обработке и обобщении. 
Необходимо помнить, что единичный эксперимент никогда не может 
быть решающим для подтверждения гипотезы или проверки теории. 
Поэтому современные инженеры должны быть знакомы с элементами 
современной 
методологии 
познания, 
основу 
которой 
составляет 
краеугольное 
положение 
материалистической 
философии: 
экспериментальное исследование, опыт и практика, являющиеся 
критерием истины. 
Одной из важнейших проблем современной науки и техники 
является внедрение в практику проектирования новейших сложных 
информационно-вычислительных 
систем 
различных 
уровней 
(автоматизированных систем научных исследований и комплексных 
испытаний, САПР, АСУ технологическими процессами и др.). 
Системы, используемые в современном машиностроении, в силу 
их многообразия и масштабности можно с определенной долей 
уверенности отнести к классу больших систем. Они представляют этапы 
исследования, проектирования, внедрения, эксплуатации и эволюции 
технических объектов, которые в настоящее время невозможно 
реализовать без использования различных видов моделирования. В 
работе [22] отмечается, что на всех перечисленных этапах для сложных 
видов технических систем различных уровней необходимо учитывать 
следующие особенности: сложность структуры и стохастичность связей 
между элементами, неоднозначность алгоритмов поведения при 
различных условиях, большое количество параметров и переменных, 
неполноту 
и 
недетерминированность 
исходной 
информации, 
разнообразие и вероятностный характер воздействий внешней среды и 
т.д. 
Ограниченность 
возможностей 
непосредственного 
экспериментального исследования больших технических систем, в особенности 
на этапе их проектирования, когда они вообще отсутствуют, делает 
актуальной разработку методики их моделирования, в частности 
математического. Эта методика должна позволить в соответствующей 
форме 
представить 
процессы 
функционирования 
будущего 
или 

Введение 

 
8 

действующего реального технического объекта, описание протекания 
этих процессов с помощью математических моделей, получение и 
обработку 
результатов 
экспериментов 
с 
моделями 
по 
оценке 
характеристик исследуемых проектируемых или реальных объектов. 
При проектировании как сложной технической системы в целом, 
так и ее подсистем необходимо выполнить внешнее проектирование 
(макропроектирование) и внутреннее (микропроектирование). На 
указанных стадиях рассматриваются различные цели, что приводит к 
существенному различию используемых при этом методов и средств 
моделирования. 
Причем 
методы 
моделирования 
преследуют 
конкретные цели, а эффективность метода зависит от грамотности 
использования разработчиком возможностей моделирования [22]. 
На стадии макропроектирования должна быть разработана 
обобщенная модель процесса функционирования сложной системы, 
позволяющая 
разработчику 
получить 
ответы 
на 
вопросы 
об 
эффективности различных стратегий управления объектом при его 
взаимодействии с внешней средой. Стадию внешнего проектирования 
можно разбить на а н а л и з  и  с и н т е з . При а н а л и з е  изучают 
объект управления, строят модель воздействий внешней среды, 
определяют критерии оценки эффективности, имеющиеся ресурсы, 
необходимые ограничения. Конечная цель стадии анализа – построение 
модели объекта управления для оценки его характеристик. При 
с и н т е з е  на этапе внешнего проектирования решаются задачи 
выбора 
стратегии 
управления 
на 
основе 
модели 
объекта 
моделирования, т.е. сложной системы. 
На стадии микропроектирования разрабатывают модели с целью 
создания эффективных подсистем. Причем используемые методы и 
средства 
моделирования 
зависят 
от 
того, 
какие 
конкретно 
обеспечивающие 
подсистемы 
разрабатываются: 
информационные, 
математические, технические, программные и т.д. 
Особенности использования моделей. Аспекты данного вопроса 
достаточно полно изложены в работах [22, 27 и др.]. Они заключаются в 
том, что выбор метода моделирования и необходимая детализация 
моделей существенно зависят от этапа разработки сложной системы. На 
этапах обследования объекта управления, например промышленного 
предприятия, и разработки технического задания на проектирование 
автоматизированной системы управления модели в основном носят 

Введение 

 
9

описательный характер и преследуют цель наиболее полно представить 
в 
компактной 
форме 
информацию 
об 
объекте, 
необходимую 
разработчику. 
На этапах разработки технического и рабочего проектов модели 
отдельных подсистем детализируются, и моделирование служит для 
решения конкретных задач проектирования, т.е. выбора оптимального 
по определенному критерию при заданных ограничениях варианта из 
множества 
допустимых. 
Поэтому 
в 
основном 
на 
этих 
этапах 
проектирования сложных систем используются модели для целей 
синтеза. 
Целевое назначение моделирования на этапе внедрения и 
эксплуатации сложных систем – это проигрывание возможных ситуаций 
для принятия обоснованных и перспективных решений по управлению 
объектом. Моделирование (имитацию) также широко применяют при 
обучении 
и 
тренировке 
персонала 
автоматизированных 
систем 
управления, вычислительных комплексов и сетей, информационных 
систем в различных сферах.  В этом случае моделирование носит 
характер деловых игр. Модель, реализуемая обычно на ЭВМ, 
воспроизводит поведение управляемого объекта и внешней среды, а 
люди в определенные моменты времени принимают решение по 
управлению объектом. 
Современные методы и средства моделирования технических 
систем неразрывно связаны с новыми достижениями в различных 
областях 
науки 
и 
техники, 
а 
в 
особенности 
с 
процессом 
совершенствования 
ЭВМ, 
сфера 
эксплуатации 
которых 
распространяется на все отрасли человеческой практики и стимулирует 
развитие новых теоретических и прикладных направлений, в том числе и 
в машиностроении.  
Из методов моделирования можно выделить аналитические и 
имитационные: 
 аналитические методы к исследованию системы (исторически 
первый) предусматривают использование ЭВМ в качестве вычислителя 
по аналитическим зависимостям. Анализ характеристик процессов при 
таком методе связан со значительными трудностями: возникает 
необходимость 
существенного 
упрощения 
модели 
на 
этапе 
их 
построения или в процессе работы с ней, что может привести к 
получению недостоверных результатов; 

Введение 

 
10 

 имитационные методы основаны на оценке характеристик 
больших технических систем, представляемых в виде имитационных 
моделей, 
реализованных 
на 
современных 
ЭВМ 
с 
высоким 
быстродействием и большим объемом оперативной памяти; 
 "чисто машинные" методы – новые методы решения задач 
исследования больших систем на основе реализации имитационных 
экспериментов с их моделями. 
Перспективность 
последних 
двух 
методов 
возрастает 
с 
повышением быстродействия и оперативной памяти ЭВМ, с развитием 
математического обеспечения, совершенствованием банков данных и 
периферийных 
устройств 
для 
организации 
диалоговых 
систем 
моделирования. 
Реализация 
экспериментов 
с 
имитационными 
моделями сложных технических систем на автоматизированных рабочих 
местах, созданных на базе персональных ЭВМ, наряду с анализом их 
характеристик, 
позволяет 
решать 
задачи 
структурного, 
алгоритмического и параметрического синтеза таких систем при 
заданных критериях оценки эффективности и ограничениях [22]. 
Однако при всем совершенстве применяемой вычислительной 
техники нельзя игнорировать тот факт, что в основу любой модели 
положено предварительное изучение явлений, лежащих в объектеоригинале. Успех моделирования технической системы, как и любой 
другой, зависит в конечном счете от того, насколько детально изучены 
реальные явления, в объекте-оригинале. 
При 
создании 
больших 
технических 
систем 
(автомобили, 
локомотивы, судовые дизели, авиационная техника, робототехнические 
комплексы металлообработки и сборки и др.) их отдельные компоненты 
разрабатываются различными коллективами, которые используют 
соответствующие средства моделирования при анализе и синтезе 
отдельных подсистем. Возникает вопрос: что необходимо в этом случае 
для 
повышения 
эффективности 
проектирования 
новейших 
прогрессивных технических систем при сокращении сроков разработки? 
Пользуясь результатами работы [22], на поставленный вопрос 
можно ответить следующим образом. Прежде всего разработчикам 
необходимы оперативный доступ к программно-техническим средствам 
моделирования, 
а 
также 
оперативный 
обмен 
результатами 
моделирования отдельных взаимодействующих подсистем. Таким 
образом, появляется необходимость в создании диалоговых систем